徐守群

几何综合题是每份中考试卷的必考题型。很多几何综合题往往存在不同的解题思路，因此，我们在复习时要注意从不同的角度进行思考，追求一题多解、多解归一的解题深度。

例题 如图1，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，PE⊥DE交BC于点P，点Q在线段DE上，且EQ=AE。

（1）当AE=BE时，求四边形BPQE的周长。

（2）当点E运动，四边形BPQE的周长是不是定值？若是定值，请求出该定值;若不是定值，请说明理由。

【審读题意】第（1）问，我们可以求出EQ=AE=BE=2。利用△ADE∽

△BEP，得BP=1，PE=[5]，则在

Rt△PEQ中，PQ=3。由此可求出四边形BPQE的周长为8。

第（2）问有以下两种典型思路。

思路1：（基于“计算”的思路）设AE=4x（注意，这里的设元比较“特殊”，主要是为了后续运算过程中的一些系数都是整数），则BE=4-4x，EQ=4x。由△ADE∽△BEP，可得BP=x（4-4x），PC=4-x（4-4x）。分别利用勾股定理，得EP2=BE2+BP2，PQ2=EP2+EQ2，再将含x的式子分别代入，计算、配方，得出PQ2=16[1-x（1-x）]2，又因为PC=4-x（4-4x），可得PC2=PQ2，即PC=PQ。于是四边形BPQE的周长可转化为AB+BC=8。

思路2：（基于“证明”的思路）如图2，连接PD。在Rt△PED中，PD2=EP2+ED2;在Rt△PCD中，PD2=CP2+CD2。于是EP2+ED2=CP2+CD2，则CP2=EP2+ED2-CD2，由边长AD=CD，可得CP2=EP2+ED2-AD2。又在Rt△AED中，AE2=ED2-AD2，所以CP2=EP2+AE2。而在Rt△PEQ中，PQ2=EP2+EQ2。于是PC=PQ。思路明确，我们也就能得出四边形BPQE的周长为定值。

【拓展问题】如图3，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，连接DE，作PE⊥DE，交BC于点P，在DE上取一点Q，使EQ=AE，连接PQ。随着点E在边AB上运动，求PQ的最小值。

【审读题意】例题第（2）问已经研究了周长不变的性质，其关键是证出PQ=PC，因此，拓展问题可以将PQ转化为PC，而PC的最小值，对应着BP取最大值。于是，我们可设AE=4x，则BE=4-4x，EQ=4x。由△ADE∽△BEP，可得BP=x（4-4x）。根据二次函数的最值分析法，易求出PB的最大值为1，则相应的PC最小值为3，即PQ的最小值也为3。

【同类再练】如图4，正方形ABCD的边长为2021，点E在边AB上，连接DE，作FE⊥DE，交BC于点F，在DE上取一点G，使EG=AE，连接FG。若BF+FG=t，求t的值。

【思路提示】解题的关键是证明FG=FC，从而可以将BF+FG转化为BF+FC=BC=2021。

（作者单位：江苏省海安市李堡镇初级中学）C051476F-53E6-4CDF-8D6C-05D8CA00AB5B