丁亚茹　刘小辉

摘要：本研究在对传统的封闭题结构分析的基础上，以一道解三角形题目为例，从单一开放型和综合开放型两方面对其改造，总结开放题命制的一般思路，为新高考数学开放题的命制提供参考.

关键词：新高考;数学开放题;解三角形;命制设计

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）19-0085-03

1 问题提出

为突出对学生综合能力和学科素养的考查，新高考新增了多项选择题、逻辑题、数据分析题、举例题及开放题等新题型.任子朝在高考新题型测试研究中提出，开放题作为新增题型，能够很好地考查学生的逻辑思维能力与应用意识，也更加契合高考作为选拔性考试对区分度的要求.

实际上，数学开放题早在20世纪70年代便引起了国内外学者的关注，数学开放性试题突破固有的解题模式，侧重考查学生综合运用知识的能力和“执果索因”的思维方式.新高考试题的命制要增强开放性和灵活度，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，减少识记类题型的命制，增加开放探究类题型的比重.

2 封闭数学题的命制结构

以“解三角形”为例，在试题命制中通常会结合三角函数、三角恒等变换的知识，目的在于考查学生对知识的综合应用及学科核心素养，本题型常以两小问的形式出现，试题的设置具有层次性.

传统题目的结构一般是由条件、策略和结论三方面构成，其特征是条件完备，策略清晰，结论确定.由封闭题的结构及特征出发，将其改造为开放题，可以有效地改变学生解题的思维定势，培养学生的创造性思维.

3开放题命制设计——从封闭走向开放

我国的戴再平先生根据未知的要素将开放题划分为四种类型：条件开放型、策略开放型、结论开放型以及综合开放型;美国的Silver教授将开放题分为条件开放、最终结果开放、解题过程开放以及三种类型的综合情况.结合封闭题的结构特征，命题者还可以从单一开放型和综合开放型两大类出发进行改造.本文以2018年全国卷第17题解三角形为例，研究单一开放型和综合开放型两种命题模式.

3.1 单一开放型

3.1.1 条件开放型

条件改变一般分两种情况：条件多余时，学生对条件进行筛选;条件缺少时，学生自行补充条件.根据这两种情况对封闭题进行相应的改造.当条件多余时，可以更好地考查学生对信息的筛查能力，本题第一问可加入若干干扰信息，如DC=22，该信息在第一问解答时是无用的，这就需要学生去思考和对比，从而选择有用条件.其次，可减少成题的条件，如本题可将条件BD=5隐藏，由学生自行创造条件并推导结论，从而培养学生的发散性思维.

3.1.2 策略开放型

命制题目时可与新定义题型相结合，如将题目第二问改为：以点D为圆心，DC为半径画圆，交DB于点E，DF=kDC，给出定义：若从三角形一个角出发向对边作一条线段，该线段刚好平分此角，则称该线段为三角形的“吉祥线”.问：当DF为△BCD的“吉祥线”时，求k的取值范围.题目将角平分线定义改为 “吉祥线”定义，知识点简单，主要考查学生的转化思想.在解题策略上，一般采用常规解三角形的方法求解，而擅长几何的学生又可以运用几何法求解，这样不同水平的学生可以从不同的维度去揣摩问题，获得不同的见解.

3.1.3 结论开放型

3.2 综合开放型

3.2.1 条件与策略双开放型

3.2.2 条件与结论双开放型

4 结论与建议

4.1 从封闭到开放题的命制路径

一道题目由条件、策略以及结论三方面构成，通过对这三方面的不同开放方法，设计一种由封闭题转变为开放题的命制路径.上述改造方式可以总结为图1.

4.2 开放题设计建议

4.2.1 强化开放题在教学过程中的应用性

数学教师应该注重对开放题的命制研究，在命制试题的实践中提升自身的专业能力.在教学过程中，要注重开放题与学科知识的整合，有效改进教与学的方式，如课堂导入环节可以以开放题为背景，快速抓住学生注意力，引出新课题;在新知传授环节，要有意识地向学生展现多样化的开放型试题，丰富课堂教学的素材，满足不同学生在数学上的不同需求，真正做到因材施教.因此，教师应该在教学中潜移默化地渗透开放题思维，促使学生由接受到熟悉再到灵活求解开放题，发展学生学科核心素养.

4.2.2 发挥学生在开放题设计过程中的主体性

教师可带领学生共同设计开放性试题，学生不再是被动的解题者，而是参与到试题命制的设计者，共同命制的过程既发挥了教师的主导作用，又体现了学生在学习中的主体地位.针对基础薄弱的学生，教师可以引导他们命制自己认知领域内较简单的题目，及时给予肯定，使学生乐意并积极投入到试题的命制中，帮助他们重拾学习数学的信心，提高学习数学的兴趣;对于数学兴趣浓厚的学生，教师则可以鼓励他们命制丰富多样的题目，解决了优等生“吃不饱”的现象.试题中蕴含着丰富的知识，教师要引导学生在命制中思考，在思考中命制，實现对知识的意义建构，拓宽探索空间.不同层次的学生设计出多样化的试题，共同参与探讨和交流，这一过程将会给学生带来全新的学习体验，让学生在参与中深度理解、有效创新.

4.2.3 注重开放题改造在高考中的可操作性

为保证高考阅卷的高效准确，开放题需要在题目开放性和阅卷工作量上寻求平衡.开放性过强往往会导致阅卷困难，也不利于分层，这就无法保证阅卷的高效性;开放性不宜过低，否则无法保证开放题发挥应有的功能.其次，开放题的评分标准要具有科学性，处理好区分性和统一性的关系.具有区分性的评分标准体现开放题的区分功能，具有统一性的评分标准保证开放题在高考中的公平性和实施性.再者，受学生认知发展和已有经验的限制，高考试题应以传统封闭题为主，开放题为辅，逐步过渡.开放题的创新性特点也要求其起点要放低，注重考查学生对知识的灵活应用.故开放的形式以及程度需要把握好度，这是今后研究需要进一步改进的方向.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李璟]