胡锦洪

【摘   要】在实际问题解决中，学生容易混淆分数表示“量”与“率”的意义。“分数的再认识”练习课将分数表示“量”与“率”的意义进行概念澄清，让学生借助一组习题，在知识运用中进一步理解分数意义，通过“量”“率”并行的练习，促进知识的深度融通。

【关键词】“量”与“率”的意义;分数再认识;高阶思维

“一题一课”，是指通过对一个主题或一组习题的深入研究，科学、合理、有序地组织学生展开相关的数学探究活动，在“一课”中完成“一题”。借此“一题”，促进学生对知识之间的关联性理解，实现“学一题、透一点、通一类”的教学目标。“分数的再认识”是在教学人教版教材五年级下册《分数的意义》一课后安排的一节练习课。本节练习课的重难点是：理解分数不仅可以表示具体的数量，即“量”的意义，还可以表示部分与整体的关系，即“率” 的意义。教学设计的核心在于帮助学生正确区分“量”与“率”的不同意义，并能在具体情境中灵活运用。

【课前思考】

在小学阶段，经常会出现这样的习题。

2吨煤5个月烧完，平均每个月烧这些煤的（    ），平均每个月烧（    ）吨。

学生在解决这类题时常常混淆分数“量”与“率”的不同意义，解答的错误率高。对于这类习题，很多教师处理的方式是“就题论题”，没有深究学生错误的原因。从教材编排来看，人教版教材三年级上册《分数的初步认识》一课的重点是让学生经历分数的产生过程，理解分数可以表示数量的多少。人教版教材五年级下册《分数的意义》一课的重点是理解分数表示部分与整体的关系。根据教材编排特点及学生学情，有必要在五年级教学《分数的意义》一课后，增加一节“分数的再认识”练习课，帮助学生区别分数表示“量”与“率”的两种意义。教师不应该忽视习题的教学价值，把其简单地当作一道习题来讲解。基于以上思考，在“一题一课”活动中，展开“学一题、透一点、通一类”的教学研究。（如表1）

【教学过程】

一、揭示分数意义中表示“量”与“率”关系的数学本质

沟通表示分数意义的“量”与“率”，促进学生对分数意义的理解。

环节一：理解分数“量”的意义

分数在生活中有着广泛的运用，教师先让学生用圆片替代饼，用剪一剪，分一分等方法演示分饼的过程，并以小组合作的方式记录这一过程完成表格（如表2）。

师：你们是怎么计算每人平均分到几张饼的？

生：3张，2张，[12]张，[14]张。用“总数÷份数=每份数”计算得出每人分得，和我们之前所学整数除法的道理是一样的。

师：每人分得的饼数哪一个最多，哪一个最少？

生：3张最多。[14]张最少。

（设计意图：在分饼活动中，让学生体会到3张，2张，[12]张，[14]张都表示分得饼的数量多少，3张和2张表示的是“整张”的数量，用整数表示。当出现“非整张”的数量时，可用分数来表示。学生经历了数量表示从“整数”向“分数”过渡的过程，回顾了分数产生的必要性，及数量间的大小关系，增进了对分数表示“量”的理解。）

环节二：理解分数“率”的意义

出示问题：如图1所示。

师：请独立思考完成填空，完成之后和同桌说说，你是怎么想的。

生：圆圈的个数是正方形的2倍，正方形的个数是圆圈的[12]。

师：这里的2表示的是什么意思？

生：2个。

生：不是2个，是这样的2份。

师：那[12]呢？

生：它和前面的2一样，表示的不是[12]个，而是一种倍数关系，正方形个数是圆个数的[12]。

师：图2中，这里的2和[12]表示的又是什么呢？

生：2表示2份。[12]表示把圆的数量平均分成2份，取其中的1份，表示的是部分与整体的关系。

（设计意图：学生在三年级时已经学了《倍的认识》，对两个量之间的整数倍关系有了理解基础。以上两题通过材料内容的变化，能促进学生从多角度去分析和解决问题，提高学生解决问题方法的灵活性和策略的多样性。整个教学过程中，教师激活学生数学活动经验，依据学生已有的认知水平，顺应学生思维，迁移学习经验，让学生的认知从“整”的倍数关系向“非整”的倍数关系转变，理解分数不仅可以表示具体的量，还可以表示两个量之间的关系。）

环节三：比较分数的“量”“率”不同意义

通过以上教学活动，学生对“量”与“率”的本质有了理解，这时教师再组织学生对前面学习过程进行整理反思，完成表3。

（设计意图：学生通过比较、归纳、概括等活动，找到分数表示“量”“率”意义时的不同点，促使学生的思维从形象走向抽象，增进其对分数表示“量”与“率”意义的理解。）

二、在具体情境中运用“量”“率”发展抽象思维

知识需要在運用的过程中进一步理解与巩固。通过结合具体情境解决数学问题，可促进学生加深对分数“量”与“率”意义的理解，发展推理能力和高阶思维能力。

环节四：两根绳子的[12]谁长

出示问题：有两根同样长的绳子，第一根剪去它的[12]，第二根剪去它的[12]米，哪一根剪去的部分长？

师：先独立思考，然后小组内交流，最后选一位同学代表小组发言。其他小组可以提问。

生：一样长。

生：不一定。因为[12]表示“率”，[12]米表示“量”。两个[12]的意义不一样，不能看到[12]就说相等。

生：无法确定。因为不知道绳子的长度。如果绳长是1米，那么剪去1米的[12]也就是[12]米，两根绳子剪去部分相同。如果绳长是2米，那么剪去2米的[12]是剪去1米。1米大于[12]米，第一根绳子剪去的部分长。如果绳长是0.8米，那么0.8米的[12]是0.4米。0.4米小于[12]米，第二根绳子剪去的部分长。所以有3种情况。

师：都同意吗？我们再举例验证一下。

（设计意图：让学生进一步明晰[12]表示“率”，[12]米表示具体长度数量的多少。组织学生进行分类、讨论、验证，最后得出三种情况：当绳长等于1米时，绳长的[12]和[12]米一样长。当绳长大于1米时，绳长的[12]大于[12]米。当绳长小于1米时，绳长的[12]小于[12]米。通过这样的数学活动，学生理解分数“率”表示的具体量的大小与单位“1”的大小有关。）

环节五：不同[12]的实际应用

出示问题：有两根绳子，被布遮掉了一部分。已知一根绳子的[12]露在外面，另一根绳子的[12]米露在外面，两根绳子露在外面部分相等，请问这两根绳子哪根长？

师：哪根绳子更长？说说理由。

生：露在外面的[12]这根绳子长度是确定的。因为把这根绳子平均分成2份，我们看见的部分是其中的1份，这1份的长度是绳子总长的[12]，遮掉的部分也是这样的1份。

生：这根露在外面[12]米的绳子，被遮掉的部分可能很长，也可能很短，当然也可能是[12]米。所以，它的长度是无法确定的。

师：也就是说，这根[12]露在外面的绳子，长度是确定的，而露在外面[12]米的绳子长度是不确定的，因此，不能确定两根绳子哪根长。

（设计意图：两根绳子，没有遮挡部分的绳子长度相同，比较绳子总长。第一根绳子露在外面部分是绳长的[12]，这里的[12]表示“率”，求绳子总长就是计算单位“1”的长度，第二根绳子露在外面部分是[12]米，这里的[12]米表示的是具体的数量，遮掉部分的长短与[12]米没有关系。学生在分辨两个[12]含义的过程中，进一步明晰了分数“量”与“率”的不同意义。）

【教學思考】

一、把握节点，促进生长

把握节点就是把握这节练习课什么时间执教、执教内容是什么等问题。从内容上看，“量”与“率”的意义学生容易混淆，教材中缺少相关内容的比较，需要补充相应的教学内容。从时间上看，本节课安排在《分数的意义》教学之后，刚好可帮助学生进一步巩固分数意义中的单位“1”等知识点，及时区分“量”与“率”意义的异同，理解分数不仅可以表示部分与整体的关系，还可以表示具体的量，建立概念模型，及时避免混淆。

二、抓住本质，概念澄清

抓住本质就是让学生理解分数不仅可以表示“量”的意义，还可以表示“率”的意义，并进行区分与关联。在理解概念的过程中，要让学生经历独立思考、合作交流、主动探索的学习过程，在观察、比较、分析和运用中积累数学活动经验，体会数学学习的方法。教学中，教师通过“量”的意义与“率”的意义的梳理，让学生对概念的认识更加深刻。

三、抓住要素，高阶思维

高阶思维需要在学生运用已有知识、经验和技能解决具体问题时培养。教学中教师设计分数表示“率”与“量”意义的实际问题，让学生在理解题目的基础上，提出解决问题的策略，区分在实际问题中分数表示的意义是“量”还是“率”。学生对分数意义理解得更加深刻。

参考文献：

[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.

[2]鲍善军.一题一课：指向高阶思维能力培养的教学策略研究[J].小学教学参考（数学），2020（6）.

[3]章颖.把握节点促生长：以“分数的初步认识”“分数的再认识”为例[J].小学数学教师，2019（5）.

[4]鲍善军，朱曙光.基于SOLO分类理论的“一题一课”教学设计与实践[J].教学月刊·小学版（数学），2021（11）.

（浙江省杭州市钱塘区江湾小学   310018）