鲍善军 朱曙光

“一题一课”研究

所谓“一题一课”，就是教师通过聚焦一个主题或一组习题，科学、合理、有序地组织学生开展数学探究活动，促进学生对知识之间的关联性理解，实现“学一题、透一点、通一类”的教学目标。近几年来，杭州市钱塘区鲍善军老师领衔团队在经历区域调研、实践探索后，由点及面，深度挖掘教材价值意义，深度推进“一题一课”教学，促进学生的数学理解走向深刻，助推学生的思维水平走向高阶。本期特刊发他们的阶段性研究成果，供广大教师借鉴参考。

【摘   要】“一题一课”教学，深度挖掘“一题”价值意义，聚焦“求联、求变、求用”三个维度，实施横向关联、纵向延伸，变换题型、开放设计，延长过程、感悟思想等策略。如此，由浅入深，推进思维深度;由聚到散，拓宽思维广度;由此及彼，提升思维灵活度。从“一题”推进“一类”，让课堂教学走向简约，让数学理解走向深刻，让认知水平走向高阶。

【关键词】一题一课;思维;求联;求变;求用

近年来，受“教育功利化倾向”裹挟，部分教师过度夸大“题海战术”，要求学生大量训练各种不同题型，从而实现“熟能生巧”。他们采用“短”“平”“快”的方式展开教学。这样既增加了学生的学习负担，又降低了学生的学习品质。在此背景下，我们团队聚焦“一题”，深度挖掘其价值意义，积极探索“一题一课”教学，以期提升学生的学习效率和核心素养。

所谓“一题一课”，是指通过对一个主题或一组习题的深入研究，科学、合理、有序地组织学生展开相关的数学探究活动，在“一课”中完成“一题”。借此“一题”，促进学生对知识之间的关联性理解，实现“学一题、透一点、通一类”的教学目標。

一、“一题一课”的教学价值

（一）由浅入深，以“一题一课”推进思维深度

学生的学习是不断自我建构、自我完善的层进式过程。教学中，以数学核心素养为统领，用足一个核心素材，充分挖掘其背后的价值和思想，通过由浅入深的“一题一课”学习活动，将学生的思维逐步推向纵深，帮助学生养成重证据、有条理的思维品质，学会用数学的思维思考和解决现实世界的问题。

（二）由聚到散，以“一题一课”拓宽思维广度

思维的条理性源于知识的结构化。学生通过对核心知识的提炼，对内容序列的梳理，明晰相关内容的联系和区别，并借助归纳、类比、迁移、关联等思维方式，由聚到散，整体建构知识体系。这样的过程促进学生对同一类主题学习内容的融通，拓宽思维的广度，将彼此割裂的内容融进纵横交错、脉络分明的思维结构中。

（三）由此及彼，以“一题一课”提升思维灵活度

新知的学习常源于对旧知的正向迁移。对于一个全新问题的教学，教师往往会从学生已有知识经验引入，激活其原有的认知结构，让学生通过同化或顺应两种基本形式，在不断地扩充、改造、调整中沟通新旧知识的联系，形成新的认知结构。学生在一次次比较、类比、归纳、迁移等思维过程中，能自如地从一种心理运算转换到另一种性质不同的心理运算，由此及彼地扩大知识的外延，突破原有的认知结构，构建新的认知结构。

二、“一题一课”的设计框架

实践表明，基础知识不应求全，而应求联;基本技能不应求会，而应求变;基本思想不应求多，而应求用。“一题一课”系统性地利用六个方面的策略、推动三个认知过程维度发展学生的高阶思维（如图1）。

通过横向关联、纵向延伸，促使学生的认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”;通过变换题型、开放设计，促使学生的认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”;通过延长过程、体悟思想，促使学生的认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”。教学引发学生一次次再认识、再建构，生成更多新问题、新发现、新结论，助推思维的进阶和发展。

三、“一题一课”的教学策略

“一题一课”教学聚焦“一题”，延伸“一课”，充分挖掘主题背后的价值，从“求联、求变、求用”三个维度，实施横向关联、纵向延伸，变换题型、开放设计，延长过程、感悟思想等策略，让学生的思维不断向着高阶攀升。

（一）求联：整体建构，认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”

教学中，引导学生用联系的观点进行分析思考，找到知识的序列和学习路径，通过横向关联和纵向延伸，形成对知识的结构性认知，能促使学生的认知水平从“未知混沌”走向“识记理解”。

1.横向关联，以点带面

横向关联就是将与核心主题相关的知识，通过转化、联想、迁移等形式进行关联，将其本质属性嫁接到其他相同或相近主题的知识内容上，实现“学一题，透一点，通一类”的教学目标。

【案例1】“等积变形”

图2中哪几对三角形的面积相等？（两条虚线互相平行）你还能画出和三角形ABC面积相等的三角形吗？（人教版教材五年级上册第94页第8题）

核心主题相关的知识是等积变形。教学中，要渗透转化思想，引领学生通过等积变形解决面积问题，同时帮助学生建立几何图形的整体结构意识，发展空间观念。三角形等积变形与平行四边形、梯形和立体图形的等积变形有延续性关联。因此，“等积变形”不应局限于三角形，还应拓展到其他几何图形甚至是代数领域（如图3）。

在理解三角形等积变形的内涵和变式训练之后，教师引导学生发散思考：“哪里还有‘等积变形呢？”学生以点带面展开联想：等底等高的平行四边形和梯形等积变形、平面图形的割补转化，以及代数运算定律、立体图形的变换等，本质上都涉及等积变形。教师总结：“等积变形包括等面积变形、等体积变形和等乘积变形（如图4）。前二者是形，后者是数，数与形可以互相验证，互相解析。”

在学习三角形的等积变形基础上，教师帮助学生将思维延伸到其他几何图形中，发现几何图形之间的联系，丰富等积变形的表象，拓宽学生思维的广度。

2.纵向延伸，连点成链

纵向深入就是将问题中涉及的知识点，利用情境背后的线索，通过相应的探究活动，进行串联，目的是对同一主题（或同一类问题）进行深入挖掘，将这一类问题研究通透。

【案例2】“周长与面积”

用28米长的栅栏，围一个长方形的鸡圈，怎么围可使鸡圈的面积最大？

当长方形的周长确定时，长、宽越接近，其面积越大。核心主题的相关知识是“正多边形周长与面积的关系”，意在渗透数形结合的思想方法，让学生借助几何直观提升空间观念，促使学生将面积与周长的知识融汇贯通。由此，将问题进一步拓展到五边形、六边形……甚至是圆的“周长与面积的关系”（如图5）。

整个学习过程，教师以原题为基点，首先让学生进行长方形面积和周长的复习。学生经历猜想、计算、观察、探索等过程，发现并理解周长相等的情况下，长方形的长和宽越接近，面积越大。然后教师引导学生继续思考：“周长一定时，还有围成面积更大的图形吗？”学生意识到可以围成正五边形、正六边形、圆等。学生再一次经历猜想、验证、探索的过程，发现并理解周长相等情况下，围成的正多边形边数越多，面积越大。教师渗透极限思想，学生得出圆的面积最大。

通过多边形周长和面积的关系探寻与验证，学生的认知从特殊走向一般，知识结构从零散走向整体，问题理解从散点走向通透，学生的数学思维更具深刻性。

（二）求变：适度开放，认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”

凸显“变”，就是以一个核心问题为基点引入、变式、延伸，让学生通过师生互动、尝试、修正，掌握一类问题的解决方法，或者通过对习题的开放设计拓宽学生的思维空间，让他们的认知水平从“识记理解”迈入“应用分析”。

1.变换题型，凸显本质

剖析问题的核心知识与特征后将“一题”进行变式与拓展，可以帮助学生深化知识的理解与方法的应用。在“变中有不变”的过程中思维会变得更灵活，更有助于其掌握知识内容的本质，提升解决问题的能力。

【案例3】“乘积最大的秘密”

用0、1、2、3、4组成三位数乘两位数的乘法算式积最大是多少？

核心主题的相关知识是乘法的意义。学生在探索并发现乘积最大的秘密的过程中，可以提升想象和推理能力，加深对乘法意义的理解。这个过程既是对长方形面积与周长关系的抽象概括，又是对乘法分配律的提前渗透（如图6）。

第一个问题两位数乘两位数，重点要比较“41×32和42×31”的大小，可用算式拆分——因为41×32=41×31+41，42×31=41×31+31，所以41×32>42×31，或利用图形重叠的方法（如图7）解决问题。学生将算式表示与图形重叠进行一一对应与关联，可以发现41和31分别表示多出的两个长方形的面积。第二个问题三位数乘两位数，重点要比较“521×43和52×431”的大小。有了第一个问题的探索过程，学生能迁移得到521×43=520×43+43，52×431=52×430+52，前者多了43，后者多了52，大小显而易见。此时，教师应引导学生建立数学模型，进一步解决多位数乘多位数的问题。

学生从两位数乘两位数开始探究，逐步深入，拓展到多位数乘多位数，探究了乘积最大的秘密。整个探究过程，学生提升了思维的广阔性、深刻性、灵活性。

2.开放设计，发散创新

将封闭性问题，通过呈现方式的改变、条件和问题之间的变换改编为开放性问题。让每个学生都参与进来，不同的学生会表现出不同的思维水平，提升了思维的发散性和创新性。

【案例4】“差等分”

姐弟俩集邮，弟弟有60枚邮票，分给姐姐10枚，他们俩的邮票就一样多。姐姐原来有多少枚邮票？

此題是《除数是一位数的除法》的相关内容，其核心知识是“移多补少”，将差平均分，使两个量相等。教师在学生建立数学模型后，对习题进行了开放设计，引导学生通过自主变式，深化数学模型;通过自主创编，提高分析问题和解决问题的能力。设计后的内容既是对除法应用的一次拓展，也是对平均数的提前渗透（如图8）。

建立数学模型“相差数÷2=移动数”后，教师追问：“你能对原题进行变化，使它成为新题目吗？”大部分学生把“姐姐的邮票数量”作为条件，求“弟弟的邮票数量”，即原题的“问题变条件，条件变问题”。在学生改编的基础上，教师进一步引导学生开放探究，提供条件“弟弟分给姐姐10枚邮票”，让学生自己再创建一个条件和问题，重新生成一道新题目并解决（如表1）。

这样的习题创编，能帮助学生在创编过程中掌握差等分问题的原理，灵活地运用数学模型和方法解决变式问题，提升思维的灵活性、发散性、创新性。

（三）求用：实践体悟，认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”

实践体悟包括延长体验过程和感悟数学思想，即设计探究活动，让学生在实践活动中积累经验，应用数学的思想方法，认知水平从“应用分析”跃至“评价创造”。

【案例5】“点图中的学问：正方形数”

本内容聚焦正方形数，其核心知识是“以数表形”“以形验数”。数是形的抽象概括，形是数的直观体现。通过本内容渗透数形结合的思想，有助于学生拓展思维，提升几何直观的意识和能力。作为“数与形”的提前渗透，本内容涉及：什么是正方形数、正方形数有什么变化规律以及正方形数之间有什么关系。

任务一：以数表形，寻找1～10中的正方形数，并用乘法算式表示正方形数;任务二：以形验数，通过点图帮助学生理解正方形数的变化规律;任务三：数形结合，猜想至少几个相同正方形数的和是一个新的正方形数，探究正方形数之间的关系。最后，将学生的视野拓展到“其他形数”（如三角形数），激发学生的数学探究意识。（如图9）

学生从“正方形数”到“其他形数”的探索过程，不仅是知识理解与应用的过程，还是数形结合思想方法的感悟过程。从认识概念到探索规律再到关联沟通，他们的思维由浅入深，由聚到散，由此及彼。

“一题一课”教学通过挖掘主题材料所承载的价值意义，让课堂教学走向简约，让学生的数学理解走向深刻，让认知水平走向高阶。实践证明，“一题一课”教学对学生链接经验、促进思维进阶、探寻主题中蕴含的数学思维、思想方法、数学精神等具有很好的效果，值得我们持续探索。

参考文献：

[1]郑毓信.数学思维与小学数学[M].南京：江苏教育出版社，2008.

[2]平国强.拓展性课程的内容价值取向与教学策略[J].教学月刊·小学版（数学），2017（4）.

[3]鲍善军，朱曙光.基于SOLO分类理论的“一题一课”教学设计与实践[J]. 教学月刊·小学版（数学），2021（11）.

（1.浙江省杭州市钱塘区教师教育学院   310018

2.浙江省杭州市钱塘区临江新城实验学校   310018）