邓昌滨

摘要：只注意按教材编排展开各种尺规作图的新授教学是不够的，会导致学生对尺规作图内容的学习是碎片化的，而且可能无法深入。可以在学生学习了5个基本作图后，安排一节跨教材章节的专题复习课，帮助学生建立基本作图之间的联系，认识作图本质，并迁移解决更多作图问题，学会自主探索作图方法。

关键词：尺规作图;专题复习;知识体系;探索能力

尺规作图（有限次地用无刻度直尺和圆规作图），是一种限制工具的作图，是初中数学的重要内容，其重要性在最近两次义务教育数学课程标准修订（2001年的实验稿修订为2011年版、2011年版修订为2022年版）中都得到了加强。尺规作图教学的基本要求和价值是，执果索因探索作图方法，从而明确作图原理，培养探索性思维和直观想象、逻辑推理能力。

苏科版初中数学教材中，尺规作图内容跨跃三个年级，分散地和有关的知识点编排在一起，如下页表1所示。因此，只注意按教材编排展开各种尺规作图的新授教学是不够的，会导致学生对尺规作图内容的学习是碎片化的，而且可能无法深入——比如，学习“作一个角等于已知角”时，学生只能了解（记住）作图方法，无法探索（发现）作图方法，也无法证明（理解）作图方法，因为还没有学习三角形全等的知识。这样的教学，往往不能很好地实现尺规作图的教学价值：培养学生相应的思维能力，让学生能够迁移运用（尤其是针对现在流行的千变万化的限制工具作图问题）。

因此，可以在学生学习了5个“基本作图”后，安排一节跨教材章节的专题复习课，帮助学生建立基本作图之间的联系，认识作图本质，并迁移解决更多作图问题，学会自主探索作图方法。下面呈现具体的教学设计，并对教学立意做进一步的阐释。值得一提的是，这节课曾在中国教育学会中学数学教学专业委员会组织的第十二届初中青年数学教师优秀课展示活动中展示。

一、教学设计

（一）文化引入

师（出示图1）在古代的女娲伏羲图中，女娲手执规，伏羲手执矩（曲尺）。这代表规矩和制度的产生，告诫我们，万物皆有定律，凡事都要遵守规范。历史上，最先明确提出限制作图工具的是古希腊的伊诺皮迪斯，之后，限用尺规工具作图逐渐成为一种公约。多年来，很多数学家都曾致力于研究尺规作图三大问题，即倍立方积、三等分任意角和化圆为方，但都以失败而告终。直至1882年，才证实了这些都是尺规作图不可能问题。近几年，限定工具、限定次数的作图问题成为中考数学的热点问题。

课始，介绍尺规作图的历史，以及數学家致力于解决尺规作图三大不可能问题的艰难历程，让学生感受到数学家追求真理的理性精神，激发学生的求知欲望和信心，发挥数学学科的育人价值，顺势引入课题。

（二）问题驱动，构建知识体系

教师拿出一根细绳，然后对折，引导学生从生活的视角寻找中点;接着，把细绳抽象成一条线段，引导学生从数学的视角寻求中点，从而引入用尺规作线段的垂直平分线的必要性，也体现了数学来源于生活的理念。

问题1怎样用尺规作线段AB的垂直平分线？

追问1直尺与圆规在作图中分别起什么作用？

追问2你是怎么想到这种作法的？

追问3如何证明所作直线是AB的垂直平分线？

追问4运用尺规，还有其他方法作线段AB的垂直平分线吗？

问题1引导学生回顾教材中已知线段的垂直平分线的基本作法，从数学的角度解决之前提出的找线段中点的问题。

追问1引导学生思考尺规作图的本质，认识直尺可以作出不确定（不过定点或过一个定点）或确定（过两个定点）的直线、射线或线段，圆规可以作出不确定（圆心或半径不确定）或确定（圆心和半径确定）的圆或弧，进而可以通过交点（交轨法），确定更多的线段或弧，以及更多的交点……同时，帮助学生复习“作一条线段等于已知线段”这一尺规最简单运用、交轨法最简单体现（一条直线、一段弧相交）的基本作图，认识到这是其他基本乃至非基本作图的“最基础”。

追问2引导学生回顾新授课中探索作图方法的过程，感受执果索因（假设图形已经作出），根据图形和目标、条件联想所学知识（几何性质），寻找可以作出的图形及其能够满足的性质的思想方法。如果新授课没有做好这方面的教学，本节课需要特别加强，因为这样的思想方法是解决作图问题的通法（基本思路）。

追问3引导学生在探索作图方法的基础上明晰作图原理，具体来说，即弄清作线段垂直平分线的依据是线段垂直平分线定理的逆定理。

追问4鼓励学生从不同的视角寻求不同的作法，避免思维固化，进一步感受通法以及原理的丰富内涵和引领作用，培养发散思维。具体来说，可以引导学生改变长度（半径）或位置（在线段的同侧或异侧），得到另一个交点（如图2、图3所示）。

问题2O是直线l外一点，怎样用尺规作过点O的直线l的垂线？

追问将点O移至直线l上，又如何作？

问题2及追问引导学生回顾教材中过一点的已知直线的垂线的基本作法（如图4、图5所示）。在作图过程中，学生能感受到，第一步实际上是构造一条线段，第二步实际上是作出所构造线段的垂直平分线，只不过这时只需让两弧交于一点，因为有一个已知点了。由此，学生能认识到，从作法上看，过一点作已知直线的垂线可以看作作已知线段的垂直平分线的变式。

问题3若变为一般的角，仍这样作图，是否也能作出角的平分线？

问题3引导学生回顾教材中已知角的平分线的基本作法，如图6。但这里改变了问法，直接提示了它的思路来源，即与前一种作图的关系。由此，学生很容易发现，作已知角的平分线是过直线上一点作已知直线的垂线的一般情况（直线及其上一点可以看作一个平角）。

问题4上述基本作图有何共同特征？

这是本节课的关键问题之一。通过前三个问题，学生已经初步感受到三种基本作图之间的联系。这里进一步引导学生挖掘它们的关系，提炼它们的共同特征。首先，要让学生认识到作图对象之间从特殊到一般的关系，即垂线是中垂线的一般化，角平分线是垂线的一般化（如图7所示）;并感受到作图方法之间逆向的从一般到特殊的转化。其次，要让学生认识到三种作图的共同特征，即利用“边边边”的基本事实构造有一组公共边且关于这组公共边轴对称的两个全等三角形（在图7的各个图形中即深浅不同的灰底标记的两个三角形）。在此基础上，还要引导学生思考为什么作法的内核（本质）都是这样的，从而认识到：线段是比角更基本的图形（度量），尺规的基本功能是作线段，从线段到角除了简单的等腰三角形的性质之外，可运用的最基本的性质就是由“边边边”确定的三角形全等，即三角形稳定性的具体表现（实际上“等边对等角”也是通过由“边边边”确定的三角形全等证明的）。

问题5现在你能探索并证明作一个角等于已知角的方法了吗？

新授课中，学生因为没有学习有关的知识，所以不能探索和证明作一个角等于已知角的方法。现在，学生不仅具备了有关的知识，而且在建立另外三种基本作图联系的过程中，认识到尺规作图的本质，因而很容易得到：要作一个角等于已知角，可以通过三条边对应相等，作一个三角形全等于已知三角形;教材中的基本作法正是这样得到（基于这一原理）的，只不过它在已知角的基础上构造了一个等腰三角形，再作其全等三角形，而我们也可以构造一个任意三角形。

至此，5种基本作图及其相互关系、内在本质都已经得到了“再认识”。

（三）习题引领，提升探索能力

例1如图8，已知△ABC，请用尺规作△ABD（点D不与点C重合），使得它与△ABC全等。

变式1如图9（1），已知△ABD≌△ABC，仅用无刻度的直尺，过点C作AB的垂线。

变式2如图9（2），已知△ABD≌△BAC，仅用无刻度的直尺，作AB的垂直平分线。

变式3如图9（3），已知△ABD≌△BAC，仅用无刻度的直尺，找到AB的中点。

前面，学生已经认识到通过“边边边”作三角形全等对于基本作图的重要性。进一步的作图探索，便从限制一条边为公共边作已知三角形的全等三角形开始。对此，学生很容易发现，关键是作出AD、BD，使得AD=AC、BD=BC或AD=BC、BD=AC，运用交轨法得到点D的位置。显然，有三种可能的结果（如图9所示，可以引导学生借助三角形纸片摆一摆，做到不重不漏），能培养学生思维的缜密性。当然，本题还具有一定的开放性，也可以设法作点C关于直线AB的对称点、关于线段AB中垂线的对称点或关于线段AB中点的对称点，即为点D。由此，可以进一步培养学生思维的发散性。

三个变式在例1探究结果的基础上，很自然地由尺规作图过渡到更为一般的限制工具作图（这里是只用无刻度的直尺作图）。引导学生执果索因，联想有关的知识，学生不难探索（证明）出作图方法：对变式1，直接連接CD即可;对变式2，设AD与BC的交点为E，分别延长CA与DB，交于点F，然后连接EF即可;对变式3，直接连接CD，找到其与AB的交点即可。由此，学生能够充分感悟到，限制工具作图的关键是利用好图形的几何性质，充分的推理思考能够代替（简化）复杂的作图步骤。

例2如图10，在正方形网格中，A、B两点均在格点上，你能仅用无刻度的直尺作AB的垂直平分线吗？（保留作图痕迹）

网格背景下的限制工具作图是当下中考考查的热点。网格实际上给出了平面相互垂直的两个维度上的整数度量，本质是平面直角坐标系的离散化形式。其中，可以精确利用的只有格点，任意格点的连线总是某个直角三角形的直角边或斜边。因此，可以借助勾股定理或直角三角形全等，得到线段的度量或关系。这在一定程度上可以代替圆规的度量（本质是比较）作用。引导学生认识到网格背景的本质，学生便不难找到与点A、B距离相等的两个格点（即下页图11中的点C、D），从而作出AB的垂直平分线。此外，教学中，还可以引导学生剖析如下页图12所示的典型错例，认识到格点连线的度量或关系只能通过计算或推理得到，不能凭感觉，也不能通过测量（这不能保证精确）——这其实正是初中的论证几何与小学的实验几何的主要区别。

例3在空白正方形中，用尺规设计一个图案，使其具有对称性或其他方面的美感（意味），并说明你希望表达的含义。

设计一个极具开放性的问题，引发学生的应用意识与创新思维，发展学生的审美感知与数学直觉，深化学生对尺规作图本质与价值的认识。学生通过连线、作圆（弧）、找中点等基本作图活动，能够设计出如图13所示的各种或简单或复杂的具有对称性的图案。如果学生的联想能力较强，还可能设计出七巧板图案（如图14所示）。

（四）课堂小结

最后，让学生谈谈经过本节课的学习对尺规作图有哪些新的认识，引导学生理清基本作图之间的关系，把握作图本质，体会基本作图与非基本作图、尺规作图与限制工具作图之间的联系，感悟如何探索作图方法、明确作图原理。

二、教学立意的进一步阐释

本节课是跨教材章节内容的专题复习课，主要体现了以下几点立意：

第一，在知识联系中把握本质。学生学过的尺规作图，尤其是基本作图知识，是零散的、碎片化的。本节课通过环环相扣的问题链，重构学习顺序，引导学生一步步发现它们之间的联系，在此基础上认识它们的本质，包括尺规的连线、作圆（弧）、度量（比较）等基本功能以及作图的交轨定点、以点定线（弧）、以线（长度）定角（角度）等基本思路，从而建立知识体系，实现深度理解。

第二，在迁移运用中感悟通法。尺规作图知识更重要的教学价值在于让学生学会执果索因（由“效果图”找“施工图”）探索解决几何问题（在“知何由以知其所以然”的过程中自然地“知其所以然”“知其然”），感悟其中普适的、可迁移的思想方法（活动经验），提升问题探究能力。本节课自然地从基本作图问题过渡到非基本作图问题，再过渡到更一般的限制工具作图问题，最后过渡到自由创作的设计图案问题（因为课堂时间限制，没有安排更多类型或特点的作图问题），引导学生在迁移运用中，深度分析作法来源及作图原理，感悟解决作图问题的通法及其广泛的应用价值。

此外，本节课渗透的数学文化、提供的设计图案任务，能很好地发挥数学的文化价值和审美价值，润泽学生的数学学习情感;设计的错例剖析活动，能强化数学的理性特质，涵养学生的理性精神。这些都丰盈了本节课的育人内涵。