余建刚

一、问题的提出

李政道博士在一次访问中说：“求学问，先学问，只学答，不学问，非学问。”其义是“做学问先要学‘怎么问，如果在学校只学‘如何答，那不是做学问。”李政道回忆起自己在美国读研究生时，其导师、著名物理学家费米每周都要花半天时间跟他讨论，为的就是让他学会独立思考，自己找答案。有一次，费米问李政道太阳的中心温度是多少。李政道答道，大概一千万摄氏度吧。费米就问：“你有没有自己演算过？”李政道说：“没有，因为计算比较复杂。”费米告诉他，一定要经过自己的思考和计算，才能接受别人的结论。

众所周知，滚动轴承广泛应用于交通运输以及机械制造工业等等，大大地减少摩擦力的影响。在高中阶段的学生，尤其是物理尖子生，对“滚动摩擦”非常感兴趣，但鉴于高中教材关于“滚动摩擦”的介绍篇幅太小，学生常会产生以下困惑。

（1）在无动力条件下，刚性圆柱（球）沿水平面做无滑滚动，为什么会越转越慢，是克服摩擦力做功？

（2）自行车胎气不足时，为什么踩起来会费力些，主要的影响因素是什么？

（3）“滚动”一定比“滑动”要省力吗？

为回答此三问，笔者尝试从学生视角出发，深入剖析问题，挖掘其物理本质，希望拨开云雾见“真知”。

二、“滚动摩擦”的模型构建

在无动力条件下，刚性圆柱（球）沿水平刚性面做无滑滚动，为什么会越转越慢？对于这个问题，不少高中生感到困惑，其原因是模型构建出问题。多数高中生建立的模型受力分析如图1所示，乍一看，似乎没问题，刚性圆柱（球）在水平地面上受到重力，地面的支持力和摩擦力，方向均正确。但假如该同学受力分析正确，那么倘若以圆柱体的轴心为转轴进行力矩分析，发现摩擦力产生的是动力矩（如图1摩擦力矩为顺时针方向），根据转动定律M=fR=Ic β，得角加速度β>0，又β=，故得出结论刚性圆柱（球）绕轴转动的角速度不断增加。在无动力条件下，圆柱（球）越滚越快，这显然是荒谬的，那么问题出在哪呢？

究其原因在于刚体只是一个理想模型，滚动物体和地面都不能是绝对的刚体，在真实情况中，滚动物体和水平面都可能发生形变，而滚动过程可能会导致支承面形变的不对称。为了简单，下面我们讨论滚动物体为刚性、支承面发生微小形变的情况。

当放在支承面上的圆柱（球）静止时，支承面由于受到圆柱（球）的压力而形变，圆柱与平面的接触处不再是一个点而变成一个圆弧面，支承面的变形是对称的，如图2（a）所示，刚性圆柱的接触面受到圆弧面施加的力N，方向沿竖直向上，即为支持力;支持力N与重力G在同一竖直线上。即静止时，支承面作用于刚性圆柱（球）的接触面上的合力与重力二力平衡。

當圆柱（球）质心C以速度vc向前运动时，由于刚性圆柱向前滚动，支承面形变不对称，接触处前方的支撑面微小隆起，而使支撑面作用于物体的合弹力N的作用点从最低点向前移，即支承面形变不再对通过重心C的竖直线对称。这种形变的差异其实非常微小，图2（b）所示为“放大”后形变的图，其“宏观”形变类似在用擀面杖擀面片时看到的现象。这时，支承面对圆柱的作用力F的等效作用点也会向前移动，且作用力F的方向也不再沿竖直方向而向后倾斜。作用力F的竖直分量可以视为支持力N，水平分量可以视为静摩擦力f。作用力F对质心形成逆时针的力矩，使圆柱（球）的角速度减小;水平分量静摩擦力f使质心运动速度vc减小。角速度ω和质心速度vc同步减小，圆柱得以继续保持无滑滚动，越滚越慢。

值得一提的，真实情况是可能地面和圆柱面都同时发生形变，或者某一种形变为主导作用，但共同特征都是支承面对圆柱（球）的作用点从最低点向前移，弹力N作用点前移，N与重力G不在一条直线上，形成了一个阻碍滚动的力偶矩，这就是实际情况下的滚动摩擦。从能量角度分析，圆柱（球）动能之所以减少并不是圆柱（球）克服静摩擦做功，动能之所以耗散是圆柱（球）滚动过程向前挤压接触面时，介质的非弹性形变造成机械能的耗散。

三、“滚动摩擦”的定量分析

上文已回答了本文的第一个问题，第二个问题“当自行车胎气不足，为什么踩起来很费力？”我们可以把这个问题简化为使滚轮保持以一定角速度不变持续滚动所需外力大小问题，所需外力大则费力。