高博豪 吴立宝 郭衎

【摘 要】量感是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中数学核心素养的主要表现之一，分布在各个年级教材内容中，整体来看呈现以量感内容为明线，以数学思维为暗线的安排方式。基于学生量感不足的表现，教师应把握量感的内涵与特征，积极采取借用直观、巧用经验、精用对照、活用转换与妙用近似的方式促进学生量感的发展。

【关键词】量感;直观;活动经验

【作者简介】高博豪，天津师范大学教育学部在读硕士研究生;吴立宝（通讯作者），天津师范大学教育学部教授，博士生导师;郭衎，北京师范大学数学科学学院副教授，博士，博士生导师。

【基金项目】天津市教育科学规划重点课题“中小学生综合素质评价研究”（BHE210014）

一、引言

量感是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中数学核心素养的主要表现之一，旨在培养学生选用工具进行合理测量，估测目标物理量，理解统一度量单位，以及合理表达与应用量感的能力。数学教材具有可教性与易学性[1]，就量感内容而言是以量感知识为明线，以数学思维为暗线。以量感知识为明线主要体现在两个方面。从横向来看，量感的内容在现行人教版小学1～6年级的12本数学教材中均有体现;从纵向来看，量感内容的安排呈现出由浅入深，由简到繁，由实物到模型的模式。以数学思维为暗线有两个表现：其一，小学一年级的数学知识以数量感为主，在学生对数量的本能认知基础上进行理性渗透，并采用类比转换思想将教材中量感迁移至其他物理维度;其二，各维度量感内容的安排均从学生的感性体验入手，逐步发展学生理性以及辨析的量感。在培养量感时，有的教师忽视了量感的整体性，将不同维度的量感割裂开来，不利于学生形成系统、理性、辨析的量感。梁培斌认为量感的培养迫切需要从教材的视角进行打量、优化、挖掘、扩展[2]43-45。因此，教师应紧贴教材，根据不同维度量感的共性与特性，结合学生量感的表现，合理制订量感培养策略，促进学生量感由感性到理性再到辨析的整体发展。

二、学生量感不足的表现

史宁中认为，学生量感最初的来源是对数量以及长度的本能认知[3]。学生在学龄前已经具备对客观世界的认知能力，并借助于自身语言系统进行表达[4]，表现为学生能用笼统的量感语言表达客观世界。因此，学生并非没有量感意识，而是缺乏科学、严谨的量感思维与表达能力。在教学实践中常表现为量感侧重失衡、篇幅失衡、生活失衡，即过度关注计算、测量而忽视估测、过程的理解以及现实应用[2]43-45。综上所述，学生量感不足的表现体现为以下四个方面。

（一）缺乏理性的量感认知能力

学生早期对事物的认知基于纯粹的感性经验，因此，学生并非没有量感，而是缺乏科学、标准、严谨的方法思考量感问题以及表征量感结果。例如学生可以用很快、很大、很重等笼统的感性语言描述速度、體积、重量等物理量，但无法科学表达有多快？有多大？有多重？这种感性认识具有个体差异性与非标准性，难以与他人共享并达成共识，进而解决具体问题。再者，学生缺乏测量意识、方法，例如难以选择合理的测量工具，对测量结果的认知不清晰等。就估测而言，学生难以量化估测结果。测量是学生产生理性量感的必要步骤，测量能力的缺陷将造成学生理性量感的缺失。

（二）缺乏灵活的量感辨析能力

学生缺乏灵活的量感辨析能力是指学生对客观规律的认识是主观的而非客观的，是主观认识与客观规律的矛盾体现，具体表现为以下两个方面：其一是认为看似无关的物理量就不存在客观的联系，例如难以厘清时间、距离、速度的关联;其二是容易将关联性强的不同量感相混淆，例如求解表面积与体积时会造成混淆。在量感的现实应用中，学生难以灵活判断、合理应用众多物理条件，是阻碍学生量感发展的一大问题。

（三）缺乏熟练的量感运算能力

由于估测运算能力不足，使得学生估测结果与真实结果差别较大。出现这样的问题，原因主要有以下两个方面：一是学生对量的单位转换能力较薄弱，尚未形成单位转化的共性思想，如长度单位换算能力薄弱的学生在面积单位、重量单位的换算中依旧存在问题;二是学生在多条件的应用题中，难以快速、准确识别对当前情境有意义的条件，从而构建求解方法。

（四）缺乏合理的量感应用能力

学生缺乏合理的量感应用能力表现在缺乏量感应用的意识、缺乏量感迁移的能力。客观来讲，教师按照教材教学在重视学生数学能力发展的同时忽略了量感的继承性与共性，重结果轻过程，重书本轻应用，导致学生缺乏迁移、应用意识，难以将量感知识与实际问题相关联。客观实在性是量感的本质，单一模式的书本教学将量感内容局限于用脑算、用笔写，忽略了《义务教育数学课程标准（2022年版）》中对量感应用意识的要求。

三、学生量感培养的“五用”策略

量感的培养应以课程标准来定向，以教材为依据，以学情为基础。遵循整体性原则，把握教材中量感内容的共性;遵循发展性原则，助力学生量感动态发展;遵循实用性原则，助力学生量感应用意识的发展;遵循熟练性原则，引导学生以量感为直觉，从而快速、近似、准确地表达结果。借用直观、巧用经验、精用参照、活用转换、妙用近似的方式，着力于学生理性的量感以及辨析的量感形成与发展，如图1所示。

（一）以借用直观为策略之“眼”，增强学生量感学习的趣味性

笔者在调研中发现，很多学生在作业中涉及填写单位时常“语出惊人”;解题过程中结果与单位的搭配“阴差阳错”等。学生在由情境记忆向语义记忆过渡时出现问题是造成上述情形的原因之一。因此，借用直观是在量感的直观性基础上，借助真实事物或者现代化信息技术将物理量以外界刺激的方式展示，并纳入学生原有的认知结构中，助力学生形成量感表象，将量感可视化。以直观性作为量感培养策略之“眼”，可以有效增强学生的感知能力。直观可视化教学为运用一系列教学策略呈现出隐藏的教学内容，使其清晰可见，化抽象为直观，利于学生理解[5]。例如人教版数学二年级“认识长度单位”单元，目标在于培养学生认识厘米、米等长度单位，进而合理表达长度，即长度量感从感性向理性发展。部分学生在本单元学习之后未形成长度量感的体系观，表现为在长度单位转换，计算应用等方面存在缺陷。因此，在本单元起始阶段，教师将数学元素融入教学情境可以让教学更具生命力[6]。借用直观的思想可以细化为以下三个方面。

1.借用直观提升兴趣

现代化信息技术对学生往往具有较大的吸引力，可将学生注意力集中于课堂。就内容而言，展示的内容既有人的身高、猫的身长等常见实物，又有跳蚤、星球的大小等不常见情形。在已知与未知，熟悉与陌生的视觉刺激下，学生将注意力集中于课堂内容，达到借用直观，提升量感教学趣味性的目的。

2.借用直观拓展维度

并非所有的物理量都可以用直观方式展示，例如重量、温度、磁场、电流等。针对上述物理量，教师可借助“從毫米到光年”“从克到吨”“从绝对零度到10000度”等视频，借助现代化信息技术为教师在其他维度量感教学提供参考模式，助力学生对不同维度量感共性的归纳。

3.借用直观形成体系

未形成量感体系观念是学生单位换算、计算应用薄弱的原因之一。因此，教师借用直观引导学生形成长度体系观念尤为重要。现代化信息技术可以不受具体事物大小、轻重、多少以及存在场合等影响，将这些实物根据需要放在同一个平台上展示，助力学生把握本质，逐步形成量感体系的观念。

（二）以巧用经验为策略之“手”，重视学生量感形成的基础性

在调研中我们发现，很多学生虽然善于用自身经验解决问题，但缺少关联意识，如教师问学生：“你的一条胳膊有多长？”很多学生回答不到一米，如若教师问学生一个和胳膊长度相似的物体的长度时，有的学生便回答不出来。人类最初的想象均源于客观实物[7]。学生量感发展的过程应该与人类对度量单位认知的过程相一致，即以经验入手，因此，将学生经验作为量感培养策略之“手”，强调可操作性，可巧妙构建理性量感与感性经验的联系。例如人教版数学三年级“测量”单元，教学目标是强调发展学生测量能力、估测能力以及单位转换能力。教师以学生“身体尺”为起点，在教学中巧妙构建“目标物体—身体比较—结果表征”的问题解决模式。教师引导学生用长度单位来近似表达自身胳膊的长度，形成自身一只胳膊的长度大约是0.8米的判断，进而引导学生用胳膊去测量目标物体的长度，增强学生关联意识。“身体尺”的使用不仅依靠教师的讲授，更多借助于学生自身的操作经验与生活感悟，这是十分重要的[8]。巧用经验的思想可以细化为以下两个方面。

1.精巧选用度量工具

精巧选用度量工具主要体现在以下两个方面。一是巧选度量部位。教师引导学生定位所要测量或估测的物理量维度，引导学生选用与目标物体物理量大小相近的身体部位作为参照物，通过大小相近快速表征量感结果，如引导学生测量书桌的长度可以选用自己的胳膊作为度量工具等。二是巧妙构建经验与数学知识的联系，例如教师提问学生手掌面大约多大，书本正面是几个手掌面大小等问题时，此时，教师可给出一张面积是1平方分米的纸片，引导学生将手掌放在纸面上，从而帮助学生构建起手掌面与1平方分米的联系。

2.灵巧提升应用意识

使用自身身体部位解决问题，可降低难度，增强体验感。因此，教师应多将量感问题与学生的经验结合，帮助学生克服畏难情绪，提升量感的应用意识。教师在培养学生量感的过程中，应多利用生活中常见的物体，如教材正面长大约是20厘米，宽大约是15厘米，书桌的高度大约是1米，一层楼的高度大约是3米，便携式矿泉水瓶的容积大约是500毫升等。教师通过提问学生：“这个物体的重量和什么物体重量类似呢？”引导学生建构未知与已知的联系，巧妙提升学生量感的应用意识。

（三）以精用参照为策略之“脑”，促进学生量感表征的科学性

笔者在调研中发现，部分学生的量感结果表征也不尽如人意。例如有的学生回答一支笔的长度是15米，天津广播电视塔的高度是405千米;还有的学生对长方体表面积与体积的概念产生混淆等。运用类比的思想，通过参照物的选择与对比精准化学生量感。将参照性作为量感培养策略之“脑”。精用参照有以下三个含义：其一，教师引导学生认知度量单位及标准量;其二，引导学生理解单位要参与运算;其三，引导学生养成与同维度标准量精准参照的习惯。例如，（1）在括号中填入合理的单位。天津广播电视塔的高度是405（ ）。（2）判断下列各项叙述是否正确。①一本字典的厚度是40厘米;②小明到奶奶家的距离是15千米，她最好走路去奶奶家。对此类问题，学生主要有以下几种错误：（1）对生活不常见的物体估测能力薄弱，如学生感知天津广播电视塔的高度时无法确认“很高”的范围，即无法确定选用405分米还是405米。（2）对太大或太小的单位认识不清晰，如1厘米和1毫米对学生而言都比较小，学生认为40厘米与40毫米都很小，难以做出精细判断;（3）对稍复杂的情境感知能力差，如15千米的距离是否适合走路。究其根本，是学生对度量单位标准量的感知不精以及参照对比意识的使用不精。精用参照的思想可以细化为以下三个方面。

1.精准定位量感维度

仍以上文天津广播电视塔的高度一题为例。教师首先引导学生精准定位此量感维度是长度，而非面积、重量等。精准定位量感维度助力学生排除无关因素干扰，是借助量感理性解决问题的第一步。教师在教学中应首先明确量感维度，从源头杜绝单位与实际意义不匹配的错误。

2.精细挑选度量单位

确定量感维度后，教师应强调单位标准量的大小感知，如引导学生复习强化1厘米，1分米，1米以及1千米大小的感知。例如估测天津广播电视塔的高度，教师从学生的错误点开始提问，如405分米可以换算为多少米？一层楼的高度是3米左右，那40.5米大概是几层楼高？那天津广播电视塔和10层楼差不多高吗？通过问题逐步引导学生发现用405分米描述天津广播电视塔高度是不合理的，进而引导学生感知405米的长度，相当于100层楼的高度，即3个高层楼房叠加在一起的高度，可以表示天津广播电视塔的高度。因此，教师应引导学生借助参照对比的思想，合理化学生量感结果，精细化度量单位的使用。

3.精确进行量感运算

精确进行量感运算有以下两个方面：一是借助量感的参照性与数字的运算法，将不易直接感知的过大或过小的物体进行合理的感知;二是量纲检验，即量感结果的单位要与题目设问的物理意义相匹配。例如教师在引导学生感知1千米的长度时是借助于1米的长度而来，将1000米转换为10个100米。教师引导学生明确1米的长度并以此感知100米的长度，进而参照100米的长度感知10个100米的长度，即1000米的长度。此方法有助于学生借助参照性精确感知“大”单位千米的意义并形成1千米是多长的量感。再者，学生根据长方体的长、宽、高进行表面积与体积的感知，认识到1立方米与1平方米是无法参照对比大小的，如若求长方体表面积，最终的单位结果应该是面积单位，如10平方米，而不能是10立方米。

（四）以活用轉换为策略之“魂”，培养学生量感辨别的灵活性

在教学中，有的教师在引导学生得到“1小时走过的路程是15千米”的结论时会问学生速度是多少，部分学生会反问：“什么是速度？”这是学生对量感缺乏合理转换的表现。转换思想是学生理性量感发展为辨析量感的主要途径，教师应引导学生通过转换思想，用联系的眼光看待问题，即以量感的转换性作为量感培养策略之“魂”，增强学生量感的灵活性。例如采用排水法求不规则物体体积，关键点在于学生理解液体体积不受形状约束，建构物体体积—水的体积转化模式。再者，小学教材中速度的描述采用经过多长的路程需要用多久时间的方式，本质上是将动态的速度通过异类量转换的思想借用路程与时间的关系进行转换，从而降低学生认知难度，有助于学生形成速度的量感。活用转换的思想可以细化为以下三个方面。

1.灵活识别转换情境

灵活识别转换情境是使用量感转换性的前提，也是教师在培养学生量感转换意识第一步。教师在进行转换思维培养的过程中应以学生熟悉的情境与经验为起点，通过构建学生经验与客观事实的联系，培养学生灵活转换的能力。如学生借助生活经验发现把手放进盛满水的水池中，水会溢出，且手浸入的体积越大，溢出的水也就越多。教师应将此情境作为教学情境，结合自身语言或引导学生实验，以启发诱导的方式帮助学生建立水位上升与溢出的体积之和就是物体浸入水中的体积这个观念，对学生进行转换意识的培养。

2.灵活抽象转换本质

利用量感的转换性解决问题其本质在于化繁为简，化难为易，将学生难以理解的量感问题转换为易于理解的量感问题。以排水法求不规则物体体积为例，其本质在于将不规则的无法计算的体积转化为能够计算的体积，教师引导学生思考什么样的物体形状容易变但是体积却能保持不变，引导学生想到水。在这个基础上，教师继续引导学生如何将不规则物体的体积转化为水的体积，使学生自主建构排水法的解决策略，把握转换本质，简化问题求得结果。

3.灵活归纳转换模式

灵活归纳转换模式可以概括为：若情境中已知与求解的量感不属于同一维度，则采用异类量转换的模式，如题目问的是速度，题设中给出的是路程与时间，并没有描述快慢这样的题设，此时教师应引导学生从速度的概念入手，即单位时间内物体通过的距离。同时，教师应鼓励学生尝试将不同物理量进行组合，并在客观规律中检验其量感结果。若情境中的物理量是较为熟悉但难以求出时，应采用同类量转换的方式，例如学生无法求不规则物体的体积，那么教师应该引导学生思考如何将不规则的物体转化为等量体积的规则物体进行求解。

（五）以妙用近似为策略之“心”，降低学生量感使用的难度

用量感的近似性求解问题是一种补偿性措施，即通过合理的近似处理降低题目的难度以及解决问题的成本，损失一部分精确性从而提升问题解决的实效性[9]。因此，有时量感结果的表征并不严谨，只要适合当下问题解决即可。量感近似性使用的关键在于引导学生理解近似的度，避免过犹不及。以用尺子测量物体长度为例。如图2所示，学生需要精确到毫米并在毫米的下一位根据量感的近似性进行估读，此时估读的结果合理即可。另外，教师还可以引导学生通过日常生活中的非标准度量单位进行量感结果的近似表征，如用“一拃”（手掌张开拇指尖到食指尖的距离，对于学生而言大约是16厘米）来快速近似表达目标物体的长度。妙用近似的思想可以细化为以下两个方面。

1.巧妙分析近似范围

近似范围的确定对量感结果的准确性至关重要。如图2所示，学生发现目标物体长度测量结果不在刻度线上，此时无法进行准确的读数。在此情境中，教师应提问学生：“物体的长度比多少长，又比多少短呢？”引导学生将关注点集中到近似处理的方向，并感受近似的范围，即最后量感的输出结果应该在3.1～3.2cm之间，超出这个范围就是错误的。接下来，教师继续发问：“那么这个物体在3.1～3.2cm之间的长度部分到这个格子的一半了吗？四分之一呢？”教师此时关注如何引导学生借助二分法的思想使用量感的近似性进行合理估计，如果正好在格子一半的位置，那么下一位估读为5，即3.15cm，如果在四分之一的位置，那么近似估读为3.12cm或3.13cm，在四分之三的位置估读为3.17cm或3.18cm。

2.巧妙采取近似措施

了解量感的近似性包括过程近似及结果近似，因此，教师应引导学生合理选择近似方式，降低表征与解决问题的难度。若量感结果输出无法准确表示或太过复杂，教师应引导学生应用量感的结果近似进行结果表征，如用3.2cm左右这样的语言表达量感的结果。若问题不是依靠单一操作步骤可以解决，且其中包括对结果影响不大，重要性不高，运算复杂或无法运算的部分，此时教师应引导学生采用量感的过程近似，忽略烦琐而非重要的部分，降低问题解决的难度。如估测一个矿泉水瓶子的容积，考虑到瓶盖部分对整体容器容积的影响不足十分之一，那么此时可以忽略瓶盖部分的影响将容器看作标准圆柱体，从而降低问题解决的难度，提高问题解决的效率，在近似准确的条件下解决问题。

四、结语

学生量感的培养并非一蹴而就，教师对策略的选择应该紧紧围绕教材，注意量感的整体性与不同维度量感的差异性。总体来看，量感培养的“五用”策略并非要完全体现在某一课时或单元中，而应该放眼于义务教育阶段学生量感统筹培养的过程中，借助“五用”策略将学生的量感向理性化、辨析化的方向培养。义务教育阶段量感内容的安排逐步从具体实物向抽象图形过渡，小学阶段更多指向对具体情境的测量与估测，而初中阶段更强调对抽象图形的感知与估测，例如八年级学生刚开始接触全等三角形的概念时，往往从视觉上借助于量感判断两个三角形是否对应的边与角均相等，或是用尺子与量角器对两个三角形进行测量，从而进行初步的判断，这种初步的判断对学生在两个三角形全等的严谨论证方面提供了认知的支撑点。由此可见，量感培养策略的制订应在“五用”策略的基础上，结合学生的认知发展与学情进行合理地演绎，更有针对性地促进学生量感的发展。

参考文献：

[1]吴立宝，寇晨红，王建波.中小学数学教材的属性与功能[J].数学通报，2021（10）：16-20，37.

[2]梁培斌.科学利用数学教材培养学生量感[J].教学与管理，2017（2）：43-45.

[3]娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本质及小学数学教学[J].数学教育学报，2018（6）：13-16.

[4]王莉.3-5岁儿童空间维度词“大/小”的认知研究[D].上海：上海师范大学，2009.

[5]梁培斌.小学数学量感可视化教学探索[J].教学与管理，2019（29）：40-42.

[6]张定强，张元媛，王彤.数学情境教学：理解现状与增润课堂[J].中小学教师培训，2017（5）：58-61.

[7]史宁中.试论教育的本原[J].教育研究，2009（8）：3-10.

[8]史宁中.注重“过程”中的教育：《义务教育数学课程标准》修订的若干思考[J].人民教育，2012（7）：32-37.

[9]孔海燕，孙雨，宋广文.小学生近似数量表征系统和工作记忆与数学成绩的关系[J].数学教育学报，2017（2）：14-18.

（责任编辑：陆顺演）