[摘  要] 对于一部分已经“会”的学生，学具操作变成了“滞后”的工具，完全体会不出它的价值所在。但若能深度挖掘这些简单学具的作用，把“单一”变“多元”，不仅能有效地把难以传授的知识或难以解决的问题更直观地呈现给学生，帮助学生理解知识，更能拓展学生的数学思维，提升学生的能力，进而实现深度学习。

[关键词] 数学学具;深度学习;数学模型;数学素养

新的课程标准明确指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。现在越来越多的课堂引入了直观学具的教学，主要因为它们的表现直观，有助于理解算理，有助于思维，有益于问题解决。因此，发挥学具作用到极致，不仅体现在学生学习方式的丰富与转变上，同时也促进教师改进教学方式，为传统的数学教学注入了生机与活力，提升了教师的专业素养。

一、挖掘学具本身的趣味性、直观性、多样性

学生伸手或跳一跳就能摘到的桃子，教师绝不要代劳，尤其是规律性的知识，一定是借助大量的操作自己“悟”出的。

学具操作：学具片（正方形片、圆片等）

课例1  苏教版五年级下册“和的奇偶性”

笔者让学生用自己的方式先探索两个数相加的奇偶性，就有学生用手上的正方形片摆出了这样的图示（图1）。

这仅仅验证了1+1=2（奇数+奇数=偶数）;1+2=3（奇数+偶数=奇数）;2+2=4（偶数+偶数=偶数）。笔者借机问：这个正方形片还能表示其他数相加的和的奇偶性吗？学生思考后纷纷摆了出来（图2）。

学生们从中发现偶数是一对一对出现的，奇数是有1个单个的。偶数和偶数相加，会“配对成功”;但是偶数和奇数相加，会有1个多出的;而奇数和奇数相加，原本两个多出的合在一起正好“配成一对”。

此时，笔者再次做了延伸：这个规律适用于任意非0自然数的相加吗，学生想到如下情况（图3）。

知识的习得绝非是刻意地告知，如果教学这个知识点，只是通过一串串枯燥的数据列举去理解，学生的感触是不深的，因为“没有反例”去被动接受这些规律，所以没有从根本上理解规律。但若通过正方形学具片的大量操作，借助学具的直观性和可插入性，学生则能非常直观地理解规律的本质，真正地理解，就能真正地接纳。

课例2  苏教版一年级上册“数数”

笔者让学生用自己的方式表达出数“10个小朋友”的方法，有学生摆出10个圆片来表示数“10”。

筆者问学生如何数的？能画出你数的过程吗？学生出现了两种数的方法和过程（图4、图5）。

这是第一次出现群数，是学生自发引起的一种“数数”的思维：遇到数量多、又有一定排列规律的物体时，自主产生了群数。学生根据排列方式的不同，想出了两种数法。图5数的过程是多元化的：纵向看，2个2个地数;横向看，5个5个地数。学生在边圈边数的过程中就能感受到观察方向的不同。也为后续学习乘法，对“5个2相加”“2个5相加”意义上的理解做铺垫。

二、发掘操作过程中的有效性、建构性、独创性

学具操作强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，让学生知其然更知其所以然。

学具操作：磁性圆片

课例3  苏教版一年级上册“求未知加数”

教材中教学求加法算式中的未知加数，一方面是进一步巩固10的分与合的知识以及有关10的加减法计算，为学习20以内进位加法和退位减法做准备;另一方面是让学生初步感受方程的思想，为五年级学习方程做铺垫。

教材（图6）是呈现10个格子的盒子，里面放了8个苹果，引导学生根据图意提出问题：再放几个能放满？

参看五年级下册教材（图7），学生对方程的理解是通过天平的平衡与否去理解等式与方程。曹一鸣教授提出的代数思维框架中，在“代数作为数学语言”中就提到了“用等价的符号表示处理公式、表达式、方程、不等式”。感受“=”两边的量（式）之间平等、对称、平衡、等价的关系。由此可见，通过天平平衡与否去理解不等式、等式，能更直观有效地发展学生的代数思维。

教学时，笔者把教材直接呈现10格的盒子稍做改动，改为出示两堆圆片，让学生思考：怎样能一眼看出红蓝圆片哪个多一些（图8）？

学生想出了两种办法（图9、图10）。

第一种是用“一一对应”的方法去比较;第二种想到了摆到同样的10格的格子里。学生通过对比发现第二种方法不仅能一眼看出谁多谁少，还能一眼看出各自的数量。

此时教师进一步提问：如果把它们分别放在天平两边，你们觉得哪头会往下沉？

学生画出了如图11的图示。

另外，学生还想出了多种方法（图12）。

知识本质的教学，既需要教师对数学知识的认识与理解，还需要教师对教材的整体把握和深度解读。教材只呈现了一道求未知加数的等式，让学生根据给定的图示去思考“盒子里应该放几个，括号里就填几”。如果只是像这样以陈述性的方式去传授知识，学生是难以主动介入和自主建构不等式、等式、方程的知识框架的。

三、触发学具背后思维的敏捷性、发展性、变通性

通常，学生被动接受知识或在教师指导下接受知识，其主动性较差，然而“自我转换”需要学生主动进行信息的加工，这也是学生“学会”的重要标志。因此，教学要促进学生主动学习，帮助学生实现信息的自我转换。如何让每个学生都经历“真学习”呢？

学具操作：小棒

课例4  苏教版一年级上册“认识10”

本节课两次利用小棒进行深度教学。

片段1：借助“十进制”理解“10”

笔者让学生用自己的方式表达对“10”这个数的理解时，有学生就摆出了10根小棒。接着笔者又带领学生把板贴的小棒数好10根后捆成一捆。

通过1根和1捆小棒，触发学生进一步思考：1根小棒可以用“1”来表示，“1捆”小棒也可以用“1”来表示（图13）。

学生对比发现一个是“1根”，一个是“1捆”，1捆其实就是10根。

然而，笔者在实验班级教学中都没看到学生直接用“1捆”表达“10”的，都是拆成单根去摆，这主要源于学生在生活中缺乏对“1捆”的感受，对“十进制计数”更是陌生。再者受之前学习的影响（所有数数的情况都是单个排列，没有组合排列），学生不会想到用这种简明的方式去表达，因此需要教师去引导。笔者先通过图示对比两个“1”：一个是“1根（一）”，一个是“1捆（十）”，单位不同，让学生对“位值制”有了初步感觉，如果统一单位都用“根（一）”来计数，后者就是10根（一）。其次通过观察教师的操作、让学生自己动手操作，切实感受到原来10个一是可以“捆成”1个十的，学生对“十进制”的理解水到渠成。

片段2：通过“数线”理解“10”

经历了第一环节，学生用10个不同的物体来表示“10”后，笔者把原本“竖向”1根1根摆放表示“10”的小棒进行“横向”摆放，同时设计了三个层次的问题：第一个层次，让学生感受到每向后延伸1根小棒，就產生一个数，越往后，小棒数越多，数也越大，这个层次是让学生对“数线”的“前”“后”有直观的感觉：“数线”越往前数越小，越往后数越大（图14）。

第二个层次，理解一小段可以用“1”来表示，那么多大的一段可以用“10”来表示？学生通过用胳膊比画，理解从第1个数数到第10个数时，这个“10”表示第10根小棒;或者从起点到10这么长的一段（十根），感悟基数词与序数词不同，同时聚焦对“数线”上的“10”更深一层的理解（图15）。

第三个层次，学生发现随着小棒的增多，后面还应该有更大的数，笔者在第10根小棒的右端，画上了一个箭头——“数线”，由此产生（图16）。

一些中高年级的学生对“数线”上找相应的小数、分数存在困难，其主要原因在于第一次接触这条抽象的直线时就不知道“数线”上每个数的意义和产生的由来。因此在第一次出现这条“数线”时，笔者就发挥小棒的作用：每一根小棒与每一根小棒的相连，让学生直观看到了数的延续，由此能在头脑中展开想象，初步建立“数线”的模型。这样，学生在动手操作、动手实验中体验数学、感悟数学，同时也在积累数学活动经验。

学生的实践操作伴随着问题的发生与解决，数学思维自然植入其中，学具操作成为知识与思维融合的媒介，成为感性向理性升华的桥梁。教师应致力于改变以往简单学具的简单操作，发挥学具操作的本质，让数学学具操作成为促进数学教学发展的平台，让学生在“动手做”的历程中凸显思维轨迹，提高思维能力，实现深度学习。

作者简介：王玉蓉（1986—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作，曾荣获全国新媒体和学科融合竞赛一等奖。