刘晓婷 陈娜

[摘  要] 教师由学生的疑问产生了设计拓展课的想法，但在实施中却出现了诸多问题，初始课难以引起学生兴致、改进课部分环节学生好奇心遗失。为此，通过对目标、任务、提问的反刍思考，明晰目标，用有层次的任务改善提问，撬动学生深度思考，用有深度的问题激活学生探索愿望，进而改进教学。

[关键词] 教学改进;数学拓展课;数学史

某数学课，教师带着学生学习“20以内数的认识”，有个学生突然问：“老师，外国的数也这样写吗？”此外，课堂瞬间安静下来，所有同学看向了他。而这时教师把回应的权利交给了学生，让大家一起讨论。最后不仅没有讨论出统一的答案，反而衍生出越来越多的问题：“别的国家的数怎么写？”“第一个发明数的人是谁？”“数是怎么来的？”等。

基于学生的疑问，教师产生了设计一节拓展课的想法。但在拓展课实施中出现了一系列的问题。为了让学生在学习活动中有更好的体验，更多的收获，教研团队针对初始课、改进课做了两轮教学改进，对拓展课的目标、教学任务、课堂提问等进行了深入系统的思考和设计。

一、初始课的困惑：精心的设计为何难以引起学生的兴致？

学生的疑问引发教师开发拓展课的愿望，但拓展课需要有具体明确的教学目标和丰富的教学活动。为此，初始课教师设计了如下教学目标：1.了解数字的来历;2.了解早期数字符号的含义和组成方式;3. 感悟“印度-阿拉伯十进位值制记数法”中的十进思想和位值思想。依据该教学目标，教学环节如下。

环节1：播放视频了解古人实物计数方法，了解早期计数知识。

环节2：探究古埃及象形数字的含义和构成方式，了解早期记数的方法。核心任务如图1。

环节3：0～20的再认识。核心任务：出示0～20，让学生找到基本数字符号，并用这些基本符号组成别的数。感悟位值思想，体会现行记数系统的简洁性。

本节拓展课的实际效果并不理想，除个别学生参与性较高，能跟着教师回答问题外，大多数学生并没有表现出太高的兴致，没有惊讶，没有惊叹，没有觉得有意思，整节课没有激情。教师很困惑：明明学生想了解“别的国家的数怎么写的”，为何这时却没有了兴致？

二、初始课的反思：明晰目标，用有层次的任务撬动学生深度思考

课堂学习难以引起学生的兴致，这就需要教师思考：教学目标合适吗？任务设计合理吗？怎样的任务才能让学生既觉得好玩又能沉浸思考呢？

（一）数学拓展课应以素养目标为导向

著名特级教师唐彩斌指出：数学拓展课应“引发学生好奇，激发学生兴趣，……不应是增加什么新的知识，而是发展能力，培养综合素养”[1]。周孝丽认为数学拓展课应“引领学生不断增强数学学习兴趣，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，提升学科核心素养”[2]，潘红娟老师提出数学拓展课应“以综合素养发展和活动经验积累为重点”[3]。综合以上观点，数学拓展课应以素养目标为导向，引发学生的好奇心、求知欲，提高学生分析、评价、创造等高阶思维能力，培育学生的数学学习情感，使其觉得数学有趣有意义，愿意学习数学。

上述的数学课缘于学生提出的问题，但这些问题只是学生的好奇，他们只是为了找到一个答案，掌握更多的事实。教师还需要讓学生的好奇心升华为理智的行为，能进行一连串的探究和观察[4]。基于此，教研团队对拓展课的教学目标修订如下：1. 借助微课“古人计数”，经历从“计数”到“记数”的发展历程，在摆一摆中体会计数中的一一对应思想。2. 通过寻找古埃及象形记数法的造数规则、“去创造”古埃及数字“十”“十二”，在讨论交流中体会古埃及记数法求简的智慧。3. 对比古埃及与印度-阿拉伯的数字符号，激发学生对0～20的记数的好奇，从而感悟位值制的意义和作用，体会自然数发展历程中的创新精神和理性光辉。

（二）活动任务应有挑战、有层次

不论是高阶思维能力，还是数学学习情感，均需用具体的教学活动任务来落实。初始课的三个教学环节，第一环节的微课动画直观形象，能够引起学生的注意和兴趣。第二、第三环节学生就没了兴致，仔细审视两个环节的核心活动任务，发现了如下问题。其一，“识别、补全数字符号”的任务没有挑战性，更不能引起学生的认知冲突，没有冲突就难以激发学生思考的愿望。正如有学生直言“太简单了”，填完后就把注意力转向别处。其二，第二、第三环节的两个核心任务“古埃及象形记数法”和“重新认识0～20”缺乏联系，难以让学生形成对“记数法”背后思想的整体感知。

如何设计有挑战性的任务？如何让古埃及象形数字的探究活动更好地为“重新认识0～20”做铺垫？基于对古埃及数字符号、印度-阿拉伯十进位值制记数符号及其记数特征的分析，教研团队抓住核心符号分层设计任务，以引导学生在冲突点思考、分析记数规则，进行了如下改进：

（1）出示古埃及象形数字

引导学生总结象形数字的造数规则：①基本符号为|;②累加;③符号多了要分行。

（2）创造数“10”的表示方法。有两种答案：和?。引导学生在对比讨论中体会古埃及人为了记数方便，满十就会发明一个新符号。

（3）学生自主尝试写象形数字“12”。有两种答案：?和。由“?”表示12还是20，引发冲突，在讨论中体会古埃及象形记数法在构成方式上与数字排列的位置无关，为后续环节做铺垫。

环节三带领学生通过观察“0～20”这二十一个数，并对比古埃及和印度-阿拉伯记数法中的“12”，归纳印度-阿拉伯记数法的造数规则：①基本符号为 0～9这十个符号; ②用位置表示不同的数值; ③有限的符号表示无限多的数。初步感悟位值制记数法的优势。

三、改进课新困惑：“重新认识0～20”为何好奇心遗失？

改进后第二次试讲课堂气氛比之前有所改善，对于古人实物计数方法、古埃及象形记数法这两个环节，学生的学习积极性明显提高，并发出了“怎么会这样”“原来是这样”的感叹。但“重新认识0～20”环节，想引发的惊叹、惊讶，深度思考没有出现。教师的感觉是否是学生的真实体会？教研团队做了课后调研，期望从学生的视角反观本节课的效果。毕竟基于数据进行教学改进，能防止产生经验主义和主观主义的预估错误[5]。调研结果如下：

第一项“请为本节课涂色打分”，90%学生涂了五颗星，10%学生涂了四颗星，学生对本节课整体比较满意。第二项打钩“你最喜欢的教学环节”，其中“重新认识0～20”仅占14%，见图2。第三项打钩“你认为最需要改进的教学环节”，其中“重新认识0～20”占64%，见图3。

从调研数据看，学生的确认为“重新认识0～20”需要改进，教师的感受与学生的体验反馈相一致。那么，问题究竟出在哪儿？改进课的新困惑引发教研团队新一轮的思考。

四、改进课反思：改善提问，用有深度的问题激活学生探索愿望

顾志能老师指出“开发一节有意义的数学拓展课，最应该关注的是三个要素：趣（趣味性），动（活动性），思（思维性）。只有内容有趣，学生才会喜欢，才会愿学，乐学，这是学习的前提”[6]。为何面对古埃及的象形数字可以“带着学生走向问题本质”，而面对阿拉伯数字却“带不动”呢？如何破解当前的困境？

（一）抽象、封闭的提问禁锢了学生思考

古埃及象形数字对学生来说比较新鲜，能够唤起他们的好奇心。层层递进地思考问题符合儿童乐于挑战的心理特点，从猜数到去创造“10”“12”，争论到底哪一个是“12”，在此基础上总结造数规则，思维层次一步步提高。其中既有语言表达，也有动手操作，活动形式多样。而印度-阿拉伯数字是司空见惯的，学生对它已没有新鲜感。面对刚刚在课本中学过的0～20，学生的情绪状态还没被唤起，教师就直接提出了抽象的问题，结果出现了“带不动”的现象。由于学生掌握知识的过程是感性认识和理性认识相结合的过程，在没建立起感性需要的基础上，单方面进行理性认知，所以就像在没有地基的半空搭梯子，自然困难重重。此时的活动已变成了“被”活动。学生“不理教师”更多是缘于任务和教师提问带来的隐形认知障碍。

假如该环节教师先播放小视频介绍阿拉伯数字的由来，并告知它的全称叫作“印度-阿拉伯十进位值制记数法”。之后的教学提出了如下问题：象形数字里“十”是个新符号，而这里的10是新符号吗？请你任意写一个更大的数，看看是否也是0～9组成的呢？在学生完成后，教师再提出问题：0～9这十个数字到底能组成多少个数？学生回答无数个，教师接着问：怎么用这十个数字就能表示那么多数呢？由于学生没有回应，教师追问：看看“12”，在古埃及象形记数法里?和都能表示“12”，在印度-阿拉伯记数法里，“12”中“1”和“2”的位置能变吗？

这样的五个问题大多是封闭的，为寻求一个标准答案，缺乏趣味性、开放性和思维的挑战性。第四个问题过于抽象，学生不知如何回应，问题无效。苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”[7]那么，如何使用问题激活学生的这种需求，进而引发深度思考呢？

（二）提问要具体、开放、富于变化

“重新认识0～20”的目标是：对比古埃及与印度-阿拉伯的数字符号，激发学生对0～20的好奇，感悟位值制的意义和作用，体会自然数发展历程中的创新精神和理性光辉。这一目标的实现需要引发学生情感和思维的投入，教师提出的问题需要有趣味性、挑战性。有研究者指出，深度问题一般有三种类型——比较式问题、头脑风暴式问题和总结性问题[8]。比较式问题，通过比较事物的异同发现本质;头脑风暴式问题调动学生已有知识经验，打开学生思考问题的空间，引发学生从多角度、多层次思考;总结式问题通过归纳和概括，促进学生反思。基于以上分析，教研团队对“重新认识0～20”环节中的核心问题做出如下改进。

（1）用比较式问题调动学生进一步探究的愿望。教师：“同学们，你们通过自己的努力揭开了古埃及记数法的面纱，下面我们来比较‘古埃及和‘印度-阿拉伯中的0～20。用你们善于观察的眼睛、善于思考的小脑瓜，来找找它们有哪些不同？”教师在适当时机还应提出更细致的比较式问题：“都是‘12，古埃及和印度-阿拉伯的表示方法有什么不同？”

（2）用头脑风暴式问题引发学生自由创造大数，激发学生对位值制记数法的深层次思考。教师：“同学们，你们刚刚发现印度-阿拉伯记数法就是用0～9这十个数字符号组合数字，你们能用它们组合出我们没有学过的数吗？写一写，和你的同桌讨论一下，这样写下去，能写完吗？你发现了什么？”

（3）用总结式问题引导学生反思内省，深度思考。教师：“同学们，你们找到了古埃及记数法和印度-阿拉伯记数法的不同，还发现了印度-阿拉伯记数法用十个数字符号就能变化出无穷多的数。那么，从结绳记数到古埃及象形记数法，再到印度-阿拉伯记数法，你们洞察到古人在发明创造记数方法时有哪些智慧呢？”

改进后的第三轮拓展课，课堂教学达到了理想的效果，师生“穿越时空认识数”，体会简约数字符号的不简单，感受古人的智慧！

数学拓展课作为学校数学教学规定内容外的衍生内容，它是教师对教材、学生、教学深度思考的体现。在上述拓展课开发实施与改进中，学生的思考唤醒了教师的思考，教师的思考又进一步撬动了学生的思考。教师对教学的执着、热忱感染着学生，学生深度思考时迸发的智慧火花鼓励着教师，如是，数学学科育人在课堂中就悄然发生。

参考文献：

[1]  唐彩斌. 数学拓展课应该基于教材、高于教材：“方格纸上的加减法”教学案例[J]. 小学教学（数学版），2019（Z1）：131-134.

[2]  周孝丽. 把握拓展技巧 促进思维发展：例談小学数学拓展课的设计与实施[J].小学教学研究，2020（24）：6-9.

[3]  潘红娟. 小学数学拓展课：设计、样态、模式与取向[J]. 教学月刊小学版（数学），2020（9）：10-15.

[4]  （美）杜威（Dewey，J.）著;姜文闵译. 我们怎样思维 经验与教育[M]. 北京：人民教育出版社.1991.

[5]  周杨. 基于数据分析的教学改进：以人教版“多边形内角和与外角和”为例[J]. 数学教学通讯，2021（8）：6-8+14.

[6]  顾志能，张斌. 趣·动·思：让数学课堂更显魅力[J]. 小学教学（数学版），2018（Z1）：136-139.

[7]  （苏）瓦·阿·苏霍姆林斯基著;杜殿坤编译.给教师的建议 修订本全1册[M]. 北京：教育科学出版社.1984.

[8]  陈薇，沈书生. 小学数学教学中深度问题的研究：基于专家教师课堂提问的案例分析[J]. 课程·教材·教法，2019，39（10）：118-123.

基金项目：北京市教育科学“十三五”规划2019年度一般课题“HPM视野下小学教师数学素养提升的实践研究”（CFDB19378）阶段性成果。

作者简介：刘晓婷（1983—），教育学博士，北京教育学院初等教育学院小学数学教研室主任，副教授，从事小学数学教师培训工作。研究方向：小学生数学学习评价与发展研究，数学课堂教学改进研究。