李明

函数性质是整个高中数学的核心内容，是高中数学的主线，所有知识均可与函数建立联系，都可围绕这一主线展开，函数的单调性、奇偶性和周期性更是高考考查的重中之重，常与方程、不等式等知识结合起来考查，本文探究函数性质应用中的“数学素养”。

一、抽象函数性质探究中的“思维方法”

例1（2021年江苏省苏州市高新区第一中学高三月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，yER，都有f（x+y）= f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）>0。

（1）求f（0）的值，并证明f（x）为奇函数;

（2）判断函数f（x）的单调性，并证明;

（3）若f（k·2）+f（4+1-8-2）>0 对任意xE[—1，2]恒成立，求实数k的取值范围。

解析：

体验：对于抽象函數的有关问题，其求解的思维方法是：合理运用对应法则和题设条件，多次赋值探究奇偶性;依据定义、题设及法则证明其单调性;利用奇偶性和单调性转化为函数不等式，通过不等式恒成立求参数的取值范围;常用变量分离法、换元法、构造函数法等求最值。主要考查同学们的数学运算、构建函数模型及逻辑推理等能力。

二、函数对称性应用中的“整体思维”

例2（2021年湖南省衡阳市雁峰区校级月考）已知函数f（x）=

（1）求证：存在定点M，使得函数f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数f（x）的图像上，并求出点M的坐标;

（2）

解析：

体验：当函数f（x）满足f（x+a）+f（b—x）=c时，函数y=f（x）的图像关于点（a+2b，2/2）对称;利用“函数的对称中心的特征，采用倒序相加法整体思维”可简化求解函数值构成的数列的求和问题。对于函数不等式的证明，可用分析综合法转化为函数值的大小关系，构造新函数研究单调性进行求证。凸显函数性质应用中的逻辑推理、整体思维、构建函数模型等素养。

三、最值探究中的“换元法和分类讨论”

例3（2022届东北育才学校科学高中部高三第一次模拟）已知函数f（x）=4cos2（2/2+π/4）sin x+（sin x+cos x）· （sinx-cosx）+1。

（1）

解析：

体验：三角公式士sin xcos x= （cosx±sinx）2-1，揭示了二次函数关系，同时给出了“平方沟通的三角变换方法”，奠定了换元法化归构造外层为二次函数在区间上的最值，借助对称轴和区间分类研究最值问题。形如y=asinx+bsinx+k，可先设sinx=t，转化为关于t的二次函数求值域;形如y=asinxcosx+b（sinx± cosx）+c，可先设t=sinx士cosx，转化为关于t的二次函数求值域。利用换元法处理三角函数的最值时，注意确定新元范围，如令t=sinx，tE[-1，1];t=sinx+cosx，tE[-2，2]等。

四、复合函数开放探索研究中的“推理验证”

例4（2021年江苏省淮安市洪泽区高三月考）现有如下三个条件：在①f（x）+f（-x）=0;②f（x）-f（-x）=0; ③f（—2）=—f（2）。从这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答。

已知函数f（x）=log2（?x2+a+x）（aER）满足。

解析：

体验：复合函数研究中的开放探索，按照题设要求合理选择条件，一一进行推理验证，推理验证过程中涉及奇偶函数的特征、对数运算及复合函数的最值探究。

（责任编辑王福华）9AFAE1D0-7AB8-4345-885D-2AFDB6DE90A2