吴玉辉

【摘要】在高中数学课本中，导数是核心知识点之一，并在求圆锥曲线参数方程中得到了很好的运用.导数加入高中数学体系后，使高中数学的知识体系得到了极大的延展，也为一些比较难的数学问题提供了一种新的解题思路.基于此，本文将通过具体例题来说明导数在圆锥曲线参数方程问题中的一些应用策略.

【关键词】导数;圆锥曲线;应用

【基金项目】本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题“大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究”（课题编号：FJJKXB20-790）系列论文之一.

导数是高中数学过渡到高等数学的重要工具，学好导数可以让学生步入大学时能够有一个良好的开端.目前，在高中数学的解题中，导数的概念得到了极大的完善和运用.因此，笔者将着重研究如何在解决圆锥曲线参数方程问题的过程中应用导数.

一、导数与圆锥曲线的概念

1.导数定义

导数（Derivative），也称为导函数值，是微积分中一个重要的基本概念.函数y=f（x）的自变量x在点x0处产生增量Δx，当Δx接近0时，函数输出值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a若存在，则a是函数y=f（x）在x0处的导数，记作f′（x0）或df（x0）dx.

对于可导的函数f（x），x→f′（x）也是一个函数，称为f（x）的导数.在某个点上找到已知函数的导数或其导函数的过程称为求导.实际上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来自极限的四则运算法则.已知的导数也可以被逆转，从而找到原始函数，即不定积分.

2.导数性质

单调性：

①若导数大于零，则单调增加;若導数小于零，则单调递减;若导数等于零，则为函数驻点，但不一定是极值点，需要代入驻点左右两侧的值以找到正负导数才能确定单调性.

②若已知函数是一个递增函数，则其导数大于或等于零;若已知函数是一个递减函数，则其导数小于或等于零.

根据导数的基本定理，对于可导函数，有如下定义：

若函数的导数在某个区间中始终大于零（或始终小于零），则函数在该区间中单调递增（或单调递减），此区间称为函数的单调区间.其中，函数的驻点定义为导数等于零的点.在这些点上，函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）.进一步判断则需要知道导数在驻点附近的符号.

x改变时，函数图象的切线也会发生改变，其中，切线的斜率为对应的导数值.进一步介绍一下函数的凹凸性：若函数的导数在某个区间内单调递增，则该区间上的函数图象向下凹，否则上凸.如果函数存在二阶导数，也可以通过其正负性来判断，如果在一区间内始终大于零，则该区间内的函数向下凹，否则上凸.

3.圆锥曲线定义

圆锥曲线是平面截二次锥面获得的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线和双曲线.对圆锥曲线的研究始于2000多年前的古希腊.

4.圆锥曲线定理

圆锥曲线又叫二次曲线，通过直角坐标系可与二次方程相对应，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圆柱、椭球面、单叶和双叶曲面等，这些都证明了圆锥曲线最具代表性的特征便是“焦点—准线”.

帕普斯定理的详细定义如下：圆锥曲线上一点的焦距长度等于从该点到相应方向的距离乘偏心率.

帕斯卡定理的详细定义如下：圆锥曲线的内接六边形，如果相对的边不平行，则该六边形的对边的延长线的交点是共线的（这也适用于降级的情况）.

布里昂雄（Brianchon）定理的详细定义如下：圆锥曲线的外切六边形在同一点有三条对角线.

当德兰（Dandelin）得出的冰激凌定理的结论如下：圆锥曲线几何定义与焦点—准线定义具有等价性.

如图1，若将圆锥的顶点设为Q，则有一平面π′与其相截可以得到圆锥曲线，作球与平面π′及圆锥体相切，当曲线为椭圆或双曲线时，平面与球有两个切点，而抛物线只有一个，也就说明了切点就是焦点.若球与圆锥之交为椭圆，可设此椭圆所在平面π与π′之交为直线d，则d是准线.

虽然该图仅画出一个椭圆，但证明方法适用于抛物线和双曲线.也就是说，任何一个切点都可以是焦点，d为准线.

证明：假设P是曲线上的一个点，如图2所示，连接PQ与圆O交于E，设球与平面π′的切点为F，令平面π′和π之间的交角为α，圆锥的母线与平面π的交角为β.设P到平面π的垂足为H，从H到直线d的垂足为R，则PR为从P到d的垂线，又∠PRH=α，其中，由于PE和PF都是球体的切线，所以PE=PF.

因此有PR·sin α=PE·sin β=PF·sin β=PH，

其中PFPR=sin αsin β为常数.

二、用导数方法求圆锥曲线的切线方程的引理论证

目前，大多教师仍然采用传统的解题思路进行圆锥曲线问题的求解，导致在当前的高中数学教学中，导数并没有被实际运用到对圆锥曲线问题的求解中.例如在求直线和圆锥曲线结合的题目时，虽然利用导数方法可以更加简单清晰地进行解题，但是教师普遍会教导学生按照传统解题思路进行解题.传统解决方案比较麻烦，尤其是包含参数时.因此，我们可以将圆锥部分划分为“几个函数”以进行单独讨论，以便学生使用导数方法找到曲线的切线.本文将使用导数方法来证明圆锥曲线的一些性质.

（一）引理一

过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一点P（x0，y0）作该椭圆的切线，则切线方程可以表示为x0xa2+y0yb2=1.

证明 先考虑y>0的情形：

当y>0时，y=baa2-x2，y′=-bxaa2-x2，

y′|x=x0=-bx0aa2-x20.

而y0=baa2-x20，∴a2-x20=ay0b，

∴y′|x=x0=-b2x0a2y0，为椭圆过P（x0，y0）的切线l的斜率，

∴切线l：y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

化简得b2x0x+a2y0y=b2x20+a2y20，两边同时除以a2b2得

x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2，即x0xa2+y0yb2=1.

当y<0时，y=-baa2-x2，同理可得其过P（x0，y0）的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.

点P在（a，0）或（-a，0）处时，其切线方程为x=a或x=-a，以上结论仍然成立，从而引理一得证.

（二）引理二

过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一点P（x0，y0）的切线方程可以表示为x0xa2-y0yb2=1.

证明 先考虑y>0的情形，当y>0时，y=bax2-a2，

y′=bxax2-a2，y′|x=x0=bx0ax20-a2.

而y0=bax20-a2，∴x20-a2=ay0b，

∴y′|x=x0=b2x0a2y0，为双曲线过P（x0，y0）的切线的斜率.

∴切线方程为y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

整理得b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20，

进而有x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2，即x0xa2-y0yb2=1.

当y<0时，y=-bax2-a2，其过点P（x0，y0）的切线方程仍为x0xa2-y0yb2=1.

點P在（a，0）或（-a，0）处时，其切线方程为x=a或x=-a，以上结论仍然成立，从而引理二成立.

同理，对于焦点在y轴上的椭圆和双曲线，可以使用类似的推理方式得到相同的结论.

（三）引理三

过圆x2+y2=r2上的一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.

上述公式在高中课本中已进行推导，因此本文中将不进行具体阐述，而且本公式也可以通过导数进行推导.

定理：对于二次方程：αx2+βy2=γ（αβγ≠0，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设曲线上任意一点为P（x0，y0），那么过点P且与已知曲线相切的直线方程为αx0x+βy0y=γ.

由图象平移法则，很容易得到一个更一般的结论.

推论：对于二次方程α（x-h）2+β（y-k）2=γ（αβγ≠0，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设其上任意一点为P（x0，y0），那么过点P且与已知曲线相切的直线方程为α（x0-h）（x-h）+β（y0-k）（y-k）=γ.

解决切线方程问题是导数的重要应用.圆锥截面通常不是功能性图形，因此教师通常不使用导数解决圆锥截面的切线问题，而使用传统的方法来查找由直线和圆锥截面方程组成的方程组的解，但是这种方法比较麻烦，尤其对于参数而言，计算量很大.因此 ，应将圆锥部分划分为“几个函数”以单独讨论.

三、导数在圆锥曲线方程中的实际应用

（一）利用导数求圆锥曲线的切线方程

例1 求过抛物线y=x2上的点P（x0，y0）的切线方程.

解 （1）当y≥0时，y=x，y′=12x，故切线的斜率为12x0，∴所求的切线方程为y-y0=12x0（x-x0）.

∵y0=x0，∴切线方程为2yy0-x-x0=0.

（2）当y≤0时，y=-x，y′=-12x，故切线的斜率为-12x0，∴所求的切线方程为y-y0=-12x0（x-x0）.

∵y0=-x0，∴切线方程为2yy0-x-x0=0.

综上可得所求的切线方程为2yy0-x-x0=0.

（二）利用导数求含参数的圆锥曲线的切线方程

例2 设P（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1上的点，求过该点的切线方程.

解 对x求导，得2xa2+2yy′b2=0，得y′|x=x0=-b2x0a2y0，

由点斜式得切线方程为y-y0=-b2x0a2y0（x-x0），

即x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2=1，即x0xa2+y0yb2=1.

例3 设P（x0，y0）是双曲线x2a2-y2b2=1上的点，求过该点的切线方程.

解 对x求导，得y′=bxax2-a2，

得y′x=x0=b2x0a2y0，

由点斜式得切线方程为y-y0=b2x0a2y0（x-x0），

化简得x0xa2-y0yb2=x20a2-y20b2=1，

即x0xa2-y0yb2=1.

四、利用导数求解圆锥曲线问题的方法与注意事项

（一）利用导数求解圆锥曲线问题的方法

学生在求解圆锥曲线问题时，需要有一定的创新思维能力.在传统的教学模式中，学生一般都先自学，然后对同一类型的多类题进行大量训练，从而提高成绩.但是考虑到学生的学习状况，教师应该兼顾学生的学习特点和学习效率，通过加强典型案例的培训方式，培养学生的创新思维能力，加强学生运用数字和组合图形的能力，提高他们对数学知识的掌握水平与对数学题型的理解能力.传统的教学方式过于单调乏味，无法因材施教.教师的教学方法应注重人性化，在教学过程中，教师的教学进度要以学生为中心，避免使用题海战术.

在数学解题过程中，不仅要有创新思维，还要有与之相伴的探索性思维.这对学生来说有一定的难度，对学生的综合学习能力提出了更高的要求.高中生如果能够在实际解决问题的过程中进行探索性思考，那么就能不断提高自身解决问题的能力.

在高中阶段的数学科目中，对圆锥曲线参数方程问题的求解，单一理论求解的形式较少，大多都复杂而广泛，也就导致需要使用的知识更加广泛和复杂.学生如果不能充分利用探索性思维，解决问题的难度就会逐渐增加.这里存在的问题是：学生应该如何使用探索性思维？这就要求教师在教学过程中摆脱形式主义，加强学生对基础知识的理解，运用广泛的知识，深入介绍圆锥曲线的本质.

（二）利用导数求解圆锥曲线问题的注意事项

高中阶段的每个科目都是相互关联的.每个知识都不应该是一个独立的个体.因此，学生在求解圆锥曲线参数方程的问题时，也需要具备一定的知识基础和思维能力.所以从知识库储备的角度来看，学生在学习之前需要了解参数方程的含义.参数方程是充分利用数形结合知识的一个方面，它用函数方程来表示圆锥截面上的一个点，并用中间变量的表达式来表示点的坐标位置.从一般意义来说，就是方程组中的x，y可以代表曲线上所有点的横坐标和纵坐标.

目前，在高中数学中，运用导数的概念和方法进行题目解答已经逐渐普及，让高中生在面对数学难题时，多出一种解答手段.如果学生不能完全理解导数与参数方程的含义，他们就不会理解数和形的结合是什么.学生需要明白，数学思维的层次不是单一的，而是多方面的.学生解决圆锥曲线问题时，观察问题的能力是非常重要的，只有充分理解问题中条件给出的方程的表达意义，将图中提供的条件和圆锥截面知识完全整合，才能将问题和图形结合起来，从而找到解决问题的方法和思路.

高中数学教学中涉及的知识点较多，教师在教学利用导数解决圆锥曲线问题时需要根据题目的实际情况进行分析，发挥理论联系实际的具体作用，改变以往的教学方式，运用导数概念来处理圆锥曲线问题，从而减轻学生的运算负担.本文主要介绍了导数与圆锥曲线的相关概念及理论论证，并通过举例论证了导数在求解圆锥曲线的切线等问题中的优势，可以使学生的解题思路更加清晰，从而让数学问题变得更加简单.

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[1]马志良.利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程[J].数学学习与研究，2017（21）：12-13.

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