王冠琳

【摘要】几何推理与图形证明问题考验着学生的逻辑思维与空间意识.教师利用直观图形与抽象数据同步发起教学活动，能够帮助学生掌握当前的学习重点，对数学知识进行理性分析.本文立足于初中数学几何推理、图表证明板块的教学活动，在对有关问题的命题方式、考查重点进行分析的同时，以文献分析法为研究方法，思考如何完成几何推理与图形证明板块的教学工作.

【关键词】初中数学;几何推理与图形证明;教学策略

几何图形知识不仅存在于数学教材当中，在现实生活中的教育指导环节，几何图形也能够发挥育人、启智的作用.对学生的几何推理能力与图形证明能力发起针对性教学，培养学生的几何意识与逻辑思维，能够帮助其掌握当前的数学学习重点.几何推理与图形证明问题都是以直观几何材料为考查对象，强调学生对数学知识的整理、应用与理性分析.这类问题的解题思路与抽象数学问题之间存在着较大的差异.如何借助几何图进行讲教学，这是教师在指导活动中必须思考的问题.

一、几何推理与图形证明问题的命题特点

（一）直观图形与抽象数字互相搭配，解题方向清晰

数学家欧几里得率先开展了关于几何数学的综合研究.其认为，算理中所包含的数学知识是停留在表面层次的，几何中的数学概念与数学理论更为复杂.欧几里得的观点从全新的角度解读了几何推理与图形证明问题的数学特点：

借由对所掌握的数学知识的理性分析，学生能够结合自身所掌握的解题方法解决几何推理与图形证明问题[1].从当前的初中数学教学特点来看，教材的编排与问题的设计遵循由浅入深的基本原则，在解题初期，条件丰富、目标明确的证明题较为常见.以三角形全等的有关证明为例，问题一般以如下形式出现在课堂当中：若两个三角形的两条边和其夹角分别相等，两个三角形是否全等？这个问题强调学生对于数学证明定理的掌握，注重“边角边”的应用.部分数学问题中还会直接给出直观图形，要求学生對有关问题进行理性分析、解读，如列出两个三角形的边长、角度，要求学生对三角形的图形关系、全等关系进行分析等，借由数学关系代替文字.在这一问题的解答中，学生所需要的材料题干已经给出，学生能够对问题进行透彻分析.数学家弗兰登塔尔认为，数学教育必须遵循“数学化”的原则，即将实际问题转化为数学形式，发现问题中的数学成分，进而对这些成分进行符号化整理.几何推理与图形证明问题的命题恰好满足了这一要求，借由对几何知识、逻辑关系的理性分析，学生能够将直观的教学材料转化为“成分”，进而提高其分析数学问题的速度.

（二）文字叙述与空间思维互相搭配，题目叙述抽象

并非所有的几何推理与逻辑证明问题都会以直观的方式出现在数学课堂当中，在教学指导环节，以文字叙述、抽象数字为主要命题形式的问题在数学教学活动中占有更大的比例.新课程标准明确强调，数学教学的重点目标不仅仅在于帮助学生记忆知识，更要指导学生对数学定义、概念进行应用，培养学生的数学思维.在全新的教育要求下，初中数学几何推理与图形证明问题演化出了新的命题形式.新型题目虽然要求学生对图形之间的关系进行整理、分析，但其并不会直接给出图形，而是依靠文字叙述调动学生的思维意识[2].以下列问题为例：现有△ABC和△EFG，其面积完全相等，△ABC中，A，B两个角的大小分别等于△EFG中E，F两个角的大小，两个三角形都是直角三角形，问三角形是否全等？在解答问题的过程中，学生并不能借助直观数学材料对有关数学条件进行标注，解题活动依赖于自身的瞬间记忆.部分几何证明问题甚至与应用题同时出现在题目中，如学校的花圃为直角三角形，其边长分别为3 m，4 m，5 m，现在要在花园的另一角构建一个与其完全相同的花圃，则另一个花圃应该如何设计？这一问题对勾股定理、三角形全等的条件两大知识点进行了考查，学生需要借助已知条件分析问题.对于数学教育活动来说，只有图形的几何证明方式并不利于学生数学思维的发展，将文字材料带入到数学课程当中，增强题目的抽象性，才能帮助学生分析数学问题.

二、初中几何推理与图形证明问题的教学短板分析

（一）单元化教学，教学方法落后

美国教育家霍华德·加德纳在20世纪90年代提出了多元智能理论的有关概念，其对以“逻辑+语言”为主体的智能框架进行了重新调整，认为言语、音乐、逻辑、视觉等七大要素相互搭配，才是个体基本的智能素质，且个体不同，其智能有高低之分.基于此，教师必须针对数学教学的不同模块灵活设计教学活动，让学生去感知、创造、体验，借此来完善数学教学流程.但一些学生只看见了课堂当中的数学知识，“完成任务”的思想依旧存在.部分教师利用任务、要求去限制学生，求解、证明成了几何推理与图形证明环节的唯一教学任务.教学活动的价值有限，学生难以形成出色的数学素养，单元化教育的短板开始逐渐暴露出来.在脱离了教师的引导之后，学生并不具备主动解决数学问题的能力，其在数学课堂上的解题，也不过是一个“依样画葫芦”的过程，数学思维并没有被开发出来.

（二）限制式教学，学生难以发挥

限制式教学是几何推理与图形证明教学中最为常见的数学教学问题：为了保障数学教学进度，提高教学效率，一些教师要求学生根据自己所给出的“最简方法”完成数学教学、计算任务，导致学生的数学思维得不到开发.美国教育家卡尔·罗杰斯便十分抵触传统的限制式教学，他在提出的非指导性教学理论当中强调，真正的教育应该是个体借助自身能力突破障碍并取得极大进步的过程，教师的干预必须是有限的.但结合数学教学经验来看，在数学课堂上，大部分教师并不能找准自身的定位：事无巨细的讲解，滔滔不绝的提问.这就导致学生只能沿着教师的思路解答相关数学问题，学生所推崇的逆推法、假设法等方法无法被应用在数学课堂上，学习积极性自然也无法提升.

三、初中几何推理与图形证明问题的教学策略

（一）牢记基础定理，明确解题方向

几何推理与图形证明问题借由几何图形与文字表述的互相搭配向学生发起提问.在教学指导活动中，对几何概念、图形定理的应用能力直接影响到学生的解题速度.美国著名教育家杜威提出了著名的“做中学”理论，其认为，教育是一个认知、应用、重新认知的过程，在不断探索、犯错的过程中，学习者才能取得进步.但从当前的数学教学工作来看，初中数学几何推理与图形证明活动完全以“先学再做”为指导理念[3]，教师强调的是学生应用定理的能力，但并不会对定理的应用细节、原则进行强调，学生很难正确分析几何推理问题.

抓住基础讲教学，锻炼学生的几何应用能力与图形证明能力，才能在根源上提高学生的学习效率.以部编版七年级下册数学教材“平行线的性质”的有关教学为例，教师可结合教学内容向学生提出相应的思考问题：平行线具有怎样的几何性质？要求学生回忆基础定理知识，在学生给出“某直线与甲直线平行，则其他与甲直线平行的直线也平行于该直线”这一定理之后，教师可围绕基础定理知识开展解题活动，首先给出两条水平的平行线，其长度完全相等，要求学生分析其几何关系，学生能够快速给出“平行”这一答案.随后，教师可对图形进行加工，将水平直线转化为长度不一、发生倾斜的两组水平线，要求学生继续对不同的平行线进行分析.在这一环节，学生的思路被平行线的长度、角度等概念所干扰，从而无法给出准确的答案.教师可从“空间位置关系”这一角度帮助学生证明、解题：平行是一种空间关系，其并不会受图形角度、长度的影响.教师在课堂上明确位置关系与长度关系之间的差别，对问题进行合理分析，强调基础概念，才能提高学生的几何推理能力.

（二）及时标注信息，培养数学习惯

解题信息遗漏是导致学生无法合理分析几何推理与图形证明问题的重要原因之一.数学概念的复杂、数学定义的相似会使得学生混淆相关数学知识，进而得出错误的解题过程.以三角形全等的有关教学为例，在数学知识中，定理中的“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”极易混淆，学生容易将其记忆为“两边与角相等的三角形全等”，使得解题活动失去科学性[4].

为避免出现数学定理、概念应用环节的混淆问题，教师应鼓励学生对已经得到的数学知识进行标注，依靠几何推理题中给出的文字表述与几何图形罗列出解题信息，确定解题方向，进而完成解题任务.以部编版八年级上册数学教材“全等三角形”的教学为例，教师可结合例题锻炼学生的数学思维，提高学生的数学技能：现有△ABC和△EDG，其中，∠A和∠E，∠B和∠D分别相等，边AB和EG相等，问两个三角形是否全等？结合所学的“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”这一定理，学生会直接给出答案：两个三角形全等.但对问题进行分析，发现存在明显的漏洞：EG不是∠E和∠D的夹边，两个三角形不一定全等.借由这种特别容易混淆的问题锻炼学生的数学思维，能够帮助其打破“想当然”的思考模式.在完成基础概念辨析之后，教师可要求学生独立进行作图、标注，将已知信息在题目材料中整理出来，形成利用已知条件推理数学问题的良好习惯.在初中数学教学环节，三角形全等的证明、推理是命题中的热门板块.为了增强解题难度，部分题目甚至将两个三角形结合起来，在问题中借由补角、辅助线等加大考核难度，如：△EFG中，∠G的补角是90°，若∠G与另一个三角形BCD中∠C的大小相等，其一条邻边、对边分别与∠C的邻边、对边相等，问两个三角形是否全等？利用邻边、对边证明全等会让学生摸不着头脑，但对“补角”这一概念进行分析后会判断出∠G为直角，再对图形知识进行理性分析，结合直角三角形证明全等的“HL定理”即可证明该数学问题.因此，教师在教学过程中要引导学生及时标注信息，保障精准记录，这样才能顺利完成数学指导任务.

（三）培养抽象思维，推导图形知识

抽象思维是帮助学生解决几何推理与逻辑证明问题的重要素质，学生的抽象思维越出色，对于图形知识的理解越透彻，记忆关键知识点的能力越强.从当前的初中数学教学工作来看，几何推理与图形证明题的解答依赖于文字、图片等材料对于题目信息的诠释.对于数学应用题，在文字无法阐明图形关系的情况下，学生很难直接对问题进行理性分析.教师在授课过程中培养学生的抽象思维，使其主动在脑海中构建图形，则能够解决这一问题.

以部编版九年级上册教材“点和圆、直线和圆的位置关系”的有关教学为例，在对数学概念进行分析的过程中，圆心、直径、切线等概念出现在教学活动中，教师可借由语言叙述改变学生对于直观载体的依赖性：先要求学生在脑海中画一个圆，随后根据教师的语言指导画出半径、直径、切线等结构.在学生完成虚拟绘图之后，教师要求学生选定字母，对有关直线、点的长度、名称进行标记，强化学生的抽象思维与空间想象力.在这一环节，教师可仅发起图形绘画训练，而不向学生提出问题.在一定的训练之后，教师可调整训练方法，给出纯文字应用题，要求学生证明圆中的切线，借由先前的绘图训练活动锻炼学生的绘图技能.培养学生的抽象思维，帮助其在理解抽象概念的同时学习理论知识，能够更好地提升其几何问题推理能力.

（四）创新数学方法，尝试实施自学

对于初中生来说，其数学学习能力与理性思维正在同步发展，以“模仿”为核心的教学机制已经无法满足学生的需求.几何推理与图形证明问题对学生的数学思维、逻辑思维、信息搜集能力提出了更高的要求，因此，教师在指导学生进行学习的过程中，必须结合教学板块中的有关要求创新数学教学方法，对学生的数学技能、数学思维发起针对性训练.

在解决几何推理与图形证明问题的过程中，教师可尝试要求学生按照自己的方法解决相关数学问题.在教学中，教师要以释放学生的思维、锻炼学生技能为首要目标，要求学生主动脱离教师的限制，摆脱对教师的依赖心理.以下列数学问题为例：

已知两个等腰直角三角形面积相等，求证：两个等腰直角三角形全等.

在解题的过程中，教师可提醒学生通过假设、代入数值等方法进行计算：等腰直角三角形的面积公式为两条直角边长相乘再除以2，被除数相同，只要计算两条直角边的积即可.因为是等腰直角三角形，两条直角边的长度也相同，由此学生给出答案：两个三角形全等.在计算的过程中，教师可让学生通过假设法、数值代入法等方法对相关数学问题进行求解，不以得出正确答案为最终目标，而是强调学生数学技能与数学思维的训练，分析信息，突破证明难点.在解题中，计算过程其实可以用“边角边”来表示：两个等腰直角三角形面积相等，证明两条直角边乘积相等，证明直角边长度相等，角为直角，所以两个三角形全等.学生的证明过程看似走了弯路，但学生的数学思维与几何分析能力却得到了同步训练.

结束语

几何推理与图形证明问题的命题形式虽然比较单一，但在复杂的数学知识的影响下，对数学问题的分析能力、逻辑思维，对既得信息的应用能力都被纳入到了几何证明问题的考查范围当中.要积极完成教学任务，教师必须分析几何推理与图形证明题的命题特点，把握教学要求，从基础概念、解题方法、数学思维等角度入手，改变学生的解题切入点，提升学生的解题速度.

【参考文献】

[1]葛莹. 初中数学几何推理与图形证明对策[J]. 学周刊， 2015（14）：222.

[2]范成. 初中数学几何推理与图形证明策略例谈[J]. 数理化解题研究（初中版）， 2014（10）：56.

[3]张丽菊. 初中数学几何推理和图形證明策略[J]. 理科考试研究， 2016，23（6）：4.

[4]刘世云. 关于初中数学几何推理和图形证明策略的分析[J]. 学周刊， 2016（1）：154.