李彪，王良明，杨志伟

（南京理工大学能源与动力工程学院，南京 210016）

弹箭阻力小不仅意味着弹箭的射程远、打击范围大，更能使弹箭在落点处保持较大的存速，增强毁伤能力，因此，减阻一直是弹箭设计者的首要任务。弹箭的零升阻力由摩阻、底阻和波阻3部分组成，且在中等超声速范围内，底阻占总阻的40% ～50%［1］，因此减小底阻对减阻增程意义重大。常见的减小底阻方法有底部排气法和底凹减阻法。底凹是指在弹丸底部平面上向弹头方向开一个空腔，具有底凹结构的弹丸被称作底凹弹。虽然这种减阻方法已经在工程上实施并取得了成功，但是其减阻机理仍没有被完全理解，尤其是在亚跨声速范围内，数值计算和实验方法所得出的一些结论甚至相反。

Tanner［2］使用实验方法测得不同攻角下底凹弹和普通弹丸的压力分布，通过直接分析弹丸底部压力变化来研究攻角对底凹减阻效应的影响。Sahu等［3-5］分别对超声速和亚跨声速范围内的底凹弹进行了数值仿真，讨论了底凹对弹丸飞行性能的影响。文献［2-5］都是通过比较阻力系数及弹底压力分布来分析底凹结构的减阻效应，并没有从弹丸底部流场结构方面来分析底凹减阻效应的产生机理。随后更高水平的技术，如纹影照相、镭射多普勒测速被引入到实验中用于测量超声速圆柱体［6］和跨声速锥形板底凹［7-8］的底部流场结构。对于超声速底部流场，文献［6］指出，在底部拐角处湍流边界层折转并膨胀，与圆柱体发生分离，并自此形成底部的自由剪切层。自由剪切层将外部无黏流和底部回流区隔离开。当自由剪切层到达对称轴时会再度发生压缩，之后附着在对称轴上。自由剪切层下边缘与对称轴的交点为驻点，最小断面处为喉部。对于亚跨声速底部流场，文献［7-8］指出，底凹减阻的主要原因是用屈从的流体边界替代了原有的固体壁面，使得尾涡形成的位置稍稍远离了底面，而且增大了涡脱离的频率。这2点可能都是底凹结构减阻的原因，而这2点又与数值计算的结果相反。数值计算的结果指出，底凹的存在会增强尾部涡之间的相互作用，减小涡脱离的频率，另外尾涡还会部分进入到底凹中。这是因为计算模型是一个完美的二维流场，而实验永远不可能完全不受三维效应的影响。文献［7-8］中使用的风洞规模相对较小，一些三维效应是不可避免的。需要指出的是，文献［6-8］研究的对象均是锥形平板和圆柱体，而数值计算的对象是二维简化模型。文献［9］将粒子图像测速技术引入到实验中对亚声速锥形板底凹流场进行了实验测量，所得结论与文献［7-8］基本一致，且指出底凹结构不会对尾部涡街结构造成影响或改变。Fournier等［10-11］对超高声速下底凹结构对CAN-4弹丸气动力的影响进行了数值研究，指出超高声速下底凹对气动力影响很小。Simon等［12-13］研究了不同湍流模型对底部流场数值计算的影响和效果。

国内也已经对底凹弹丸的减阻效应进行了研究。谷嘉锦［14］通过风洞试验分析了不同底凹深度对减阻效应的影响，并指出在超声速条件下，底凹需从侧面开孔才能起到减阻的作用，否则减阻效果并不明显。文献［15-17］通过对超声速底凹弹侧壁开孔建立数学力学模型，获得了侧壁开孔底凹效应的工程计算方法。西北工业大学的Pan和Cai［18］研究了底凹数目和形状对底凹减阻效应的影响。近年来，有关底凹效应的研究［19-21］逐渐增多，但对底凹效应的研究往往偏重于实验而忽视理论分析，并且国内只是对其减阻效果进行了数值模拟验证，关于底凹减阻的机理探讨尚不全面。另外，减小弹丸空气阻力对改善弹丸的弹道性能（如增大射程和存速、缩短飞行时间等）十分有利，而底阻在弹丸空气阻力中占比大，因此弹丸的底凹结构研究是十分有意义的。

本文采用标准k-ε湍流模型，对有无底凹结构的M910弹丸进行数值模拟，从底部流场特性，结合弹丸零升阻力系数对弹丸底凹结构在亚、跨、超声速范围下的减阻效应产生机理进行了分析。

1 数值计算方法

1.1 计算模型和网格

本文采用M910弹丸为对象进行数值计算，计算后的结果与实验数据［22］进行比较以验证计算的正确性。为M910弹丸引入圆柱底凹结构并将改造后的弹丸命名为M910BC。计算模型的外形和底凹形状及位置尺寸如图1所示。

图1 计算模型Fig.1 Computational model

实验和数值计算结果都表明，一旦底凹结构深度达到某一临界值后，继续增加底凹结构的深度将不会引起底凹结构减阻效应的任何改变，所有实验中测得的观测量也没有发生实质性的变化。文献［8］还指出，这一临界深度可能只有弹径的1／4或1／3，故本文取值为弹径的1／2以确保超过底凹结构的临界深度，从而不影响对计算结果的分析。

为了避免文献［7-8］中提到的计算模型采用二维结构网络出现的数值计算结果与实验结果存在差异，本文采用三维结构网格。为了对比分析弹丸有无底凹结构对底部流场的影响，应尽量保证不引入计算网格方面的差异，故本文均采用三维结构网格，并保证除在底凹内部，2种弹丸的网格数目和形状都完全一致。图2为M910BC弹丸的底凹计算网格示意图。

图2 底凹计算网格Fig.2 Computational mesh of base cavity

为了验证网格无关性，选取来流速度为1 190.7 m／s。对M910分别取网格数为120万、200万和310万3组网格，对M910BC分别取网格数为130万、200万和320万3组网格进行计算，比较阻力系数如表1所示。可以看出，2组弹丸网格数选取中等粗细和细网格阻力系数差异很小，大大节省了计算时间。因此，通过对网格无关性的研究，获得了一套既不影响计算精度又能减少计算时间的最优网格。表2为2种弹丸的网格配置参数和最优网格数目，其中径向边界距离和前向边界距离均指相应边界到弹丸顶点的距离，后向边界距离指后边界到弹丸底面的距离，表中距离的单位均为1倍弹径。

表1 网格无关性验证Table 1 Grid independence verification

表2 计算网格特性Table 2 Computational mesh characteristics

1.2 Navier-Stokes CFD

1.2.1 控制方程

完整的积分型三维可压缩Navier-Stokes方程可表示为

式中：W ＝［ρ ρu ρv ρw ρE］T为守恒变量，ρ为密度，u、v、w分别为3个方向上的速度，E为能量；FC为对流通量；FV为黏性通量；Q为源项；Ω为控制体的体积；S为控制体的各个表面。采用有限体积法解该方程。对流通量采用Roe格式离散，黏性通量采用中心差分格式离散。

1.2.2 湍流模型

标准k-ε湍流模型有较高的稳定性、经济性和计算精度，应用广泛［23］，故本文选取该湍流模型进行计算。该模型可表示为

该模型的参数设置参照文献［24］：Cμ＝0.09，Cε1＝1.44，Cε2＝1.92，σK＝1.0，σε＝1.3，PrT＝0.9。

因为壁面附近流场变量的梯度较大，所以壁面对湍流计算的影响很大。因此，在壁面附近要进行特殊处理，常用的方法有壁面函数法和近壁模型法。本文采用壁面函数法，即用半经验公式将自由流中的湍流与壁面附近的流动连接起来。文献［25］指出该方法的优点是可以保持雷诺应力与真实湍流一致，对旋流和分离流的模拟结果更符合真实情况。因此，该湍流模型适合于计算弹丸底部流场的分离和尾涡的形成。

近壁面阻尼函数为

1.3 边界条件

流场的外边界设置为压力远场。来流的压力为101 325 Pa，温度为288.5 K。弹体表面为非滑移绝热壁面，非滑移即在固体边界上的流体速度等于固体表面速度（本文指固体表面静止），绝热即壁面处温度梯度为0，故非滑移绝热的边界条件为

式中：下标w代表壁面处；T为温度；n为垂直于壁面的法单位向量。

表3显示了所要计算的工况，还定义了马赫数所属的范围（参照文献［22］进行马赫数范围划分），为接下来的分析工作带来了便利。

表3 来流条件与马赫数的关系Table 3 Relationship between incoming flow conditions and Mach number

2 计算结果与分析

2.1 计算结果与实验数据对比

图3为计算所得的M910弹丸阻力系数CD与M910弹丸实验数据［22］的对比结果。为了便于直观显示底凹结构的减阻效应，将M910BC弹丸的计算结果也放于图中。从图3可以看出，M910弹丸的计算结果与实验值在跨声速段吻合很好，但在亚声速和超声速段，计算结果都略大于实验值。虽然标准k-ε湍流模型对旋流和分离流的模拟具有优势，但对强逆压梯度不敏感［24］。随着马赫数增大，这种强逆压梯度越明显，故计算误差越大。此外，标准k-ε湍流模型假设流动为完全湍流，忽略了分子黏性的影响。然而在亚声速段，弹体表面的流动是层流和湍流混合的，此时的计算误差也会相应较大。

图3 计算阻力系数与实验数据的对比Fig.3 Comparison between calculated drag coefficient and experimental data

对于M910和M910BC二种弹丸，强逆压梯度发生和存在于船尾开始处，有无底凹结构对其影响不大。另外，由于2种弹丸的外形完全一致，相同马赫数下弹体表面的流动特性也完全相同。综上所述，2种弹丸在相同马赫数下由于湍流模型所带来的计算误差基本相等，图3中所显示的M910BC弹丸阻力系数减少的原因可基本确信为底凹结构的减阻效应，而并不是计算的误差。

此外，还可根据弹丸底凹结构的减阻效率随马赫数变化规律来判断计算的正确与否。底凹结构减阻效率为

图4给出了不同马赫数下底凹结构的减阻效率。可以看出，在亚声速段底凹结构减阻效率随马赫数增大而减小，这与文献［7-9］的实验结果规律一致。当马赫数增大到跨声速段，底凹结构减阻效应完全消失，这一现象在所有参考文献中都未曾给出。从图3可看出，在超声速段，底凹减阻的差值是先增大，后保持不变，这与文献［10］中实验结果一致。然而图4中减阻效率一直增大的原因是超声速下阻力系数随马赫数的增大而减小。结合底凹结构在亚声速和超声速段的减阻效率规律，可以确定在跨声速段底凹结构的减阻效率会逐渐到某一最小值然后缓慢增大，因此可以判断本文的计算结果是合理的。综上所述，本文所采用的数值计算方法基本捕捉到了各马赫数范围的流场物理规律，计算结果与实验结果吻合很好，故本文的计算结果可以用于底凹结构减阻效应的机理性分析。

图4 底凹结构的减阻效率Fig.4 Drag reduction efficiency of base cavity structure

2.2 亚声速下的底凹效应分析

亚声速下的弹丸底部流场结构复杂，不管是采用实验还是数值计算手段，获得真实的弹丸底部物理流场都是极具挑战的任务。大量研究指出，当亚声速气流从船尾流向弹底时，船尾处的横断面不断减小，在弹底面处突然消失为0。由于物体横断面的减小，由一圈流线所围成的流管的横断面积S必然增大。根据连续方程，流体速度减小。再由伯努利方程可知，当流线上速度减小，压强p会增大。因此，从船尾起始点处起，后面的流体将被阻滞。当压强增大到一定程度，阻滞作用会使流体流动停止。随着压强继续增大，就形成了反压，在反压的作用下靠近弹体表面的部分流体会形成逆流。此时，附面层将与弹体表面分离，形成涡街。

由于本文采用的是定常CFD计算方法，计算所得的尾涡将是一个等效涡街。该等效涡街只能表征实际涡街的大小和形成位置，关于涡街脱落信息则由弹底横截面平均压力系数来推断。

图5和图6分别为弹丸底部中心线上的压力系数曲线及弹丸底部横截面上的平均压力系数曲线。压力系数Cp的定义如式（7）所示。弹丸底部横截面是指圆心在底部中心线上、以弹径为直径且平行于弹底面的一系列圆面。

图5 弹底中心线压力系数曲线Fig.5 Centerline pressure coefficient curves of projectile base

图6 弹底横截面平均压力系数曲线Fig.6 Cross-sectional average pressure coefficient curves of projectile base

式中：∞表示“远场”处。

弹底中心线可从压力系数最大点处分为2段，如图5所示。压力系数最大点的左侧流场速度方向与来流相反，属于逆流，而右侧则属于顺流。对于M910弹丸，逆流是从压力高的地方向压力低的地方加速流动，在遇到固体底面后流体运动受到阻滞，流速降低，压力系数增大。这种流体运动遇到固体壁面受到阻滞的作用是在距壁面很小一段距离内发生的，从图5可以看出，在弹底尾部中心线上，压力系数在很短距离内快速减小，之后又迅速增大。而对于M910BC弹丸，由于底凹结构的存在，以流体边界取代原有的固体底面，逆流所受到的阻滞作用就没那么强，速度减小的少，在底面上，M910BC的压力系数比M910弹丸要小。

需要指出的是，图5显示的只是弹底中心线上的压力变化规律，而图6则显示了整个弹底横截面上的平均压力变化规律。由图6可知，相同马赫数下，底凹底面上的平均压力系数明显大于固体底面上的平均压力系数，表明底凹结构的存在可以增大弹底压力，减小弹丸阻力。

图7为亚声速下弹底压力分布云图。由于计算结果在竖直平面内是轴对称的，为了便于比较分析，将相同马赫数下的2种弹丸计算结果各取一半放在图中。

图7 亚声速下弹底压力对比Fig.7 Comparison of projectile base pressure at subsonic speed

结合图7可知，对于M910弹丸，由于固体底面的阻滞作用，在底面中心处形成了一块面积不大的高压区。该高压区使得涡街内部的逆流方向发生改变，而并不是像固体底面那样产生阻滞作用，因此方向改变的逆流速度并没有减小。当逆流的方向改变90°后，流体又加速从弹底中心流向弹底四周，这个过程中流体的压力在减小，因此在弹底四周形成了一片低压区，如图7所示。

底凹结构的引入给弹底流场带来了2个变化：①在底凹内部形成了高压“死水区”；②以“屈从”的流体边界代替了原来的固体底面边界。“屈从”的流体边界对逆流的阻滞作用不如固体底面那么强，因此在底面中心所形成的高压区不明显，面积也较小。与M910弹丸一样，涡街内部的逆流也会在底凹的流体边界上发生转向，流体由底面中心加速流向四周，从而导致沿弹径方向的压力减小。这样，底凹内外压差在拐点A（见图7（a））处达到最大。当内外压差达到一定值后，流体边界会被破坏，导致涡街部分进入底凹结构中，而边界破坏就发生在A点附近。由于在底面中心处流体边界内外的压差并不大，A点处边界不会被破坏，涡街也不能由此进入到底凹结构内，如图7所示。因此，涡街只是部分进入到底凹结构中，这一结论与文献［7-9］中的实验结果一致，反驳了底部涡街会进入到底凹内部且涡街运动会受到底凹限制从而提高底部压力的假设。

图5和图6还显示出，M910BC弹丸在底凹内部中心线上的压力系数变化不大，从约0.076 m处开始减小，这也证明了文献［8］中的结论，即底凹结构深度达到某一临界值后，底凹结构减阻效果不再随底凹结构深度的增加而变化。另外，“屈从”的流体边界在遇到涡街逆流时，在边界两侧会发生压力波动，如图5和图6所示，这种压力波动正是由流体边界“屈从”的特性所引起的。

随着马赫数的增大，弹底整体压力减小，形成的涡街会更强。涡街形成的位置也会更远离弹底面，如表4所示。无论是固体底面还是流体边界底面，涡街的逆流对其影响都会减弱。对于固体底面，涡街的远离就相当于在固体底面附近自然形成一个高压“死水区”，如图7中红色框图区域所示。这样因底凹结构所形成的高压“死水区”的作用就会减弱，在亚声速范围内，随着马赫数的增大，底凹结构减阻效率会降低，如图4所示。

表4 亚声速下涡街中心信息Table 4 Information of vortex street center at subsonic speed

2.3 跨声速下的底凹效应分析

跨声速是亚声速和超声速之间的过渡阶段，不仅同时具备了二者的特点，还具有自己的特点。从图4看，底凹结构的减阻效率在跨声速范围内先减弱至零，后慢慢增强。在该范围内低马赫数下，流场规律还是与亚声速流场规律一致，即随马赫数增大，底凹结构的减阻效果减弱。在该过程中，形成的尾部涡街越来越大，涡街形成位置也越来越远离弹底面，如表3和表4所示。

图8为跨声速下弹底压力对比。可以看出，当Ma＝0.90时船尾处就已经形成了膨胀波，此时的马赫角几乎接近90°，附面层无法完成重新附着。随着马赫数的增大，马赫角逐渐减小，附面层向弹轴方向偏转的角度就越大。除此之外，经过膨胀波的流体会加速，附面层会快速流向弹底中心线完成重新附着，形成封闭的回流区。尾部涡街被“困”于回流区内，将不再脱离。此时定常计算的结果将与非定常计算的结果一样［22］。

图8 跨声速下弹底压力对比Fig.8 Comparison of projectile base pressure at transonic speed

由表5可知，对于2种弹型，当马赫数大于0.98后，涡街的中心位置不再向弹底后方移动，而是转而向弹头方向移动。这是由于回流区形成以后，涡街无法脱离便被其后更高的压力压向弹头方向，在涡街和固体壁面的相互作用下，最终涡街中心会反向移动。在该过程中，因涡街位置越来越远而形成的弹底中心的高压“死水区”被回流区所破坏并成为回流区的一部分，最终形成新的稳定回流。

表5 跨声速下涡街中心信息Table 5 Information of vortex street center at transonic speed

对于M910弹丸，弹底中心高压区与涡街中心的压差在亚声速段越来越大，而进入跨声速后压差又会减小，图8中的结果证明了该结论。对于M910BC弹丸，弹丸底部的高压“死水区”也随着涡街的位置变化而变化，然而这些变化并未影响底凹内的“死水区”，因此底凹结构并不能起到减阻作用，如图4所示。

2.4 超声速下的底凹效应分析

超声速下的弹丸固体底面底部流场结构已经清楚，下面讨论底凹结构如何影响超声速底部流场，从而实现减阻。

对于底凹弹丸，当回流区形成以后，回流区里的流体将与底凹结构中的流体混合，该混合随着马赫数的增大而加深。如图9（a）、（b）所示，虽然自由剪切层和底凹壁面已经形成一个封闭的区域，但该区域内的流体并不全是回流。图9（c）、（d）又显示，在高马赫数下流体充分混合。根据底排弹的工作原理可知，只要向低压回流区中“添质加能”，就能减小底阻。因此，回流区里的流体与底凹中的流体混合可以看成一种“添质”行为，底凹结构在超声速下也可以实现减阻。

图9 超声速下弹底压力对比Fig.9 Comparison of projectile base pressure at supersonic speed

一方面，底凹减阻与2种流体的混合程度有关，当完全混合后，减阻效果不会继续增大，如图4所示；另一方面，在确定马赫数的情况下，2种流体混合所造成的“添质”行为有一个上限，即无法将底凹结构中所有的流体都视作“添质”。这又证明了增加底凹结构深度到某一极限值后，底凹结构的减阻效果就不再改变。

图9为超声速下弹底压力对比云图。可以发现，底凹结构确实将驻点后移，自由剪切层的折转角度减小，自由剪切层外缘抬高，喉部的高度增大，这些现象都说明了底凹结构起到了减小底阻的作用［26］。

3 结 论

通过对M910和M910BC（M910弹丸引入圆柱底凹结构）2种弹丸全马赫数下的三维定常CFD仿真计算，比较2种弹丸的计算结果，分析了底凹结构减阻效应的产生机理。本文结论可为弹丸底凹结构的设计提供参考，还可为弹丸的弹道优化设计提供依据，具有一定的工程应用价值。本文得出以下结论：

1）马赫数一定时，底凹结构深度达到极限值后，底凹结构减阻效率将保持不变，且该极限深度随马赫数的增大而减小。

2）底凹结构在亚跨声速和超声速范围内的减阻机理不同。在亚跨声速下，底凹结构以“屈从”的流体边界代替了固体底面，且为弹丸引入了高压“死水区”从而实现减阻。

3）在跨声速下，随着马赫数的增大，尾部涡街会远离弹底面，而在弹底面与涡街之间形成高压区。该部分高压区与底凹结构中的“死水区”作用相似，底凹结构减阻作用逐渐减小，最后消失。随着马赫数进一步增大，弹底上下附面层会在弹底中心线上形成封闭区域，即底部回流区。底部回流区的形成又使得涡街中心前移从而影响之前生成的高压区，底凹减阻效果又将出现。

4）在超声速下，底凹结构通过底凹内部流体与回流区中的流体混合，以向低压回流区增加质量的方式来减阻，这种混合会随着马赫数的增大而加深，直到完全混合后底凹结构的减阻效果将不变。