王辉，何天宇，都显琛，王春洁，2，*

（1.北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 100083；2.北京航空航天大学虚拟现实技术与系统国家重点实验室，北京 100083）

随着通信、遥感测量等领域的发展，星载天线成为各类卫星上的重要功能组件。星载天线中，可展开抛物面天线因收纳比大、刚度高、相对于平板天线工作精度更高等特点，受到了广泛的研究和应用。

为了在理论层面上研究并提升抛物面天线的性能，各国学者开展了大量有意义的研究。文献［1］阐述了构建模块化抛物面天线的必要性，并分析论证了模块个数对抛物面精度的影响。文献［2］利用ANSYS软件，建立了桁架式抛物面天线的等效有限元模型，研究了均布的绳索张紧力对天线前10阶固有频率的影响。文献［3］针对大型可展开抛物面天线，利用ANSYS软件将绳索以交叉布置与平行布置2种形式对天线的模态振型影响进行了深入研究，得出绳索交叉布置形式对天线刚度提升作用优于平行布置的结论。文献［4-5］基于星载索杆式抛物面天线的特性，分析了其拓扑结构，并提出了一种全新的索杆张拉构型。文献［6］对抛物面天线张紧绳索的热变形特性的影响因素进行了敏感度分析，探究了减小结构热变形的方法，并指出减小热变形应该注意的问题。文献［7］分析了3种抛物面天线的形面误差，并对3种误差的优缺点进行了对比和分析。文献［8］针对一种索网式抛物面天线，利用有限元法分析了绳索长度公差和绳索预张力对工作网面精度的影响。文献［9］采用有限体积法对一种索网式抛物面天线结构进行了静力分析和挠度分析。文献［10］在含绳索抛物面天线结构的有限元模型基础上，对结构的固有频率及模态振型进行了研究。文献［11］针对索网式抛物面天线结构，基于力密度法，通过优化设计，使天线获得了较高的网面精度，并求解了最佳的索网预拉力。文献［12］通过实验测试，分析了控制天线展开绳索的寿命，并对影响展开绳索寿命的因素进行了分析。文献［13］对模块化抛物面天线的构型及外层模块存在的角度误差进行了详细推理分析。

上述文献对抛物面天线的索网构型设计、形面精度及振动特性进行了大量的研究，但是针对构架式抛物面天线张紧绳索的非均布布置方案的研究并不充分。对此，本文提出了一种新型的绳索分层布置方案，并利用有限元模型对方案的合理性进行了验证。基于响应面模型和多目标优化方法对绳索张紧力参数进行了优化。

1 模块化抛物面天线

1.1 天线构型

本文以一种构架式可展开抛物面天线为研究对象［1，13-14］，其工作口径为4 m。该天线的构架用于支撑金属反射网，提高天线整体刚度。金属反射网是天线的工作部分，负责反射传输信号。构架是金属反射网的支撑体系，其展开状态会影响金属反射网的精度。因此，保证构架展开后的形面精度也是非常重要的。鉴于此，本文重点以抛物面天线构架为研究对象，且下文所述的抛物面天线代指构架。构架主要由7个边长相等的基本模块构成，中心模块由6个角度间隔相等且完全相同的基本肋单元组成，周围6个模块由角度间隔近似相等的6个基本肋单元组成，整体结构如图1所示。

图1 抛物面天线构架结构Fig.1 Structure diagram of paraboloid antenna frame

1.2 工作性能评估

为了减弱振动对工作性能的影响，有必要提升天线的结构刚度。提高天线的结构刚度，除了通过改善杆件材料性能和杆件截面尺寸以外，还可以在肋条间加装张紧绳索。但加装绳索的同时，会使背架发生形变，从而产生形面误差，其变形状况如图2和图3所示。为了更明显地显示出形面误差，图3将变形尺寸扩大了500倍。

图2 构架变形前Fig.2 Frame before deformation

图3 构架变形后Fig.3 Frame after deformation

为了定量分析形面误差，需要先给出其评价参数。在抛物面构架上选取若干个取样点，在绳索张紧力的作用下，每个取样点会偏离原有位置，使天线产生误差，单个取样点变形前后的距离及全部取样点偏移距离的均值表示为

式中：Dxi、Dyi、Dzi为样本点变形前坐标；D＾x*i、D＾y*i、D＾z*i为样本点变形后的新坐标；N为样本点个数。

本文以天线的固有频率作为结构刚度的评价标准，并将天线的若干阶固有频率整合为一个性能评价参数，其表达式为

式中：C为天线前m阶的平均固有频率；λi为天线的第i阶固有频率；λ0为指定的基准频率。结合文献［15］，1阶固有频率对天线的性能影响权重较大，其他低阶固有频率也对天线的性能有一定的影响，综合考虑本文研究对象后，取λ0为0.2 Hz。上述方法解决了在以结构固有频率为研究目标的优化设计问题中，仍然存在目标函数振荡、收敛过程缓慢的问题。

加装绳索可以提升天线的平均固有频率，同时会使抛物面产生形面误差，导致其形面精度降低，天线的2个性能之间存在矛盾，故需要细化绳索的加装方法。

2 张紧绳索加装方法

在绳索张紧力大小相同的情况下，相比于平行布置方案，交叉布置方案对提高天线高阶固有频率的效果更加明显［3］，因此本文选择交叉布置方案。

以往的模块化抛物面天线绳索布置方案中，通常将所有绳索的张紧力大小设置为相同值［2］，并没有考虑不同位置绳索加载不同大小张紧力的情况。传统布置方案虽然提高了天线刚度，但会使天线产生较大的形面误差。为了解决传统方案存在的问题，本文在已有研究的基础上提出了一种新的模块化抛物面天线绳索张紧力分层加载方案。将张紧绳索由内向外按层分成4个部分进行张紧力的添加，通过合理配置各层张紧力的大小，达到既保证天线的刚度，也保证天线的形面误差最小的目的。天线未展开时，绳索处于松弛状态；展开过程中，中心支柱根部弹簧驱动天线展开；即将到达指定展开状态时，各层绳索依次张紧，同时对绳索张紧力进行测量，保证同层绳索中每段受力大小相同，可以实现将中心模块连接的6个模块均匀展开，完成展开过程［13］。布置方案如图4所示。图中，A、B、C、D、E、F、G分别为组成天线构架的7个模块单元。考虑到该方案各层绳索的张紧力会存在差异，因此在实际应用中需要将张紧绳索分段安装。

图4 张紧力绳索布置方案Fig.4 Arrangement scheme of tension rope

天线在展开过程中需保证中心模块的6个绳索张紧力大小一致，从而使每个肋单元之间的角度相等［13］，新方案中心模块上的第一层绳索张紧力形成闭合力环，第二层张紧力对第一层模块的拉力矢量和为0，满足要求。外层6个模块肋单元间隔不完全相同，张紧力存在差别，其角度可依靠第二层接头处自由度释放实现调整［13］。中心模块受力如图5所示。图中各力满足：

图5 中心模块力矢量图Fig.5 Force vector diagram of central module

3 模块化抛物面天线结构性能分析

3.1 有限元模型

为了分析天线的结构刚度和形面误差，本文采用ABAQUS软件建立有限元模型，如图6所示。

图6 抛物面天线有限元模型Fig.6 Finite element model of paraboloid antenna

抛物面天线主要由多个杆件、铰链及绳索组成。有限元模型中采用Bushing元来代替铰链，可以很好地控制铰链的自由度，更接近铰链的真实状态。刚度设置如表1和表2所示，表中D11、D22、D33、D44、D55、D66分别表示Bushing元控制沿X轴、Y轴、Z轴和绕X轴、Y轴、Z轴的刚度。铰链在天线展开过程中是绕其局部坐标系的Z轴转动［2］，因此将其Z轴的刚度设置为较小值。

表1 Bushing元位移刚度参数设置Table 1 Parameter setting of displacement stiffness for Bushing coupling

表2 Bushing元转动刚度参数设置Table 2 Parameter setting of rotational stiffness for Bushing coupling

此外，结构杆件和绳索分别采用梁单元和桁架等效建模，建模方法的合理性在文献［2］中已进行了充分的验证。等效模型的关键参数值如表3所示。

表3 模型属性设置Table 3 Model property setting

考虑到铰链的质量对结构的性能也有一定的影响，在各个杆件的连接点处添加质量点，以模拟铰链质量［2］。

3.2 结构刚度分析

基于3.1节所述的有限元模型，本节对比了传统方案与本文提出的新方案二者对天线前6阶固有频率的提升能力，配置参数及分析结果如表4～表6所示。表中，“方案0”为不加张紧绳索的方案，“方案1”为传统布置方案，“方案2～方案4”为新型分层布置方案的3种布置方式。

将表6中4种方案对应的各阶固有频率分别与表4进行对比，传统绳索张紧力布置方案1和新型绳索分层布置方案2～方案4对抛物面天线的前6阶频率均有提升。说明相对于传统布置方案，新型布置方案同样可以起到提升天线刚度的作用，且提升作用不低于传统方案。

表4 无绳索天线固有频率及平均固有频率Table 4 Natural frequency and average natural frequency of cord less antenna

表5 张紧力布置方案Table 5 Tension arrangement scheme

表6 不同方案各阶固有频率及平均固有频率Table 6 Natural frequency and average natural frequency of each order for different schemes

3.3 形面误差分析

本文提出的新方案可以在保证天线刚度的同时减小形面误差。首先，在抛物面天线上选取30个和金属反射网连接的样本点，作为天线形面误差的研究对象，如图7所示。

图7 取样点分布Fig.7 Distribution of sampling points

对于新型绳索预紧力布置方案，分别求得其对应的形面误差值，将结果与传统布置方案的误差值进行对比，如表7所示。

表7 不同方案形面误差Table 7 Shape error of different schemes

通过将传统均匀绳索张紧力布置方案1与新型绳索张紧力分层布置方案2～方案4进行对比，方案2～方案4条件下的形面误差均低于方案1。在方案2的绳索张紧力布置条件下，形面误差降低了62.71%；在方案3的条件下，形面误差降低了38.42%；在方案4的条件下，形面误差降低了68.36%；上述3种方案对降低抛物面天线的形面误差有明显作用。

表7中各方案的天线变形云图如图8所示。可以看出，传统布置方案1和分层布置方案2～方案4在相同变形放大系数下，后者的变形趋势明显比前者的变形趋势更加平缓。

图8 抛物面天线变形图Fig.8 Deformation diagram of paraboloid antenna

4 张紧力参数优化

在新的绳索布置方案下，为使抛物面天线有较高结构刚度的同时保证形面误差最小，需要对每层绳索的张紧力进行优化。考虑有限元模型计算效率较低，如果在优化迭代计算中，仍用有限元模型计算抛物面的性能表征参数将花费大量时间。为此，本文采用完全四阶多项式建立以绳索力为输入、形面误差或平均频率为输出的响应面模型，利用响应面模型参与优化迭代计算将大幅度提高计算效率［16-18］。

4.1 建立绳索力优化模型

本文选取各层张紧力作为设计变量，选取平均固有频率和形面误差为目标函数。优化数学模型如下：

4.2 代理模型

为了提高计算效率，本文采用完全四阶多项式建立C、T与F1、F2、F3、F4的映射关系，其一般表达式为

式中：Y为每组样本点对应的仿真模型计算的真实值组成的n维列向量；X为样本点输入量组成的矩阵；α为由多项式待定系数组成的列向量；Y＾为响应面近似函数值向量；ε为响应面近似函数误差向量。

式中：0＜RMSE，R2＜1；n为样本点的个数；yi为样本点代入到仿真模型中计算出的结果；＾yi为响应面对应的估计值；¯y为yi的平均值。若RMSE的值越趋近于0，表示拟合精度越高，反之越差；若R2的值越趋近于1，表示拟合精度越高，反之越差。表8为本文拟合出的C、T对应响应面模型的RMSE及R2。

表8 响应面精度系数Table 8 Response surface accuracy coefficient

结果显示，响应面模型精度较高，可参与后续的优化计算。

4.3 优化计算及结果分析

在解决多目标优化问题时，可以通过加权求和的方式将多个目标函数转化成单个目标函数，进而采用单目标优化算法完成优化计算，但该方法得到的优化结果比较依赖多个目标函数的权重系数。在本文的优化问题中，2个目标函数的取值差异较明显，不易给出适当的权重系数。因此，直接采用非劣排序遗传算法（NSGA-Ⅱ）完成迭代计算。NSGA-Ⅱ基于帕累托最优理论，可获得多目标优化问题的最优解集，而非单个最优解。优化算法的参数设置如表9所示。

表9 优化算法参数配置Table 9 Parameter configuration of optimization algorithm

优化过程中，利用响应面模型计算出的C、T近似值来评价天线的性能。经过迭代计算，得到该模型的帕累托最优解集，绘制该模型对应的帕累托前沿曲线，如图9所示。

图9 帕累托前沿曲线Fig.9 Curve of Pareto front

通过分析最优解集，选取形面误差最小的配置作为最优解，即（F1，F2，F3，F4）＝（271.95，249.21，103.38，101.13）N，将最优解代入仿真模型进行验证，验证结果如表10所示。

从表10可知，经过优化后，新分层方案相较于传统方案使平均固有频率提升0.1%，形面误差降低了88.7%。

表10 最优解验证Table 10 Verification of optimal solution

5 结 论

1）本文以模块化抛物面天线为研究对象，提出一种分层布置张紧绳索的方法，并采用有限元模型对该方法的合理性进行了验证。仿真结果表明，该方法在保证结构刚度的同时，可以有效减小张紧力所引起的天线形面误差。

2）结合响应面模型和NSGA-Ⅱ对本文方法的张紧力参数进行了优化设计，结果表明，优化后的张紧力参数可以进一步提升抛物面天线的性能。

3）本文方法可为构架式可展开抛物面天线的设计提供理论指导，且可以引入到其他星载天线的设计过程中。