吴石军,刘成龙,滕焕乐,韩 冰

(1.中铁第四勘察设计院集团有限公司,武汉 430063； 2.西南交通大学地球科学与环境工程学院,成都 611756)

1 概述

高速铁路桥梁跨度超过300 m时一般选用大跨斜拉桥，但由于斜拉桥结构复杂[1]，各构件之间力学传递机理复杂[2]，主梁竖向线形易受温度影响产生复杂的变形[3]，CPⅢ控制网点位纵向布设间距一般为60 m左右，有些CPⅢ点不可避免地布设在主梁的不稳定位置，这些不稳定CPⅢ点的高程会随主梁结构变化而变化，导致高程产生多值性[4-5]，无法满足无砟轨道施工自由设站测量的精度要求[6-8]，使桥上轨道的精调施工无法进行[9]。因此，国内外设计时速超过200 km的高速铁路大跨斜拉桥全部采用有砟轨道。

但随着高速铁路建设的快速发展，大跨斜拉桥上铺设无砟轨道的需求日益增加，有砟轨道自重较大，造成桥梁恒载较大，增加工程造价，而且由于其结构的不稳定性，在运营期间需经常对轨道线形进行调整。此外，在以铺设无砟轨道为主的高铁线路上，若局部采用有砟轨道还会增加养护工作量和维修设备种类，特别在一些养护维修条件恶劣的高原地区，极为不便，因此，大跨度斜拉桥上铺设无砟轨道是未来的发展趋势[10]，而如何在大跨斜拉桥主梁上建立高精度的CPⅢ高程网是无砟轨道能否铺设的主要技术难题。

目前，国内外对大跨斜拉桥上CPⅢ高程网的测设研究尚处于起步阶段，基于大跨斜拉桥上铺设无砟轨道的应用需求，结合国内首个铺设无砟轨道的高铁大跨斜拉桥—赣江特大桥工程实例，对大跨斜拉桥主梁上CPⅢ高程网的测设问题进行深入研究分析，以期解决大跨斜拉桥上CPⅢ点高程的多值性问题，满足赣江特大桥轨道精调施工的需要，并为今后高速铁路桥梁建设中类似工作提供重要参考。

2 主梁上CPⅢ点点位布设及高程变形监测试验方法

赣江特大桥(以下简称 “该桥”)设计速度为350 km/h，是我国首次在高速铁路大跨斜拉桥上铺设无砟轨道的典型案例。该桥是跨径组合为(35+40+60+300+60+40+35) m双塔混合梁高铁斜拉桥，其主梁边跨及部分主跨(塔柱附近)采用混凝土箱梁，主跨260 m范围采用箱形钢-混凝土结合梁，为半漂浮结构体系，索塔和主梁之间仅设置竖向支座，主梁和边墩及辅助墩之间设置纵向活动支座和竖向支座，通过对该桥的结构特点进行研究分析，发现该桥结构具有以下特点。

(1)该桥主梁边跨的跨度较小且设有辅助墩，同时主梁和边墩及辅助墩之间设置有竖向支座和纵向活动支座，可以认为边墩及辅助墩顶部的主梁在竖向较为稳定，而纵向不稳定[11]。

(2)该桥采用“人”字形混凝土索塔，索塔全高124.5 m，桥面主梁以上塔高88 m，桥面主梁以下部分仅36 m且深埋在地基中，因此，可以认为索塔下部与主梁等高的位置在纵向和竖向均稳定[12-13]。

(3)该桥主梁主跨仅依靠斜拉索拉力弹性支承，其纵向和竖向都不稳定，研究表明，半漂浮体系大跨斜拉桥主梁主跨竖向变形趋势从整体看是以主跨跨中为轴对称分布的连续曲线[14-15]，且主跨跨中横断面竖向变形幅度最大[16]。因此，应考虑在主跨跨中横断面布设1对CPⅢ点，以便得到主梁主跨完整的竖向连续变形曲线，掌握主梁主跨竖向变形规律，建立主梁主跨CPⅢ点实时高程预测模型。

综上所述，为尽可能多地使该桥主梁上布设的CPⅢ点位稳定，使不稳定CPⅢ点布设在主梁竖向变化规律特点明显的位置，方便后续建立预测模型。根据该桥的结构特点和布点要求，在其主梁上布设了11对CPⅢ点[17-18]，如图1所示，主梁主跨上布设了5对CPⅢ点，两侧边跨上各布设了2对CPⅢ点，索塔与主梁等高的位置处各布设了1对CPⅢ点。

为解决大跨斜拉桥主梁上CPⅢ控制点高程的多值性问题，实现主梁上CPⅢ控制点实时高程的准确预测，需研究大跨斜拉桥主梁结构随外界环境变化的规律，以及主梁上CPⅢ控制点高程变化与主梁结构变化、外界环境变化之间的相关关系。因此，首先在该桥主梁上布设了3个大气温度传感器和3个梁体温度传感器，分别位于两侧边跨和主梁主跨，在主梁的大小里程伸缩缝处各布设了1个纵向位移传感器，在P4和P5索塔塔顶安装了GNSS接收机，各个传感器布设位置及其编号如图1所示；然后，设计了连续36 h主梁竖向静态变形监测试验，每2 h测量1次主梁上各CPⅢ点的高程，将各期数据及传感器数据作为后续主梁CPⅢ点实时高程计算模型的基础数据。

3 主梁上各CPⅢ点实时高程预测方法研究

根据对该桥主梁上各CPⅢ点竖向静态变形监测数据的分析，该桥主梁上需建立实时高程预测模型的CPⅢ点，只有主跨上布设的5对CPⅢ点(C09～C18)，且主梁主跨同一横断面的两个CPⅢ点高程变化量基本相等。因此，采用点对的形式建立该桥主梁主跨上各CPⅢ点实时高程预测模型，并以静态变形监测时得到的同一横断面上的两个CPⅢ点高程变化量的均值作为建模基础数据。

为分析主梁主跨上各CPⅢ点高程的变化规律，将主梁主跨上各个CPⅢ点高程的各期数据与对应的基准数据(首期)作较差，获取主跨上各CPⅢ点各期相对于基准高程的累计变化量，并将索塔塔顶纵向偏移监测数据和传感器参数与主梁主跨各期CPⅢ点高程测量数据进行时间区间统一后，绘制了变化趋势线，如图2所示。

图1 主梁上CPⅢ点及传感器布设示意(单位：m)

图2 主梁主跨上各CPⅢ点高程各期变化规律趋势

该桥主梁主跨上的CPⅢ点对按照高程变化趋势可分为3类：主跨1/2处CPⅢ点对(C13、C14)、主跨1/3处CPⅢ点对(C11、C12和C15、C16)及主跨1/6处CPⅢ点对(C09、C10和C17、C18)，其中，主跨1/2处(主跨跨中)CPⅢ点对的高程变化幅度最大，且与主跨1/2处横断面对称的CPⅢ点对其高程变化量基本相等，这说明主梁主跨不同位置的CPⅢ点高程变化量之间存在某种数学关系。若能确定这种数学关系的随机(函数)模型，建立主梁主跨各CPⅢ点实时高程预测模型时，就无需分别研究各类传感器读数变化对主梁主跨上各个CPⅢ点高程的影响，只需准确预测出主梁主跨某一个CPⅢ点对的实时高程变化量，就可以得到主跨其余CPⅢ点对的实时高程变化量，这样可以使实时高程预测模型更加简洁明了，同时降低建模的难度。通过分析发现主梁主跨1/6处、1/3处的CPⅢ点对的高程变化量与主梁主跨1/2处(主跨跨中)CPⅢ点对的高程变化量之间存在明显的线性关系，因此，采用最小二乘法，分别建立主梁主跨CPⅢ点对C09/C10、C11/C12、C15/C16、C17/C18高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对C13/C14高程变化量之间的线性回归方程。限于篇幅，以建立C09/C10高程变化量与C13/C14高程变化量线性回归方程的过程为例，其基本原理如下。

设C09/C10点对的高程变化量为因变量，记为Yi，C13/C14点对的高程变化量为自变量，记为Xi；在静态变形监测试验时共得到17期数据，则有回归模型

(1)

Q=∑[Yi-(α+βXi)]2(i=1，…，17)

(2)

若使方程Q的值最小，需求出函数Q关于α、β的一阶偏导数，并令一阶偏导数的值为0，则有

(3)

对式(3)进行变换求解，可得

(4)

图3 主梁主跨各CPⅢ点对高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量关系

为评价采用上述方法建立的主梁主跨各CPⅢ点对高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间的线性回归方程的拟合精度，根据式(5)分别计算出各个线性回归方程的判定系数R2和残差平方和SSE。R2和SSE度量了回归自变量对因变量的拟合精度，R2越接近于1，SSE越小，说明拟合效果越好。

(5)

如图3所示，采用上述方法建立的线性回归方程的R2最小值为0.993 4，SSE最大值为1.798。由此可见，本文建立的主梁主跨各CPⅢ点对高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间的线性回归方程拟合精度高，若能准确得出主跨跨中CPⅢ点对的实时高程变化量，则主跨各CPⅢ点对的实时高程变化量便可通过图3所示的线性回归方程准确算出。因此，建立主梁上各个CPⅢ点实时高程预测模型的关键技术问题，就是如何建立高精度的主跨跨中CPⅢ点实时高程预测模型。

3.1 影响主跨跨中CPⅢ点对高程变化因素的主成分分析

影响主梁主跨各CPⅢ点高程变化的因素很多。若直接将各类传感器读数变化量作为自变量，建立与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间的回归方程，一方面会因自变量过多而增加建模的复杂程度；另一方面大跨斜拉桥各构件之间的力学传递机理复杂，各类传感器读数之间存在多重相关性，会造成预测模型系数项的估计值方差变大，使预测精度产生较大误差。因此，用主成分分析的方法，首先，筛选出影响主跨跨中CPⅢ点对高程变化的主要传感器读数，并将这些传感器读数按照对主跨跨中CPⅢ点对高程变化的影响作用归纳成几种主成分；然后，确定各类传感器读数在各个主成分中的系数值；最后，建立主跨跨中CPⅢ点对高程变化量与各个主成分之间的回归方程，进而得到主跨跨中CPⅢ点对高程变化量与各类传感器读数变化量之间的回归方程。这样处理既可以将具有多重相关性的多个自变量转化成几个相关性弱的自变量，满足回归方程的要求，还可以降低数据的维度和建模的难度。

为便于表述，设主跨跨中CPⅢ点对高程变化量为Y、赣州向混凝土梁温度传感器读数变化量为X1、赣州向空气温度传感器读数变化量为X2、主跨跨中空气温度传感器读数变化量为X3、主跨跨中钢箱梁温度传感器读数变化量为X4、南昌向空气温度传感器读数变化量为X5、南昌向混凝土温度传感器读数变化量为X6、P4索塔塔顶纵向位移变化量为X7、P5索塔塔顶纵向位移变化量为X8、赣州向位移传感器读数变化量为X9、南昌向位移传感器读数变化量为X10。

(1)计算自变量与因变量之间的偏相关系数

偏相关系数是指在固定其余自变量的影响下，计算出的因变量与任一自变量之间的相关系数，其大小可以真实地反映出因变量与自变量之间的线性相关程度。为求出偏相关系数，需先求出简单相关系数

(6)

式中，rYXi为自变量Xi和因变量Y之间的简单相关系数；cov(Xi，Y)为Xi与Y的协方差；Var[X]为X的方差；Var[Y]为Y的方差。

根据式(6)，可得简单相关系数矩阵

(7)

设aij为矩阵R(i，j)中元素相应的代数余子式，则有偏相关系数为

(8)

按照式(8)可计算出主跨跨中CPⅢ点对高程变化量与各类传感器读数变化量之间的偏相关系数，结果如表1所示。

表1 主跨跨中CPⅢ点高程变化量与各类传感器读数变化量之间的偏相关系数

通过表1可以发现，南昌向混凝土温度传感器读数变化量X6、赣州向位移传感器读数变化量X9、南昌向位移传感器读数变化量X10与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量Y之间的偏相关系数均小于0.3，线性相关性低，在后续进行主成分分析时，应剔除这三类传感器读数变化量。

(2)自变量数据的标准化处理

由于各类传感器读数的单位不同，为消除因单位不同而造成的量纲差异，应对各类传感器读数变化量的原始数据进行标准化处理，标准化处理计算公式为

(9)

(3)计算协方差矩阵和特征值以及特征向量

采用标准化处理后的各类传感器读数变化量，可得到相关系数矩阵M，同时根据M的特征方程|M-λE|=0，求得M的t个特征值λi(i=1，2，3，…，m)，λ1≥λ2≥…≥λt，以及对应的特征向量ξi=(ξ1i，ξ2i，…，ξti)，i=1，2，…，t。

(4)计算方差贡献率和累计方差贡献率

单个主成分的方差贡献率为

(10)

所有主成分的方差贡献率为

(11)

主成分的个数m一般根据累计方差贡献率确定，当累计方差贡献率>85%时，对应的前m个主成分包含了原始数据的绝大部分信息，主成分的个数就是m个。每个主成分就代表一个影响主跨跨中CPⅢ点对高程变化的因素，记为F1，F2，…，Fm，每个主成分均可用各类传感器读数变化量进行表示，如式(12)所示

(12)

按照上述原理，对各类传感器读数(除去X6、X9、X10)进行主成分提取，得到前两个主成分的累计方差贡献率为95.689%>85%，每个主成分对应的各类传感器读数变化量的系数值如表2所示。

表2 每个主成分中各类传感器读数变化量的系数值统计

3.2 建立主跨跨中CPⅢ点实时高程预测的多元线性回归模型

根据上文的研究，采用2个主成分F1和F2作为自变量，建立主跨跨中CPⅢ点高程变化量的二元线性回归模型，如式(13)所示。

Yi=β0+β1F1i+β2F2i

(13)

式中，Yi为主跨跨中CPⅢ点高程变化量；β0为常数项；β1，β2为系数项；i=1，2，…，17，表示静态变形监测的观测期数。

可将式(13)转换为矩阵向量相乘的形式

(14)

(15)

将自变量F和因变量Y代入式(15)可得

(16)

(17)

根据式(5)计算出该回归方程的判定系数R2=0.981 5，残差平方和SSE=18.712，由此可见，采用本方法建立的自变量F1、F2与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间的拟合精度较好。进一步将式(17)中的自变量转换成各类传感器的读数变化量，结果为

0.189X4-1.203X5-0.574X7+0.687X8

(18)

将各类传感器参数的实时变化量代入式(18)，即可得到主跨跨中CPⅢ点对实时高程变化量；然后，结合上文建立的主梁主跨各CPⅢ点对高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间的线性回归模型，即可得到主梁主跨各CPⅢ点对实时高程变化量；最终，根据主梁主跨各CPⅢ点高程的基准值(首期数据)，即可得到主梁主跨各CPⅢ点的实时高程预测模型。

3.3 主梁上各CPⅢ点预测高程的精度分析

为检验按照上述方法建立的两种该桥主梁主跨上各个CPⅢ点的实时高程预测模型是否正确，在该桥主梁上利用电子水准仪进行了7次实测验证，并将两种预测模型计算出的主梁主跨各CPⅢ点高程与同一时刻实测高程作较差进行对比分析，较差区间统计结果如表3所示。预测结果与实测结果的对比分析表明：①预测模型在测量验证点中97.14%的高程较差不超过3 mm，其较差均值为1.6 mm；②预测模型在CPⅢ点实测高程变化幅度最大超过13 mm的情况下，预测高程与实测高程的最大较差为3.43 mm。

表3 实测高程与预测高程较差区间统计

由此可见，采用本文方法建立的主梁主跨各CPⅢ点实时高程预测模型的精度和可靠性均较好，可满足规范要求[19]，能够有效解决大跨斜拉桥主梁上CPⅢ点高程多值性的问题。

4 结论

对大跨斜拉桥的结构变形及其主梁上CPⅢ点多值性的特点进行了系统性研究，研究成果应用于昌赣高铁赣江特大桥主梁无砟轨道的施工精调工作，有效保障了昌赣高铁顺利通车，研究结论及创新点如下。

(1)大跨斜拉桥主跨竖向变形整体上是一条连续完整的曲线，主跨上各CPⅢ点高程变化量与主跨跨中CPⅢ点对高程变化量之间存在一定线性关系，仅需预测主梁主跨CPⅢ点实时高程，便可得到整个主梁主跨上CPⅢ点的高程预测模型。

(2)影响大跨斜拉桥主跨竖向变形的因素之间存在多重相关性，若直接进行建模，难度较大且会造成预测模型系数项的估计值方差变大，使预测精度产生较大误差。先采用主成分回归法提取影响主跨跨中CPⅢ点对高程变化的主成分，再建立主梁主跨上各CPⅢ点实时高程预测模型，可降低数据的维度和建模的难度，保证预测模型的精度。

(3)研究成果成功指导了昌赣高铁赣江特大桥主梁上无砟轨道的铺设，并取得了较好的效果，验证了本文方法的正确性。