浙江省宁波市第四中学(315016) 唐益鸣 蒋亚军

一、“共零点”赋值

例1 若关于不等式(ax −1)(lnx+ax)≥0 在x>0 上恒成立,则实数a的取值范围是_____.

例2 (2020 年高考浙江卷数学第9 题)已知a,b ∈R 且0,若(x −a)(x −b)(x −2a −b) ≥0 在x≥0 上恒成立,则()

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析令F(x)=(x–a)(x–b),G(x)=x–2a–b,当a >0,b >0 时,2a+b >a,2a+b >b,如图所示,不满足在x≥0上F(x)G(x) ≥0 恒成立;当a <0,b >0 时,2a+b 0,b <0 时,2a+b=a,如图所示,只要a+b=0,就满足在x≥0 上F(x)G(x) ≥0 恒成立;当a <0,b <0 时,2a+b <0,如图所示,满足在x≥0 上F(x)G(x) ≥0 恒成立.

综上一定有b<0,故选:C.

评注这类题型的特点是:f(x)g(x) ≥0(或f(x)g(x) ≤0)恒成立;其解法为:根据f(x)和g(x)的图象,经过简单的分析,一般可以发现f(x)和g(x)的零点相同才满足题意.运用“共零点”赋值,可以很快完成下列问题的解答.

练习1 (2020 年绍兴市柯桥区期末试题) 已知a、b ∈R,且0,对 任 意x >0 均 有(lnx −a)(x −b)(x −a −b)≥0,则()(答案:B.)

练习2 (2019 年杭州高级中学月考试题) 设a,b ∈Z,若 对 任 意x≤ 0,都 有(ax+2)(x2+2b)≤ 0,则a=____,b=____.

简解由2b <0,a >0 且得a=1,b=−2.

二、“结构式”赋值

评注这种解题方法,依据题中的条件构造出函数,并将该函数与所求结论的关系式进行结构对比,通过合理赋值加以解决.对于客观题作答可以说是简捷明快,值得注意的是,它的充分性是否正确需要证明.如下列问题:

三、“特定值”赋值

例6 (2020 年衡水一中高考模拟试题) 已知函数f(x)=axex −(a+1)(2x −1),当x >0 时,函数f(x) ≥0恒成立,求实数a的取值范围.

评注对于这类不等式恒成立求参数的取值范围问题,直接用“分离参数法”,往往是行不通的,充分利用试题直接给出的或者从关系式结构、数据等可以看出的,对函数不等式合理的赋值,可以极大地优化问题的求解过程[1].如2019年高考浙江试题第22 题就是典型一例.

练习5 (2019 年高考浙江卷第22 题)已知实数0,设函数