广东省广州市海珠区第四十一中学(510250) 梁美霞

《普通高中数学课程标准(2017 版)》对数学学科核心素养的提出,使得基于核心素养导向的课堂教学越来越被重视.从教学实践的角度看,核心素养为教学工作者指出了新的教学观理念:就教学方向而言要基于立德树人教学,就教学主题而言要基于课程意识和学科本质的教学,就教学主体而言要基于学生学习的教学.

在高三一轮复习“概率与统计——离散型随机变量的均值与方差”的内容时,我曾经给学生做了这样的一道题目:

垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20 个县城进行了分析,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,···,20),其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位:万人)和该县年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得

其余参考公式略.

(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合;

(2)求y关于x的线性回归方程;

(3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器,下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:

某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器,以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估计,该机构选择购买哪一款垃圾处理机器,才能使用更长久?

表1 以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表

第(1)(2)问主要体现数据分析和数学运算的素养,需要做什么学生很清楚,也能做出来,但学生普遍反映:不知道第(3)问要做什么,具体是不知道要依据什么来进行选择,所以无从下手.有的学生只是从考题多数考什么去想,感觉应该与随机变量的分布列有关系,但是不知道该怎么做.

学生出现这样的情况,其实不仅在学习“概率与统计”上.在整个数学的教学和学习的过程中,老师的教学重点和学生的学习重点都是放在知识与技能上,对于数学建模与数学探究活动重视不够.学生一遇到以实际问题情境出现的问题往往都会产生心理负担,甚至束手无策.

我们一直强调数学来源于生活而作用于生活.《普通高中数学课程标准》也指出:数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学知识解决实际问题的基本手段,也是推动数学发展的动力.通过高中数学课程的学习,通过“数学建模”意识的渗透,通过把这些实际生活问题与教学活动有效整合、融汇,学生就能更好有意识地用数学语言表达现实世界,发现和提出问题,感悟数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题,积累数学实践的经验;认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力,增强创新意识和科学精神.

数学课程内容的每一个模块都是带有情境的,每一个知识点都是通过实例引入的,“概率与统计”模块在这方面更突出,无论是知识点、方法和题目的呈现都离不开生活情境.下面以“离散型随机变量的均值与方差”为例,谈谈如何在教学中发展学生“数学建模”素养.

1 整体优化策略

通过“联系、组织、整合”,可以实现知识的系统化、结构化,并使知识转化为素养.强调联系、组织和整合的目的是防止知识和能力的碎片化,改变从单个知识点的识记到理解再到应用的认知路径,转变知识导向的传统教学模式.“知识点教学”即指“一个定义、三项注意、几个例题、大量练习”,学生看似完成了学习任务,但数学素养却始终没有形成.而“单元整合教学”则有利于让学生知道并理解整个学习内容,知道要学什么、为什么要学、如何学,从而形成数学素养.

在学习“随机变量及其分布”整章书的开始阶段,就应该从生活来源、所需数学模型、如何解决问题等方面先来一个总体的介绍,让学生知道要学什么、为什么要学、如何学.在后面每一节书的学习中,需要不断地回顾这几个方面,让学生形成整体的意识,自始至终知道在干什么.

1.1 学什么

就是要继续研究随机现象.我们已经知道,概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,从初中开始,学生已经知道了某些简单的概率模型,在此基础上,我们再进一步研究随机现象.研究一个随机现象就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率,分布列正是全面地描述了离散型随机变量的统计规律.我们会学习二项分布和超几何分布两个应用最广泛的概率模型,还会学习随机变量的某些数字特征,例如“均值”、“方差”.

“随机变量及其分布”的知识网络构建:

“离散型随机变量的均值与方差”是“随机变量及其分布”里的一个内容,在整章书的学习开始阶段就应该有所介绍,让学生知道并初步了解.

1.2 为什么要学

就是要解决实际问题.寻找随机现象的规律,可以为制定行动、制定策略提供依据,例如选拔人才、选择方案等.均值与方差是随机变量的数字特征,可以用来描述数据的集中程度和离散程度,所以可以通过比较它们的大小来解决实际问题.本文开始所提到的学生不知道要做什么的题目就是要解决这样的问题的.题目给出了两款垃圾处理器不同使用年限的台数,应当以每一台机器的平均使用年限谁大谁小为依据做出选择.所以题目第(3)问的解决如下:

解:以频率估计概率,甲款垃圾处理机器的使用年限为X(单位:年)的分布列为:

表2 甲款垃圾处理机器的使用年限的分布列

乙款垃圾处理机器使用年限为Y(单位:年)的分布列为:

表3 乙款垃圾处理机器的使用年限的分布列

因为E(X)＞E(Y),所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久.

当然,我们不能把“文字应用题”看成是“数学建模”.文字应用题面对的问题情境常常是条件不多不少,解法指向清晰,结果常常是确定的或唯一的.而数学建模常常需要一般化地解决一类问题,初始条件的变动常常给解决问题的模型带来随参数变动的不同结果,确定模型参数的可能取值或变化范围,说清楚模型参数和结果的关系,是用数学模型方法解决问题的标志性手法.

1.3 如何学

通过适当的实例,在探究、思考等活动的带领下,引导学生自己发现问题、提出问题,通过亲身实践、主动思维,经历不断的从具体到抽象的概括活动来理解和掌握有关知识.

在数学建模活动中,让学生了解数学模型、特别是经历数学模型的形成过程是非常重要的,因为在这个过程中,可以让学生真实地体验如何通过数学的“眼睛”来观察和分析现实世界中的一些事情,提出并且利用数学的“语言”来描述和分析这些事情,最后能数学化地形成比较清晰的假设、目标问题等.让学生感悟数学是现实的、是有用的,从而理解数学的价值,增强学生学习数学的兴趣.

2 情境设计策略

情境是“汤”,知识是“盐”,盐只有溶于汤才好入口,知识只有融入情境才好理解和消化.知识的情境化是知识活化并转化为素养的必经途径,而知识的过渡符号化和抽象化必然导致知识的惰性化和僵化,从而丧失知识的活力和价值.如果说整体化解决的是知识之间的关系问题,那么情境化解决的是知识与背景、理论与实践、文字符号与实际事物之间的关系问题.

现实生活是教学的源泉,是科学世界的根基,教学只有联系生活,走进生活,才能使人真正体验和理解知识的内在意义和价值.实际生活是学生学习的最好情境,它有助于学生形成从生活中学习、从实践中学习的习惯,并养成解决实际问题的真能力.

人教A 版教材在“随机变量及其分布”的章头图中,选用了一个射击运动情境.在射击运动中,每次射击的成绩是一个非常典型的随机事件.这个学生熟悉的情境被教科书多次选用,第一次出现在必修三第二章“统计”里对“标准差”的教学中:

有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10 次,每次命中的环数如下:

如果你是教练,你应当如何对这次射击测试情况作出评价? 如果这是一次选拔性考核,你应当如何选择?

这个实际情境是为了引出“标准差”,并且在“离散型随机变量的方差”的探究中再次出现,为了引出“随机变量的方差”:

要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛,根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为

表4 第一名同学击中目标靶的环数X1 的分布列

第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为

表5 第二名同学击中目标靶的环数X2 的分布列

应该派哪名同学参赛?

这个情境不仅能很好地引出新知识,而且沟通了新旧知识之间的联系.教学中应该重视并利用起来.

“概率与统计”不仅通过创设实际情境帮助学生理解概念,考题的呈现也都以实际问题情境出现,例如本文开始所提到的题目,因此,情景设计策略在本模块中显得尤为重要.除了书本、老师、考题给学生创设情境外,还可以让学生自己举例子去说明均值、方差在实际中有什么用,让学生更好地理解均值、方差的含义.

3 问题驱动策略

《普通高中数学课程标准》指出:数学建模主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.不难看出,上述主要表现是在问题解决的驱动过程中,探索模型的形成、完善的行为表现.

没有问题就不会产生解释问题和解决问题的思想、方法以及相关的知识.学生学习必须重视问题的作用.现代教学论指出:从本质上讲,感知不是学习产生的根本原因(尽管学生学习时需要感知),学习产生的根本原因是问题.没有问题也就难以诱发和激起求知欲,没有问题,或者感觉不到问题的存在,学生就不会去深入思考,学习也就只能停留在表层和形式上.人教A 版教材在“随机变量及其分布”的章头图中,选用了一个射击运动情境,并提出问题:如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点? 如何比较两个运动员的射击水平? 如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率大? 这些问题的解决需要离散型随机变量的均值与方差的知识.

事实上,均值和方差并不是新的概念,我们还可以提出与旧知识有联系的问题引导学生思考,例如:

问题1:随机变量的分布列全面刻画了随机变量的统计规律,但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征,同学们还记得在“统计”中我们学过哪些反映数据集中程度和离散程度的数字特征吗?

问题2:在用样本估计总体中,我们是如何计算平均数的?

问题3:在频率分布直方图中,我们是如何估计平均数的?

问题4:你能由频率分布直方图估计平均数的方法中,类似地得出随机变量均值的计算方法吗?

问题5:随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别?

问题6:如果X 是一个随机变量,a,b为常数,Y=aX+b是不是随机变量? 如何计算Y的均值?

通过以上问题的思考,也可以引导学生通过回顾样本平均值的计算与性质一步步得到离散型随机变量的均值的定义与性质.

为了突出离散型随机变量均值的含义和在解决实际问题中的作用,可以创设简单的情境提出问题,例如人教A 版选修2-3 第64 页练习:

产量相同的2 台机床生产同一种零件,它们在一小时内生产出的次品数X1,X2的分布列如下:

表6 X1 的分布列

表7 X2 的分布列

问:哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义.

本文开始所提到的题目的第(3)问也是考查离散型随机变量均值的含义与作用的.

“概率与统计”所研究的问题与我们的日常生活息息相关,所研究的数据都是带有实际背景的,研究的目的也是根据所关心的问题寻求好的方法,对数据进行分析和判断,从而得到必要的信息去解释实际问题.所以,与其他数学知识相比,本章知识有更丰富的实际背景,需要更加重视实践和应用.

《数学学科高考备考指导意见》提出:新高考试卷试题文字阅读量增加,设置日常生活背景、实际应用背景和文化背景的试题题量增加,考试要求自然提高,学生学习难度增大,复习中,教师应该加强审题教学的阅读指导,选择一些含有背景材料的数学问题,让学生经历提取关键信息、分析解题思路、示范规范表达、反思积淀经验的完整过程,提高学生的阅读理解能力和数学建模素养,这是我们一线教师积极响应新高考,应该加强的努力方向.