李超， 杨晔

（1.浙江大学建筑工程学院，杭州 310058；2.浙江蓝城乐境建筑规划设计有限公司，杭州 310000）

0 引言

《建筑抗震设计规范》［1］中指出，计算罕遇地震作用下的结构变形，应采用简化的弹塑性分析方法或弹塑性时程分析方法。简化的弹塑性分析方法目前采用较多的是将地震作用下结构的弹性变形乘以一定的弹塑性位移增大系数，采用这种简化的弹塑性分析方法要求框架结构的屈服强度系数均匀，而对于侧向刚度变化较明显的结构，屈服强度系数也不尽均匀，情况极其复杂，位移增大系数计算也会由屈服系数不均匀而造成一定的误差。而采用弹塑性时程分析法计算过程复杂、耗时较长，且选用天然地震波具有较大的离散性。为此，提出一种等效弹性反应谱的方法，将原弹塑性结构体系等效成弹性结构体系，使用线性的分析方法来代替弹塑性时程分析方法，使用现有的弹性反应谱理论分析不同地震作用下的结构状态，简化分析过程。基于弹性反应谱理论进行罕遇地震动分析关键在于等效刚度的折减，即刚度折减系数的取值。

对刚度折减系数取值，国内外很多学者对此进行了研究分析。Rosenblueth 和 Herrera［2］，AASHTO［3］提出了等效刚度的计算方法，通过构件的滞回曲线得到构件的最大位移，将构件最大位移对应的割线刚度作为等效弹性结构的刚度，而割线刚度与结构弹性刚度之比定义为刚度折减系数，而使用割线刚度直接定义等效刚度会导致结构的位移响应偏大；Iwan_Gates［4］提出了基于R-H的改进等效刚度法，基于滞回曲线上直接取用割线刚度使得结构的位移响应偏大的事实，为符合一般的设计实践，将结构的弹性刚度与割线刚度中间值作为结构的等效刚度，求取该等效刚度与弹性刚度的比值作为刚度折减系数；刘毅［5］等基于结构整体响应提出了考虑梁和柱的刚度折减系数取值方案，该方案以钢筋混凝土框架非弹性分析为基础、以层间位移相近为原则求解，首先按一阶内力分析确定配筋，按一阶弯矩情况和分布规律，利用弯矩-曲率的关系求出当量刚度，再求得刚度折减系数；柳冰强等［6］将结构分为上下2个部分，分别设定对应的刚度折减系数值，来提高分析的精度，这种方法以能量准则为基础，利用弹塑性位移相等的原则，将结构的弹塑性耗能等效成弹性耗能，得到弹性刚度，分别得到上下两部分的刚度折减系数。这种方法求解刚度折减系数首先要根据时程法得到位移值，不能起到代替时程法的作用，且取两部分误差的平均值作为精度评价的标准，而结构位移响应看重最大层间位移，该评价方法欠缺可靠性；肖从真等［7］使用连梁弯矩与转角位移曲线的割线刚度与初始弹性刚度的比值作为刚度折减系数。

欧进萍和白久林［8］则提出了预设失效模式的塑性设计法，因地震输入能量一部分转化为结构的动能和弹性应变能，另一部分被阻尼耗散掉，耗散的部分以修正系数体现，进而推导出地震输入能量修正值、滞回耗能以及结构弹性振动能的等量关系，并基于此提出了框架结构的塑性设计法。

上述所涉及到的刚度折减系数取值方法均为一次取值，直接选取某一特定的数据作为单根构件最终的刚度折减系数，或者直接取统一值作为所有构件的刚度折减系数值。实际上，在罕遇地震作用下，钢筋混凝土框架结构梁柱在不同的位置处，由于构件塑性发展程度不同，最终变形状态并不相同，所得的等效刚度值也是不同的，因此直接选取某一固定值或者均按照最大位移来考量构件的刚度折减系数欠妥。

1 能量等代原则

对于钢筋混凝土框架结构遭受到罕遇地震作用时，结构将会产生弹塑性变形。Eletsos和Newmark［9］等提出能量准则，认为将地震作用整个过程中结构的弹塑性应变能等效成弹性应变能。对于钢筋混凝土框架结构，梁柱的弹塑性应变能主要为弯曲应变能，假定构件进入屈服后，弯矩和转角成水平直线关系。因此，将梁柱弹性应变能与弹塑性应变能关系简化成如图1所示。

图1 梁柱构件耗能等效

根据等效弹性耗能与弹塑性耗能相等的原则，可得式（1），对第次迭代进行弹性反应谱计算，得到结构弹性状态下的杆件弹性弯矩。结构弹塑性下，部分构件进入塑性，达到屈服弯矩，由式（1）即可得式（2），由此即可求得式（3）所示的结构等效刚度。

式中，k为弹性刚度，ki为等效刚度，Mc，i为第i次反应谱计算下构件的弹性弯矩，My为构件的屈服弯矩。

将刚度折减系数取值定义为等效刚度与初始弹性刚度之比，将式（3）代入式（4），即可得到刚度折减系数计算式（5）。

当构件时，表明构件未达到屈服状态，此时刚度折减系数为1。综上有式（6）：

2 屈服弯矩及构件刚度折减系数求解

2.1 屈服弯矩

关于屈服弯矩，目前为止已有学者对此进行过相关研究，杨小卫等［10］将梁、柱受力简化为线性荷载，给出了相对受压区高度取值公式，但关于柱的屈服弯矩未考虑多排钢筋作用下内排钢筋先后屈服对屈服弯矩的影响、也未考虑轴力对屈服弯矩的影响。文中暂取用《抗震结构设计的二阶段设计方法》［11］中高小旺给出的屈服弯矩计算式（7）～式（10）：

（1）梁的屈服弯矩：

（2）柱的屈服弯矩：

定植后要加强管理，检查人员要对定植苗以及植株之间的间距进行检查，查看是否太密或者太疏，影响茄子的生长。

当0.4bhσck≥0时，

当Nmax≥N≥0.4bhσck时，

式中，My，b为梁屈服弯矩；As为受拉钢筋面积；fyk为钢筋屈服强度标准值；h0为梁截面有效高度；My，c为柱屈服弯矩；h为柱截面高度；b为柱截面宽度；N为柱轴压力；σck为混凝土抗压强度标准值；Nmax为柱极限轴向抗压强度；A为柱全截面配筋面积。

2.2 刚度折减系数

等效弹性反应谱法分析目标地震作用下的钢筋混凝土框架结构抗震性能，其刚度折减系数的取值流程可归纳如下。首先，通过有限元设计软件，得到构件的初始弹性刚度数值，同时根据构件配筋信息，计算构件的屈服弯矩；其次，通过目标地震作用下的弹性反应谱分析，得到构件的弯矩值。

由式（6）计算得刚度折减系数；按等效刚度，再次调用有限元设计软件，计算构件的弯矩，如此往复迭代，直至满足定义的收敛准则。其搜索流程图可归纳如图3所示。

图3 等效弹性反应谱法分析流程

3 框架模型实例分析

3.1 实例简介

所选取的结构模型如图4所示，结构为10层钢筋混凝土框架结构，首层高度4.2m，其余层高为3.6m，结构总高度为36.6m。结构平面布置为首层非对称，2～10层为对称布置。1层结构平面布置如图5所示，2～10层结构平面布置如图6所示，其中1～2层中柱截面为，边柱截面为，主梁截面为，次梁截面为；3～10层中柱截面为，边柱截面为，主梁截面为，次梁截面为；各层楼板厚度均为100mm。

图4 10层框架结构模型

图5 首层结构平面布置图（单位：mm）

图6 2～10层结构平面布置图（单位：mm）

结构的混凝土强度等级为梁柱C40，楼板C30，钢筋选用HRB335，抗震设防烈度为7度（0.10g），水平地震影响系数值为0.08，设计地震分组为第二组，场地类别为三类，特征周期为0.55g。

3.2 选取地震波

工程选取三条地震波对等效弹性反应谱法的刚度折减系数进行验证，其中2条天然地震波（天然地震波1：ChiChi，Taiwan-04_NO_2737；天然地震波2：Lo⁃maPrieta_NO_733）与1条人工地震波，所选取的地震波与反应谱拟合如图7所示，3条波均满足规范规定的弹性时程分析中底部剪力与CQC法比值要求。

图7 多波与反应谱对比图

3.3 弹塑性时程法对比验证

工程选取的3条地震波，将地震动峰值加速度分别调整到65、88、109、131、152、174、196、220cm/s2，对结构进行弹塑性时程分析。并将其中设防地震（100cm/s2）、罕遇地震（220cm/s2）所得到的层间位移角与等效弹性反应谱法进行对比如图8所示。

图8 层间位移角与等效弹性反应谱对比

地震峰值加速度在35cm/s2时为多遇地震，结构整体处于弹性阶段。当峰值加速度达到100cm/s2时为设防地震，此时水平构件部分屈服，时程分析法与等效弹性反应谱法计算的层间位移角基本重合，单条波与等效法差值X向最大为20%，Y向最大为5.3%，整体均保持在适用范围内。

峰值加速度为220cm/s2时，使用弹塑性时程分析法得到的最大层间位移角与使用等效弹性反应谱法计算得到的最大层间位移角X、Y方向分别相差15.8%、11.5%，与3条地震波的均值位移X、Y方向分别相差7.36%、26.46%，与该层中层间位移角最小的地震波位移角相差X、Y方向分别为40.39%、43%。等效弹性反应谱法与三条地震波中的最大层间位移角相差在20%以内，但最大差值约40%，且等效弹性反应谱法计算结果比时程分析法结果的均值偏大。

在罕遇地震作用下绝大多数梁构件已经发生严重屈服，在首层、3层、4层柱也出现绝大为严重屈服的情况；等效弹性反应谱法的梁柱折减系数是发生在梁柱屈服之后，因此由折减系数可判定梁也绝大多数达到屈服破坏，而柱有部分破坏，这与时程分析法结果尚有差距。

3.4 偏差原因分析

等效弹性反应谱法与时程法分析产生偏差的主要原因：

（1） 时程分析法选取人工地震波以及天然地震波虽均满足《抗震设计规范》中的要求，但仍存在一定离散性，使得结构对不同地震波的响应并不相同，等效弹性反应谱法更接近多波均值位移角。

（2） 等效弹性反应谱法是通过等效刚度来进行迭代求解，忽略了由刚度变化导致结构阻尼变化的影响，实际结构中阻尼的变化对结构的周期以及地震作用下的剪力会有一定影响。在刚度折减系数取值时，忽略了轴向与剪切应变能，对于柱仅考虑由柱轴力影响导致的屈服弯矩值。

对于框架结构，经大量对比分析，不同地震作用下，等效弹性反应谱法与时程分析法选用不同地震波计算的位移角平均值最大偏差均较小，误差均在允许范围内，因此可以认为该方法适用。

4 结语

文中基于能量原理，提出了一种适用于等效弹性反应谱法的刚度折减系数求解公式，编辑了计算机迭代求解的流程方法，并以10层钢筋混凝土框架结构为例验证，得到结论如下：

（1） 由分析以及验证可以得到，《抗震设计规范》对于梁、柱统一的刚度折减系数取值不能完全反应不同构件的变形状态，实际的构件刚度折减系数取值会随着构件的屈服程度而不断变化。

（2） 构件刚度折减系数求解需要不断迭代求解，迭代差值会随着迭代次数的增加而不断缩小，初期前两次迭代差值较大，反映出等效刚度变化较大，随着迭代次数的增加，等效刚度变化越来越小，最后达到所需要的精度即可停止迭代，该方法较好地反映了构件从初始状态到最终状态的刚度变化。

（3） 一般结构设计中未分析设防地震以及罕遇地震动下的抗震性能，仅通过抗震构造措施进行加强，未对性能化做出合理验算。基于能量准则，等效弹性反应谱法按性能化设计要求，可验算设防地震以及罕遇地震动作用下抗震性能。