叶 洋，吕奇峰，汪爱明，孟 晨，高嘉宇

(1.煤炭科学技术研究院有限公司检测中心，北京 100013；2.天津港中煤华能煤码头有限公司，天津 300461；3.中国矿业大学(北京)机电与信息工程学院，北京 100083)

球轴承广泛应用于机械设备中，同时也是最易损耗的部件之一；轴承运行状况是否良好直接影响到机械设备能否正常工作。目前往往是根据温度或振动是否超限实现故障轴承的报警[1]，属于事故后告警。随着工业现场对设备运行可靠性要求的提高，轴承早期故障诊断及预知性维护已成为研究热点。然而，受制于缺少典型故障数据库，轴承故障诊断技术仍未实现成熟的工程应用。

虚拟样机技术将CAD、建模/仿真、虚拟现实等技术相结合。通过在虚拟样机上的全面仿真，对产品功能、性能等进行预测、评估和优化，以达到提高产品质量、降低开发成本、缩短开发周期的目的。如今虚拟样机技术也被广泛的应用在轴承的设计、制造等方面[1，2]。利用虚拟样机技术建立设备典型故障数据库，可以解决现场实测典型故障数据难以准确获得难题，比通过搭建小型试验台模拟[3，4]获得故障数据更为方便，且成本低。本文通过对滚动球轴承的内圈故障进行模拟仿真，来验证虚拟样机对故障仿真的可行性。

1 轴承动力学分析

1.1 轴承的接触刚度计算

1.1.1 接触面形变量计算

轴承在受到径向载荷的作用下，内圈将力通过滚珠传递到外圈。这就会使滚珠分别与轴承的内圈和外圈发生相互接触、挤压，从而导致滚珠与内外滚道接触的部分发生或大或小的变形，变成接触面来承受载荷。基于滚珠与内外圈的形状，会在其间形成如图1所示的椭圆形区域。

图1 滚珠Hertz接触示意图

1895年赫兹(Hertz)最早研究了两个弹性体的接触问题，并确立了弹性接触理论，它的表达式较简单，计算结果与实际较一致，至今仍是计算滚动轴承应力的一种主要方法。

但值得注意的是，Hertz接触的适用范围，是轴承在额定载荷内，即材料在弹性极限内，去掉载荷后，球与滚道都将恢复原来的状态。

根据Hertz接触理论，发生接触变形时，接触处的形变量δ为：

(1)

式中，a为接触椭圆长半轴，m；b为接触椭圆短半轴，m；Q为轴承滚珠与内外圈间的接触负荷，N；K(e)为与椭圆偏心率e有关的第一类完全椭圆积分；ma为椭圆的长半轴系数，N/m2；E′为当量弹性模量，与两个接触物体的弹性模量和泊松比有关。

(2)

式中，∑ρo，∑ρi分别为滚珠相对于内外圈的主曲率和[5]；Db为滚珠直径，γ=Dbcosα/dm，m；dm为轴承的节径，m；fi和fo分别为轴承内外环的曲率半径系数。根据参考文献[6]可知，分别取值0.515和0.52；

滚动球轴承的主曲率函数为：

(3)

Palmgren对轴承的Hertz接触做了简化，引入参数eδ，见式(4)[7]，

(4)

当求出主曲率函数F(ρ)后，可通过查表的方式得到相应的参数eδ。此时即可分别求出在载荷Q的作用下滚珠与内圈、外圈相接触时的形变量。

1.1.2 轴承径向载荷计算

为保证后续分析与仿真的可靠性，选取轴承在受到径向力Fr时，滚珠所受到的最大负载值进行轴承相关参数的计算。

当球轴承受到径向力Fr时，轴承受力如图2所示。通过图2受力分析可以看出，载荷主要是由轴承下半区的滚珠所承受的。

图2 轴承受力

假设作用于内圈上的径向力为Fr，N；处于径向力同一直线上最大承载滚珠A处的载荷为QA，N。通过Stribeck理论的推导，可列出平衡方程为[8]：

Fr=QA+2QBcosβ+2QCcos2β+…=QAM

(5)

M=1+2cos5/2β+2cos5/22β+…+

2cos5/2(iβ)，iβ≤90°

通过对不同滚珠数轴承M值的计算，发现Z/M的值基本保持不变，取平均值为4.36。由于轴承内部游隙的存在，实际所受的载荷要更大，即将其比值修正为5，从而轴承滚珠承受的最大载荷公式为：

(6)

1.1.3 接触刚度计算

同一个滚珠与内圈和外圈相互作用时，所受载荷是一致的。第一节分别求出滚珠与内外滚道之间的形变量，根据刚度的定义即可求得滚珠与内外圈的接触刚度Ki、Ko分别为：

(7)

式中，Ki为滚珠与内圈的接触刚度，N/m；Ko为滚珠与外圈的接触刚度，N/m。

1.2 轴承的油膜刚度计算

球轴承在正常运转的过程中，滚珠并不是与轴承的内外滚道直接接触，在其间会形成一层润滑油膜将两者隔开，这一层润滑油膜对于轴承的动力特性分析有着重要的影响。当油膜在达到一定速度时，具有足够的承载能力，因此油膜刚度也将对轴承刚度产生重要影响。

油膜的刚度与油膜的最小厚度有关，而油膜最小厚度与两接触物体表面的几何形状、尺寸、材料性能、润滑流体的粘度、表面运动速度、载荷等因素有关。现在最普遍采用的是汉姆洛克和道森于1977年提出的油膜厚度公式[9-12]，即：

hmin=3.63U0.68G0.49W-0.073(1-e-0.68k)

(8)

从而得到油膜刚度为：

(9)

式中，U为无量纲速度参数；η0为常压下滑油的动力粘度，Pa·s；Vm为轴承的平均速度，m/s；W为无量纲负荷参数；Rx、Ry分别为滚珠沿x、y方向的当量曲率半径，m；G为无量纲材料参数；α1为粘压系数，Pa-1；k为椭圆率。

1.3 轴承等效刚度和内部阻尼

为了方便分析轴承内部关系，以及设置ADAMS仿真参数的需要，将滚珠与轴承的内外圈等效为弹性阻尼模型如图3所示。上一节，已经分别求得了滚珠与内外圈的接触刚度与油膜刚度，但是轴承是个复杂的系统，计算模型刚度时需要将接触刚度和油膜刚度结合起来，因而引进了等效刚度的概念[13-15]：

图3 轴承弹性阻尼模型

(10)

式中，Kdi和Kdo分别为滚珠与轴承内圈和外圈的等效刚度。等效刚度将用于ADAMS中的参数设置。

滚动轴承阻尼包括材料内阻、零件间的干摩擦阻尼以及油膜阻尼。前两种阻尼比较复杂，难以用计算方法确定；但极其微小，故通常略掉。

油膜阻尼是由于润滑膜的粘性，在油膜压力作用下产生剪切挤压运动引起的[16，17]。通过计算发现，油膜阻尼与油膜厚度的三次方成反比。减小油膜厚度可以增大阻尼，但轴承运行中，是需要有一定厚度的油膜的。此时算出的阻尼值相对于刚度的数值来说非常小。

总的来说，滚动轴承中的阻尼是相当小的，在一般动力学仿真分析时可以略去不计。ADAMS仿真中，轴承内部的阻尼值可以根据文献中[12]实验测得的数值进行设置。

2 虚拟样机建模与仿真

2.1 内圈故障轴承模型建立

本文选取西储大学轴承实验中电机驱动端的轴承作为研究对象，轴承的具体型号为SKF—6205，其具体尺寸参数为：内径25mm，外径52mm，节径39.04mm，厚度15mm，滚珠直径7.94mm，滚珠数9个，质量0.128kg。

本文所设置的故障尺寸与西储大学所设置的故障尺寸相同。轴承实验中，西储大学使用电火花放电加工的方法(EDM)对轴承内圈进行缺陷设置。而在本文虚拟样机建模中，使用Pro/E去除实体对内圈缺陷进行设置，其故障的具体尺寸为：直径即缺陷的宽度分别为0.1778mm(0.007inch)、0.3556mm(0.014inch)、0.5334mm(0.021inch)深度均为0.2794mm(0.011inch)。

2.2 ADAMS仿真

将Pro/E创建好的故障模型保存成x_t格式导入到ADAMS中，首先对材料参数进行设置，其材料为轴承钢，并设置相应的杨氏弹性模量和泊松比等。

设轴承所受的径向力Fr=50N，转速n=1797r/min。按照轴承实际运行状况进行约束的设置：内圈做纯转动，为了简化轴承内圈和轴之间的关系，设定轴承内圈的约束为转动；外圈固定在轴承座上，为了简化其关系，设定约束为Bushing；

根据上一章分别求得的滚珠和内外圈的等效刚度Kdi、Kdo以及阻尼，设置ADAMD中滚珠与内外圈接触相对应的接触刚度以及阻尼。由于是金属间发生接触，设置其碰撞指数为1.5。

3 轴承振动数据的采集与分析

3.1 故障数据采集

本文所设置的数据采集点位置也与西储大学所设置的采集点位置相同，由于外圈固定在轴承座上，所以采集点的位置也相对固定，为轴承外圈正上方的A点，其具体位置如图4所示。

图4 轴承振动数据采集点

轴承在进行仿真的同时，采集外圈上A点在Y方向上的振动位移量。ADAMS仿真时长为0.5s，采样频率为25800Hz，共采集到了12900个点。

3.2 故障数据分析

功率谱密度(PSD)，可以将原来对时域的振动描述转化为频域的振动描述，它已经广泛的应用在振动信号的分析中。

对采集到的三种故障的时域位移信号进行功率谱密度分析，得到如图5所示的功率谱密度图。

图5 振动数据功率谱密度

从功率谱密度图中，求得0.007inch、0.014inch、0.021inch三种不同故障尺寸故障的特征频率分别为164Hz、168Hz、168Hz。

3.3 故障特征频率验证

由于内圈随轴进行旋转，每当滚珠与内圈的故障相接触时，就会产生一个脉冲激励，根据这个激励原理，得到了轴承内圈故障特征频率的理论计算公式为[18-20]：

(11)

西储大学轴承实验测得的内圈故障特征频率为5.415倍的转动频率，即为162.18Hz。

本文对三种故障尺寸进行仿真，得到的内圈故障特征频率见表1。

表1 不同故障尺寸特征频率

根据表1可知，不同故障尺寸仿真得到的特征频率与理论计算值、实验数据分析值均比较接近，最大绝对误差为5.82Hz，最大误差仅为3.46%，工程上可以接受。这表明基于虚拟样计算仿真建立轴承典型故障数据是可行的。另外，0.007英寸和0.014英寸的内圈故障通过特征频率这个参数是无法分辨的，都为168Hz，但是当故障达到0.021英寸时，特征频率为164Hz，变化值超过了2Hz的频率分辨率，因此可以分辨。

4 结 语

为了验证虚拟样机对于故障仿真的可行性，对西储大学轴承实验进行还原，采集振动数据，对仿真得到的数据进行功率谱密度分析后，与理论计算值和实验值进行对比，误差较小。本文研究对于仿真其他轴承故障类型也具有借鉴意义。本文虽然只对轴承内圈设置了单一类型的单一故障，后续研究可以从如下方面开展：设置不同类型的故障，如外圈故障或者滚珠故障；设置不同损伤程度的故障，如轻微伤痕，中等伤痕，严重伤痕；或者改变故障的数量，设置多个故障。