文／张亚男

在圆中求线段的长度是常见的考查方式。常用的解决方法有构造直角三角形，利用勾股定理；证明相似，利用相似比；锐角三角函数等。

例1（2021·北京）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E。

图1

（1）求证：∠BAD=∠CAD；

（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC。若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长。

【解析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论。（2）根据勾股定理求出BE=4，由垂径定理求出BC=8，由圆周角定理得到∠BCG=90°，再次根据勾股定理求出GC=6，利用AD∥GC，证明△AFO∽△CFG，利用相似三角形的性质求出

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、垂径定理是解题的关键。

例2（2021·湖北鄂州）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E。

图2

（1）求证：AB=AD；

（2）连接DE，若tan∠EDC=，DE=2，求线段EC的长。

【解析】（1）根据题意，先得出AB与⊙O相切于点B，⊙O与AC边相切于点D，根据切线长定理即可得出AB=AD。

（2）如图3，根据题意连接BD，根据角之间的互余关系推出∠EBD=∠EDC，则又因为∠BDE=90°，DE=2，根据正切的定义，可得到BD=4，再由勾股定理，可得BE=2。易证△CDE∽△CBD，从而可得，再据此列出方程求解，即可得到线段EC的长为

图3

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此类型题目通常利用相关的辅助线构造相似三角形求解。