环FqFq[u,v]上加性码的MacWilliams 恒等式
2022-04-02吴化璋
李 冰，吴化璋
（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601）
1 引言
因码的重量分布与重量计数器可作为计算各种译码错误概率的主要依据，所以一直以来是编码理论的一个重要研究方向。早在上世纪，Mac-Williams 和Sloane[1]率先对域上的码及码字的各种计数器进行了比较系统的阐述。后来，随着1994 年Hammons 等[2]研究了一些重要的二元非线性Kerdock，Preparata，Goethal 等相关码的ℤ4-线性，以及1997 年万哲先[3]《Quaternary Codes》的问世引起人们对不同环上码及其性质的新一轮研究热潮。1999 年，Bonnecaze 等[4]研究了环F2+uF2上的循环码及自对偶码。后来，朱士信[5]和Yildiz 等[6]分别定义并研究了环F2+uF2和环ℤ4+uℤ4上的线性码及它们的MacWilliams 恒等式。王艳萍等[7]讨论了环R+vR 上的斜常循环码。2010 年，Bahattin 和Karadeniz[8]进一步讨论了环F2+uF2+vF2+uvF2上的线性码。随后，文献[9]研究了环Fp+uFp+vFp+uvFp环上线性码的MacWilliams 恒等式和一些重量计数器。加性码的研究起源于1973 年，Delsarte[10]首次定义了加性码，而环上的加性码因在环几何与强正则图等领域有广泛的应用一直得到人们的关注。2010 年，Borges 等[11]通过构造从到的Gray 映射，研究了环ℤ2ℤ4上加性码和它对偶码的相关性质。近年来，学者们对加性码的重量及结构进行着广泛而深入的研究，如[12-17]。最近，Aydogdu 等[18]讨论了环ℤ2ℤ2[u]上的加性码，施敏加等[19]后来又研究了环ℤ2ℤ2[u,v]上一重量与二重量加性码，如此等等。
受以上研究及相关文献的启发，本文讨论环FqFq[u,v]上加性码的一些重量计数器以及M-ac-Williams 恒等式。首先给出环FqFq[u,v]上加性码的定义。接着利用Gray 映射，给出FqFq[u,v]上加性码的一些重量计数器。最后根据给定的Euclidean 内积的定义以及相应Hadamard 变换，得到环FqFq[u,v]上加性码与其对偶码之间的MacWilliams恒等式。
2 Gray 映射
设Fq是阶为q的有限域，表示Fq上长度为n的所有向量的集合。令
其中u2=0,v2=0,uv=vu.显然Fq[u,v]是一个有限非链环，最大理想为＜u,v＞.
定义集合FqFq[u,v]={(a,b)|a∈Fq,b∈Fq[u,c]}，为了使集合Fq[u,v]的一个非空子集构成加性码，需要定义以下一些运算。
首先，对任意a+ub+vc+duv∈Fq[u,v],定义映射η:Fq[u,v]→Fq
其中a,b,c,d∈Fq.
于是有：
一般来说，C 的像码Φ(C)不一定是线性的。故不能在图的右端加上一个箭头使之保持联通性，即Φ(C)⊥不一定与Φ(C)⊥等价。但当q是2 的方幂时，则它们一定是相等的(见[9])。为了讨论加性码在上述Gray 映射Φ 下的MacWilliams 恒等式，下面令q是2 的方幂。
定理2令q是2 的方幂，C 是FqFq[u,v]-加性码，C⊥是C 的对偶码，那么Φ(C⊥)=Φ(C)⊥.
证明不失一般性，对
3 MacWilliams 恒等式
令C 是FqFq[u,v]-加性码，长度n=α+β.定义码C 的前α部分为CX,后β部分为CY.设γ是码字中的任一元素，对∀x=(x1,x2,…,xα)∈CX,定义x在γ处的重量 为ωγ(x)= |{i|xi=γ,1 ≤i≤α} |;对∀y=(y1,y2,…,yβ)∈CY,定 义y在γ处的重量为ωγ(y)= |{i|yi=γ,1 ≤i≤β} |.
定义4定义FqFq[u,v]-加性码的完全重量计数器为如下的齐次多项式：
定义5令Ai表示码C 中Lee 重量是的元素个数，那么C的Lee 重量分布{A0,A1,…,Aα+4β}定义C 的Lee 重量计数器为：
定义C 的Hamming 重量计数器为：
对∀c∈C,令S0,S1分别表示c的前半部分，即Fq部分中Hamming 重量为0,1 的个数；令T0，T1，T2，T3，T4分别表示c的后半部分，即Fq[u,v]部分中Lee 重量为0,1,2,3,4 的个数。那么，由定理1，有
下面，定义C 的对称重量计数器为：
对上述定义的重量计数器，有如下的结论。
定理3令C 是环FqFq[u,v]上长度n=α+β的加性码，那么有
证明(1)由对称重量计数器的定义，有
(2)由对称重量计数器的定义，有
定义 6设∀x=a+bu+cv+duv∈Fq[u,v],a,b,c,d∈Fq,定义其在FqFq[u,v]上的特征：
如上定义的特征函数是非平凡的(见[20])。
为了研究下面的MacWilliams 恒等式，需要引入以下的Hadamard 变换。
显然这两个方面结果完全一致。
4 总结
本文研究了环FqFq[u,v]上加性码的Lee 重量计数器，Hamming 重量计数器和对称重量计数器。通过建立从到的保重量和保距离的Gray 映射，当q是2 的方幂时，获得了环FqFq[u,v]上加性码与其对偶码之间关于Lee 重量的MacWilliams 恒等式。
