熊高云

摘 要：物理是一门以实验为基础的学科，实验题是高考的必考题型，实验中为了减小偶然误差和充分利用实验数据，经常采用多次测量求平均值的方法，本文通过分析用逐差法处理“研究匀变速直线运动”实验的方向，给教学中的教师和学习中的学生提供了一些思路

关键词：逐差法;实验误差;平均值

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0118-03

高中物理中，在用纸带法测量加速度时，很多资料介绍逐差法，但是从考试和学生练习情况来看，很多学生对逐差法理解和掌握得并不是很好，究其原因，实际上是大部分学生对逐差法的操作过程和原理不理解、不熟悉导致的，而很多题中出了纸带所给的段数不同，有的为奇数段，有的为偶数段，更让学生困惑，这要求学对逐差法要有更深入的理解，灵活迁移的能力，因此，从根本上把逐差法的应用简单化，使学生解题过程中有更轻松，从而得到了本篇文章研究的结果，现发出来与大学分享，同时欢迎大家的批评指正.

1 逐差法的适用条件——等差数列求公差

从理论上研究，一个物理量（因变量）随另一个物理量（自变量）成线性规律变化时，如果自变量的变化选用等差递增方式，则理论上讲，因变量也应该是等差递增的，也就是说因变量数列应是一个等差数列，但由于实验测量时误差的不可避免，实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列，在有的情况下，为了得到理论上需要的公差，就需要选用一种计算操作，实现多次测量求平均值的方法，从而求得误差较小的公差值，这就是我们选用的所谓“逐差法”.

2 逐差法原理

如图1为实验中所得到的一条纸带，相邻两点间的距离如图所示，打点周期为T

由匀变速直线运动规律xm-xn=（m-n）aT2可得

x6-x3=3a1T2，x5-x2=3a2T2，x4-x1=3a3T2

解得

a1=x6-x33T2，a2=x5-x23T2，a3=x4-x13T2

求三个加速度的平均值即为

a-=a1+a2+a33=x6+x5+x4-x3-x2-x19T2

有学生疑惑为什么不利用Δx=aT2处理呢？即

x6-x5=a1T2，x5-x4=a2T2，x4-x3=a3T2，x3-x2=a4T2，x2-x1=a5T2

解得

a1=x6-x5T2，a2=x5-x4T2，a3=x4-x3T2，a4=x3-x2T2，a5=x2-x1T2

求五个加速度的平均值即为

a-=a1+a2+a3+a4+a55=x6-x15T2

由上述表达式可知，此方法只利用了纸带中的两段数据，偶然性很大即偶然误差较大，所以不采用此方法.

3 逐差法的实际应用及小技巧

（1）当题所给纸带中有偶数段数据（n段）且小于6段，可直接将n段平均分成两大段，即前n2段和后n2段，加速度表达式中分子为后n2段之和减去前n2段之和，分母为总段数除以2再平方与时间间隔的平方的乘积，即为

a=（xn+xn-1+xn-2）-（xn-3+xn-4+xn-5）（n2）2T2

如纸带为6段则用逐差法求加速度的表达式为

a-=x6+x（6-1）+x（6-2）-（x（6-3）+x（6-4）+x（6-5））（62）2T2

=x6+x5+x4-（x3+x2+x1）9T2

当纸带中为偶数段且大于6段，处理数据时可直接去除第6段以后的而选用前6段数据处理，因为纸带太长实际实验中所打点已成弧形，即纸带已不再做直线运动，再选用这此数据处理将造成的误差很大

（2）当纸带中的奇数段时，由逐差法原理可知，应去除某一段再求解，由于第一段距离较小，测量误差较大，可去除第一段则将奇数段变成偶数段进行处理

4 逐差法在高考实验题中的应用举例

例1 （2019年全国高考真题）如图2，某同学设计了测量铁块与木板间动摩擦因数的实验.所用器材有：铁架台、长木板、铁块、米尺、电磁打点计时器、频率50Hz的交流电源，纸带等.回答下列问题：

（1）铁块与木板间动摩擦因数μ=（用木板与水平面的夹角θ、重力加速度g和铁块下滑的加速度a表示）

（2）某次实验时，调整木板与水平面的夹角θ=30°，接通电源.开启打点计时器，释放铁块，铁块从静止开始沿木板滑下，多次重复后选择点迹清晰的一条纸带，如图3所示.图中的点为计数点（每两个相邻的计数点间还有4个点未画出），重力加速度为9.8 m/s2，可以计算出铁块与木板间的动摩擦因数为（结果保留2位小数）.

（1）由mgsinθ-μmgcosθ=ma，

解得：μ=gsinθ-agcosθ①

（2）由以上技巧可得逐加速度大小为a=SⅡ-SⅠ9T2得：SⅡ=（76.39-31.83）×10-2m，T=0.10 s，SⅠ=（31.83-5.00）×10-2m，故a=44.56×10-2-26.83×10-29×10-2 m/s2=1.97m/s2，代入①式，得μ=9.8×12-1.979.8×32=0.35

例2 （2020·浙江高考真题）在“探究加速度与力、质量的关系”和用橡皮筋“探究做功与物体速度变化的关系”实验中

（1）都是通过分析纸带上的点来测量物理量，下列说法正确的是.

A.都需要分析打点计时器打下的第一个点

B.都不需要分析打点计时器打下的第一个点

C.一条纸带都只能获得一组数据

D.一条纸带都能获得多组数据

（2）如图4是两条纸带的一部分，A、B、C、…、G是纸带上标出的计数点，每两个相邻的计数点之间还有4个打出的点未画出.其中图（填“甲”或“乙”）所示的是用橡皮筋“探究做功与物体速度变化的关系”的实验纸带.“探究加速度与力、质量的关系”实验中，小车的加速度大小a=m/s2（保留2位有效数字）.

（3）在用橡皮筋“探究做功与物体速度变化的关系”实验中，平衡阻力后，小车与橡皮筋组成的系统在橡皮筋恢复形变前机械能（填“守恒”或“不守恒”）.

答案：BC 甲 0.40 不守恒

解析

（1）AB.在“探究加速度与力、质量的关系”和用橡皮筋“探究做功与物体速度变化的关系”实验中均不需要打下的第一个点，前者主要利用纸带求解加速度，后者主要研究两点间的动能的变化，无需从第一个点进行研究.故A错误，B正确;

CD.牛顿第二定律实验探究一条纸带只能求解一个加速度，找到加速度a与质量m和合外力F的一组对应关系;动能定理探究也是从一条纸带上选择两个点作为一组数据进行过程分析，故C正确，D错误.

（2）甲图中纸带后边是匀速直线运动，说明甲图应为用橡皮筋“探究做功与物体速度变化的关系”实验;

对乙纸带采用逐差法求解加速度：

a=xDG-xAD9T2=0.40m/s2

（3）小车与橡皮筋在运动过程中，除了斜面的摩擦力外还会受到空气的阻力作用，故平衡摩擦力运动过程中机械能不守恒.

從以上两题可以看出，逐差法在高考中力学实验中的地位，无论是运动学中的实验，还是关于能量实验中都要考查“逐差法”的应用.

逐差法在实验中的应用，由于实验数据较多，运算量大，学生在有限的考试时间内不可能进行推导公式，可利用上述的小技巧，可为学生节省时间，提高解题速度.

参考文献：

[1] 熊志权.物理原来不能这样考[M].成都：西南交通大学出版社，2012.

[责任编辑：李 璟]