吴春霞

[摘  要] 直角弦是基于曲线与直线位置所构建的特殊弦，实则为直角三角形的斜边，故具有直角三角形的特性. 由于具有圆锥曲线的背景，直角弦模型含有特殊的性质结论，以其为基础的考题较为常见，关注模型特征与命题方式极为重要. 文章对此类问题模型进行溯源，并结合实例探讨突破策略.

[关键词] 圆锥曲线;直角弦;策略;定点;向量积

圆锥曲线中的直角弦是高考数学重要考点，问题形式较为多样，探究学习需要关注试题特点，掌握一般的解题策略，并总结常见的性质结论，形成系统的模型认识，下面深入探究.

[⇩] 溯源及探究

问题：已知直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于点A和B，且OA⊥OB（点O为坐标的原点），试求b的值.

解读：本题目是以直线与抛物线相交为背景，构建了相应的垂直关系，根据问题条件可绘制图1所示图像. 图像中有两个特点：一是直线与抛物线有两个交点，二是基于交点A和B构建了垂直关系，OA⊥OB. 从几何视角来看，以交点A和B及原点O为顶点，构建了Rt△AOB.

直角弦定义：直线与曲线相交于点A和B，若存在点P，使得PA⊥PB，则称弦AB为相对于点P的直角弦.

解析：对于上述直角弦问题可以采用联立代入的方法转化求解，过程如下.

联立直线与抛物线的方程，则有y=x+b，y2=2x，整理可得x2-2x+2bx+b2=0，两者有两个交点，则Δ>0，即Δ=4-8b>0. 设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x=2-2b，x·x=b2. 又知OA⊥OB，则x·x+ y·y=0，结合直线解析式可化简为2x·x+b（x+x）+b2=0，整理可得b（b+2）=0，可解得b=-2，或b=0（舍去），即b=-2.

探究：对于上述以抛物线为背景的直角弦情形，有如下两点需要关注.

（1）对于Rt△AOB，直角弦AB为三……