姜 磊

（1.核工业理化工程研究院，天津 300180； 2.粒子输运与富集国防重点实验室，天津 300180）

Stick-Slip运动是含摩擦的动力学系统具有的典型特征之一，如琴弦拨动、轮轨接触、刹车盘异响以及地震断层等过程中均伴随着Stick-Slip 现象[1–2]。Stick-Slip 造成动力学系统的非光滑特性，并产生负面效果，例如噪声、能量损失、磨损以及部件失效等[3]，因而被广泛研究。

上世纪60年代，Burridge和Knopoff在对地震进行研究时提出了Burridge-Knopoff模型，该模型已被推广到其他动力学系统，并成为含摩擦动力学系统Stick-Slip 运动研究的主要模型[4]。实际工程领域中，该模型中滑块所模拟的具体结构，如刹车片、机车轮等的振动形式通常较为复杂[5–7]。这些复杂的运动从机理上都可以采用Burridge-Knopoff 模型或在此模型上的改进模型来分析。近些年来，研究人员开展了大量研究。Emrullah[8]研究了Burridge-Knopoff模型求解的新方法；Kawamura等[9]模拟了该模型的快速断裂现象，发现一维和二维模型存在显著不同的断裂行为；Amireghbali 等[10]采用该模型研究了弹性体和刚性表面的接触动力学行为，比较了不同摩擦力模式下该模型的触发动力学差异；Ueda等[11]，Kostic等[12]也采用该模型对地震现象中的动力学行为进行了研究。

在实际的工程领域中，Burridge-Knopoff模型的实际运动行为是较为复杂的，例如刹车盘异响时，卡钳和刹车盘之间的相对运动不仅包含切向运动，还包含法向振动成分。目前，法向振动对Burridge-Knopoff 模型动力学行为的影响还没有得到系统性研究。在文献[7]中考虑了传送带的法向振动对模型运动行为的影响，研究结果表明，法向振动将导致滑块与传送带之间的接触力波动，进而影响到二者之间的摩擦力数值，并最终使得模型的运动行为趋向复杂。本研究重点考虑滑块的法向振动对模型运动行为的影响，采用速度依赖型Stribeck摩擦模型研究考虑法向振动情况下Burridge-Knopoff 模型的Stick-Slip运动规律及各参数影响机制。

1 Burridge-Knopoff 模型考虑滑块法向振动的运动模型建立

1.1 单滑块Burridge-Konpoff模型

含单滑块Burridege-Knopoff 模型如图1所示，为了考虑滑块在切向和法向两个方向上的运动，建立x-y坐标系，其中x代表传送带切向，y代表传送带法向。

图1 单滑块Burridege-Konpoff模型

滑块在法方向上存在幅值为A的微幅振动，振动角频率为ω，相位为φ。滑块在法向受恒定正压力FN0作用，在切向则受到弹簧回复力及传送带摩擦力。为了简化计算模型，假设滑块法向振动行为具有独立性，其振动幅值和频率等保持恒定，同时不考虑传送带的法向振动行为。滑块法方向振动位移y满足（1）式：

根据D’Alembert原理，得到滑块切向运动位移x满足（2）式：

这里：Ff为滑块与传送带间摩擦力数值，N；sgn 为符号函数，k为弹簧刚度系数，N/m。

1.2 摩擦模型

摩擦现象的精确数学建模是机械工程和控制领域研究的重要内容。目前，已有多种摩擦模型，包括库仑模型，Dahl 模型，LuGre 模型，Stribeck 模型等。其中，Stribeck模型考虑到摩擦力对于相对速度的依赖性，随速度先减小后增大变化趋势，如图2所示。

图2 Stribeck摩擦模型图像

Stribeck模型有各种表达形式，其中应用最为普遍的是指数衰减型[5]，表达式如下：

其中：vre为相对运动速度，Fex为切向外力，本例中为弹簧回复力，μs为静摩擦系数，μc为库仑动摩擦系数，Vs为Stribeck速度，δVs是用来控制Stribeck曲线形状的速度参数，参考Armstrong[6]的研究结果将δVs取为2，从而得到高斯模型，η为黏性摩擦系数，FN为滑块与传送带间的接触正压力，由于滑块存在法向运动，FN满足（4）式：

将式（1）式代入式（4），得到正压力FN的表达式：

1.3 参数设置

本研究算例中Burridege-Knopoff模型的计算参数如表1所示。

表1 计算参数列表

2 不考虑法向振动情况下Stick-Slip运动响应分析

采用1.3 节中的参数设置，计算了模型运动响应。滑块x方向的运动位移随时间变化规律如图3所示，对应的运动相平面如图4所示。

图3 滑块x方向振动时域曲线

图4 滑块x方向Stick-Slip运动相平面

在上述相平面图中可以看出，滑块运动呈现典型的Stick-Slip 模式。在Stick 模式下滑块与传送带之间无相对位移，二者之间的摩擦力表现为静摩擦力；在Slip模式下滑块与传送带之间产生相对运动，两者之间的摩擦力表现为动摩擦力。

图5为运动过程中滑块与传送带之间摩擦力随时间变化曲线。从曲线中可以看出不同运动状态下摩擦力的数值大小波动规律，同时可以明显地观察到摩擦过冲现象（Friction Overload）[6]，这种现象是Stick-Slip运动的典型特点。

图5 滑块-传送带接触摩擦力时域变化曲线

3 考虑法向振动情况下Stick-Slip 运动响应分析

3.1 频率影响规律分析

考虑滑块法向振动后，模型运动模式发生变化。图6给出了不同法向振动频率情况下运动相平面图，在该图计算过程中，除了振动频率，其他参数沿用表1中的参数设置。

图6 不同法向振动频率下的滑块Stick-Slip运动

从图6可以看出，随着法向振动频率增加，滑块运动规律趋向于复杂，运动周期性逐渐被破坏，运动相平面呈现不规则特点。为了进一步分析振动频率的影响规律，图7给出了滑块运动幅值随频率变化规律。该图表明：随着频率增加，滑块运动幅值发生显著变化。当频率在80 Hz 以内时，运动幅值随着频率增加而增加；当频率超过80 Hz之后，随振动频率增加运动幅值呈现先减小后增大的趋势，当频率在80 Hz～200 Hz 之间时，系统呈现出混沌现象，当频率大于200 Hz时，系统呈现动力学分岔现象。

图7 滑块x向运动幅值随法向振动频率变化规律

3.2 相位影响规律分析

图7给出了不同法向振动相位情况下运动相平面图，在该图计算过程中，除了振动相位外，其他参数沿用表1的参数设置。

从图8可以看出，随着法向振动相位变化，滑块运动响应逐渐发生变化。图9给出了滑块运动位移受法向振动相位影响规律。可以看出，滑块切向运动受到法向振动相位影响总体呈现周期性特点。与上文频率影响情况类似，这里同样存在混沌和分岔现象。在单个周期T=180°内，随着相位增加，滑块切向运动幅值呈现先增加后减小的总体变化趋势。当相位角在0～60°和180°～240°之间变化时，系统呈现混沌现象；当相位角在60°～180°和240°～360°之间变化时，系统呈现动力学分岔现象。

图8 不同法向振动相位下滑块Stick-Slip运动

图9 滑块x向运动幅值随法向振动相位变化规律

4 结语

本研究结果表明，Burridege-Knopoff 模型表现出Stick-Slip运动规律，滑块与传送带之间存在无相对运动的粘着运动和相对滑动两种典型运动状态，在两种状态转换过程中存在摩擦过冲现象。滑块法向振动对模型的运动模式有显著的影响，法向振动的频率和相位的变化均会改变系统的运动行为。

考虑法向振动的单滑块Burridege-Knopoff模型运动存在混沌或分岔现象，本研究模型具体表现为：

（1）当频率超过80 Hz 时，随着频率增加，滑块运动逐渐由混沌模式向分岔模式过渡。随着相位增加，模型运动模式呈现周期性变化规律，周期为180°，并伴随混沌与分岔现象；

（2）当相位角在0～60°和180°～240°之间时，系统呈现混沌现象；当相位角在60°～180°和240°～360°之间变化时，系统呈现分岔现象。