吕志鹏,刘文光,刘 超,丰霞瑶,张宇航

(南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌330063)

当高超声速飞行器飞行马赫数大于5 时，极易产生气动加热问题[1]。气动热环境下，飞行器结构的材料属性易受环境影响，改变结构的强度和振动特性[2]。因此，研究者们试图寻找一种更优质的热防护材料，使其能够对抗热障问题，以实现热振动稳定性。功能梯度材料(Functionally Graded Materials，FGMs)因其良好的散热性，在高超声速飞行器的热防护系统设计中具有重要应用价值[3–5]。

随着功能梯度材料研究的不断深入，研究者对功能梯度结构的动力学问题开展了大量研究。基于Flügge壳理论，杨萌等[6]研究了功能梯度圆柱壳的自由振动响应。应用Sanders-Koiter 理论，Strozzi 等[7]分析了功能梯度圆柱壳的非线性振动响应。利用Rayleigh-Ritz法，梁斌等[8]探究了功能梯度圆柱壳模态频率的影响因素。基于Love 薄壳理论，李文达等[9]研究了旋转功能梯度圆柱壳的自由振动。结合波动法，衡星等[10]研究了无限长含裂纹功能梯度梁的振动性质。由于功能梯度材料具有良好的散热性能，讨论热环境对功能梯度结构振动特性的影响引起了研究者的关注。基于线性分层模型，刘超等[11]分析了温度对功能梯度板模态频率的影响。基于Airy 应力函数，Duc 等[12]研究了Pasternak 弹性地基上的多孔功能梯度板在热力耦合作用下的非线性动力响应。利用非局部理论，刘旭等[13]研究了任意边界旋转功能梯度纳米环板的横向振动特性。考虑热力耦合效应，刘文光等[14]探究了温度对FGMs 壳模态频率的影响。基于1 阶剪切变形理论，Majid 等[15]研究了线性温度场下两端简支功能梯度多孔微圆柱壳的自由振动特性，Li 等[16]研究了温度场下角速度对旋转功能梯度圆柱壳共振的影响。考虑离心力和科里奥利力，Malekzadeh 等[17]研究了旋转功能梯度圆柱壳的自由振动行为，Shakouri[18]研究了旋转功能梯度锥壳在非线性温度场下的振动特性，Fang 等[19]研究了旋转功能梯度纳米梁在温度场中的热屈曲和振动行为。

分析表明，研究者针对热环境下功能梯度结构的振动行为开展了大量研究，但鲜有研究考虑多种温度场，尤其是热流温度场对功能梯度结构模态频率的影响。本工作即以金属陶瓷功能梯度薄壁圆柱壳为对象，探讨多种热环境对模态频率的影响，为高超声速飞行器热防护系统功能梯度圆柱壳的动力学设计提供参考。

1 模型描述

1.1 FGMs圆柱壳模型

如图1所示，FGMs 圆柱壳的长为L、厚为h、中面半径为R。在壳中面建立圆柱坐标系，x，θ和z分别表示轴向、环向和径向坐标轴，u、v和w分别对应为轴向、环向和径向的位移。

假设FGMs的物理属性沿圆柱壳的厚度方向变化，有效材料属性表达式为：

式中：Peff是FGMs 的有效材料属性（包括弹性模量E、泊松比υ、密度ρ、热膨胀系数α以及热传导系数κ）；Pe和Pi分别代表外表面和内表面的材料属性；N为内表面材料体积分数指数，取值范围为[0，+∞)；V是功能梯度壳的位置函数，V=z/h+1/2。

热环境中，FGMs的属性P关于温度T的非线性函数为[7]：

式中：温度T与位置z有关；P-1、P0、P1、P2和P3是材料的温敏系数。

1.2 典型热环境模型

考虑均匀温度场、线性温度场、非线性温度场和热流温度场4种温度场。

均匀温度场的表达式为：

式中：Ti和Te为圆柱壳内外表面温度，ΔT=Te-Ti。

线性温度场的表达式为：

幂律分布型圆柱壳的非线性温度场表达式为[20]：

式中：κi和κe为圆柱壳内外材料的热传导系数，Cei的表达式为：

高超声速飞行器速度达5 马赫以上时，飞行器表面与前方气体间存在复杂的热流效应，其热环境为热流温度场。

热流温度场的表达式为：

式中：q表示热流密度（W/m2）。

2 圆柱壳的应变能和动能

基于Love 薄壳理论[21]，薄壁圆柱壳的应变几何关系表达式为：

式中：εx和εθ分别为沿x和θ方向的应变，εxθ表示xθ平面内的剪应变；应变分量ε1、ε2和ε3为曲面应变；l1、l2和l3为曲面曲率。应变和曲率在圆柱坐标系的表达式分别为：

薄壁圆柱壳的应力与应变关系为：

式中：σx和σθ分别代表沿x和θ方向的应力，σxθ为xθ平面内的剪应力；Qij(i，j=1，2，6)是简化刚度矩阵组成元素，刚度矩阵元素定义为：

式中：E(z，T)是圆柱壳材料的弹性模量，υ(z，T)是圆柱壳材料的泊松比。

圆柱壳的合力和合力矩表达式为：

合力和合力矩阵的本构方程为：

式中：Aij、Bij、Dij(i，j=1，2，6)分别表示拉伸、耦合以及弯曲刚度，表达式如下：

圆柱壳应变能U的表达式为：

忽略转动惯量，圆柱壳动能K的表达式为：

式中：ρT表示单位长度圆柱壳的质量密度。

3 圆柱壳的模态频率方程

假设圆柱壳的振型函数为：

式中：λ1、λ2和λ3分别表示圆柱壳在x、θ和z3个方向的振幅；f为圆柱壳的模态频率；U(x)、V(x)和W(x)为圆柱壳的轴向模态函数；n表示圆柱壳的环向波数；t表示时间。

用梁的特征函数描述圆柱壳的轴向运动，其表达式为[22]

式中：ψi(i=1，2，3，4)、ϕm和ζm均与圆柱壳的边界条件有关（本文考虑简支边界条件），m为圆柱壳的轴向振动波数。

圆柱壳的轴向模态函数表达式为：

由拉格朗日函数得到圆柱壳的能量函数П为：

式中：Kmax和Umax分别为圆柱壳的最大动能和最大应变能。

利用Rayleigh-Ritz法，求能量函数П关于λ1、λ2和λ3的极值，推出圆柱壳的模态频率方程：

式中：Cij表示矩阵元素。

令|Cij|=0，得到圆柱壳的模态频率方程：

式中：gi(i=1，…，4)为常系数。

4 算例分析与讨论

4.1 模态频率方程的验证

假设圆柱壳由金属镍制成。室温下，镍的弹性模量E=205.098 GPa、泊松比υ=0.3、密度ρ=8 900 kg/m3。取圆柱壳的几何尺寸：L×h×R=20 m×0.01 m×1 m。表1结果表明，本文计算模态频率与文献结果、仿真结果十分吻合。

表1 金属圆柱壳模态频率分析/Hz

假设圆柱壳由镍、钢制成。内表面（z=-h/2）是镍，外表面（z=h/2）是钢。室温下，钢的弹性模量E=207.788 GPa、泊松比υ=0.31、密度ρ=816 6 kg/m3。镍的体积分数指数N=1。圆柱壳几何尺寸为：L×h×R=20 m×0.05 m×1 m。表2研究了镍钢FGMs圆柱壳的模态频率。结果表明，本文计算结果与文献结果、仿真结果吻合良好，即应用该模型分析FGMs 圆柱壳模态频率是有效的。

表2 镍钢功能梯度圆柱壳模态频率分析/Hz

4.2 热环境对模态频率的影响

假设圆柱壳的内表面（z=-h/2）和外表面（z=h/2）分别是纯金属Ti-6Al-4V和纯陶瓷ZrO2，两种材料的温敏系数如表3所示。从表3可知，Ti-6Al-4V和ZrO2的密度ρ和热传导系数κ与温度无关，而弹性模量E、泊松比υ和热膨胀系数α会随温度的改变而改变。

表3 材料ZrO2和Ti-6Al-4V温敏特性系数[24]

取FGMs 圆柱壳的几何尺寸为：L×h×R=5 m×0.01 m×1 m，金属Ti-6Al-4V的体积分数指数N=1，初始温度Ti=300 K。图2研究了4种温度场下FGMs圆柱壳沿厚度方向的温度分布。

图2 热环境下FGMs圆柱壳沿厚度方向的温度分布

图3研究了轴向波数m=1 时，不同热环境下温度对环向振动模态频率的影响。结果表明，均匀温度场下，FGMs 圆柱壳环向振动模态频率随着温度升高不断减小，且下降速率逐渐增大；线性温度场下，环向振动模态频率随温度梯度均匀增加时近似线性减小；非线性温度场下，虽然温度场不再线性变化，但是环向振动模态频率随着温度梯度增加而近似线性降低，且下降速率十分平缓；热流温度场下，圆柱壳的环向振动模态频率随热流密度q的增大几乎不变。究其原因，FGMs 薄壁圆柱壳的弹性模量和泊松比两者均受温度影响，进一步影响圆柱壳的模态频率。因此，在不同的热环境下，弹性模量和泊松比对模态频率的贡献不同，导致出现图3所示规律。不同热环境下，环向波数n=1 时的模态频率最大。当温度相同时，模态频率均随n增大先减小后增大，且在n=3 时模态频率最小。即热环境只影响圆柱壳模态频率的大小，而不影响其随环向波数的变化趋势。

图3 不同温度场下的环向振动模态频率

图4研究了环向波数n=1时，不同热环境下温度对轴向振动模态频率的影响。结果表明，不同温度场下，FGMs 圆柱壳轴向振动模态频率随温度的变化规律，与环向振动模态频率随温度的变化规律相同。同样，不同热环境下，由于FGMs圆柱壳弹性模量和泊松比的综合作用，导致出现图4所示的变化规律。不同热环境下，轴向波数m=1 时的模态频率最小。温度相同时，各种热环境下的圆柱壳模态频率均随着轴向波数m的增大依次增大，但模态频率增幅逐渐减小。即温度只影响模态频率的大小而不影响其随轴向波数的变化趋势。m=5时的轴向模态频率为m=1时的7倍，即轴向波数越大，共振越难被激发。当模态频率为700 Hz左右时，轴向共振才出现5 阶弯曲振型，而当模态频率达到60 Hz 左右时，环向已出现5阶振型。计算结果说明此时尺寸的圆柱壳，其轴向共振比环向弯曲共振更难被激发。而当温度场温度升高至2 100 K时，各轴向波数下模态频率均在100 Hz附近，轴向振动容易被激发而引起共振，系统安全系数降低，在热防护系统中需格外重视。

图4 不同温度场下的轴向振动模态频率

5 结语

结合能量原理和Rayleigh-Ritz法推导了功能梯度圆柱壳的模态频率方程。对比研究了金属圆柱壳和功能梯度圆柱壳模态频率计算结果，分析了典型温度场对功能梯度圆柱壳模态频率的影响。主要结论如下：

（1）随着温度的升高，功能梯度薄壁圆柱壳的轴向振动和环向振动模态频率均呈下降趋势。受均匀温度场作用时模态频率下降速率最快，其次是线性温度场和非线性温度场，而在热流温度场作用下几乎无变化。

（2）热环境变化只影响模态频率的大小，不影响其随波数的变化趋势。不同热环境下，轴向振动模态频率均比环向振动模态频率高很多，说明圆柱壳长径比在一定范围内时，其轴向共振比环向共振更难被激发。即要使轴向振动达到共振，需要更高的外界振动激励。