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Nesterov快速迭代信道估计算法*

2022-03-01刘春华曹海燕

通信技术 2022年12期
关键词:范数信噪比梯度

刘春华,曹海燕

(杭州电子科技大学,浙江 杭州 310018)

0 引言

大规模多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系统因天线数量级的提高获得了更高的复用能效,具有可靠性高、系统容量大的特点,已经成为5G系统的关键技术。较准确的信道状态信息(Channel State Information,CSI)的获取是充分发挥大规模MIMO优势的前提条件。在毫米波通信中[1],由于毫米波频率较高、波长短、传输过程受到物体遮挡的部分和散射部分的损耗大,视距传输(Line-Of-Sight,LOS)为主要的传播方式。数学上的表现是,信道矩阵经过奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)后呈现低秩特性,并且在角度域上是稀疏的。然而,由于信道矩阵维度的增大,传统的估计方法如最小二乘(Least Squares,LS)估计、最小均方误差(Minimum Mean Squared Error,MMSE)估计等因求逆过程的极高复杂度遇到了瓶颈[2]。为了充分利用信道矩阵的低秩特性,文献[3]和文献[4]将信道估计问题建模为低秩矩阵完整化问题,通过求解矩阵的核范数最小化问题进行信道估计,该方法可以有效提高估计性能,但计算复杂度过高。文献[5]提出了一种角度量化的信道估计模型,并通过正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)估计信道矢量,然而贪婪算法往往需要预先知道信道的稀疏度,实际通信系统中难以实现。理论分析表明[6],将毫米波MIMO通信系统中的信道估计问题转化为稀疏线性求逆问题,并通过压缩感知原理求解,可以高效准确地估计结果,有效提高估计性能。

在信号处理领域中,利用压缩感知模型求解欠定方程,从而基于较少的观测值来重构信号的方法获得了广泛的研究。压缩感知理论通过开发信号的稀疏特性,在远小于Nyquist采样率的条件下,用随机的采样矩阵得到离散样本,然后通过非线性重构算法完美地重建信号。文献[7]提出了交替方向(Alternating Direction Method,ADM)搜索算法,文献[8]提出了迭代阈值算法(Iterative Thresholding Algorithm,ISTA)。文献[9]提出了一种快速的迭代阈值收缩算法(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm,FISTA),加速了算法收敛过程。文献[10]提出了L1范数正则化算法,文献[11]提出了二次规划梯度投影稀疏重建(Gradient Projection for Sparse Reconstruction,GPSR)算法。

上述稀疏求逆问题由于L1范数是无法直接求导的,因此设计的算法往往具有较高的复杂度。为了解决这个问题,Nesterov在1983年发表了一篇关于解决动量问题的论文[12],提出了Nestrov梯度加速法。该方法先根据之前的动量进行大步跳跃,然后计算梯度进行校正,从而实现参数更新。这种预更新方法能防止大幅振荡,不会错过最优解,并在加速算法收敛的同时,保证了迭代结果始终在收敛域中。

本文利用Nesterov平滑过程将L1范数转换为易于求导的形式,即用可直接求导的平滑函数代替L1范数,并基于改进梯度下降法提出一种可以快速收敛的迭代算法。

1 大规模MIMO系统模型

在单小区单用户的MIMO系统中,采用如下参数化信道模型:

写成矩阵的形式,则为:

式中:NT为发送天线数;NR为接收天线数量;L为路径数;αl为第l条路径的复高斯增益;其中,AR为接收角度矩阵,AT为发送角度矩阵,Ha为复高斯增益的对角矩阵;aR为接收阵列矢量;aT为发送阵列矢量;分别为第l条路径的到达角(Angle of Arrival,AoA)和离开角(Angle of Departure,AoD)。假设采用的是均匀线性阵列(Uniform Linear Array,ULA),即:

式中:X=I为发送导频其中,I为单位矩阵;N为高斯白噪声,其均值为0,方差为σ2。

为了得到满足稀疏特性的信道矩阵,需要对H进行量化处理,通过构建虚拟的到达角矩阵发射角矩阵,得到量化的信道矩阵为:

式中:h为矢量化信道矩阵;e为矢量化误差矩阵;n为矢量化噪声矩阵。

向量化的接收信号可以表示为:

式中:A为感知矩阵。

量化后的角度矩阵为:

2 基于Nesterov的信道估计算法

2.1 Nesterov方法

对于任意的平滑凸函数f在凸集S上的最小化过程:

式中:S为原始可行集。f是连续可微的,梯度 ∇f满足Lipschitz条件[13],即:

Nesterov迭代过程见算法1。

压缩感知问题可以通过优化问题求解,考虑如式(11)中的二次约束l1范数最小化问题,即在误差小于阈值的情况下最小化信道矢量的l1范数。

然而,l1范数是非平滑函数,即在某点不连续。为了克服这个问题,Nesterov提出了Nesterov平滑操作[14],该方法通过平滑近似取代原始的非平滑函数,将l1范数改写成如下函数:

式中:Sd={u:||u||∞}≤1;u为优化变量。该函数的Nesterov平滑形式可以写成如下函数:

fμ是统计学中常用到的Huber损失函数[15],其梯度满足Lipschitz条件,因此fμ符合Nesterov迭代过程的条件。这样就完成了从压缩感知优化问题到Nesterov迭代过程的转化。

算法1中的步骤2和步骤3可通过拉格朗日乘子法得到具体计算公式,每次迭代的常数αk,τk及μk将在仿真参数列表中给出。

2.2 压缩感知优化问题的转化

在原始算法中,为了计算yk,需要求解如下优化问题:

式中:xk为上一次迭代的结果。这个问题的拉格朗日形式是:

中国水利:进入中国市场以来,ITT公司一直热衷于各项公益事业,并在许多方面作出积极努力,您如何理解企业的社会责任?

求解法问题的KKT条件是:

从稳定性出发,yk是如下线性系统的解:

显然,式(18)中由于没有矩阵求逆运算,计算yk的计算量降低。同样可以得到zk的更新过程为:

3 仿真实验及分析

本文信道矢量重构的误差采用归一化均方误差(Normalized Mean Square Error,NMSE)作为算法误差的判断方式,其表达式如下:

表1 实验参数设置

发送端和接收端均采用统一线性阵列(Uniform Linear Array,ULAs),虚拟发射角和虚拟到达角的量化值为G,即对发射角(或到达角)θ=(0,π]的余弦值等间隔量化,间隔为1/G。复高斯增益αl~N(0,1),发射天线和接收天线数Nt=Nr=32,稀疏度L=5。仿真算法均在参数不变和概率分布一致的情况下取100次平均得出结果。

当稀疏度固定为L=5时,分别采用FISTA算法、ADM算法、NESTA算法和贪婪OMP算法进行对比,得到的仿真结果如图1所示。可以看到OMP算法在低信噪比(-10~5 dB)时,其NMSE估计性能与NESTA算法基本相同,并且优于另外两种迭代算法大约10 dB。此后OMP算法的NMSE估计性能基本保持不变,维持在-10 dB左右。3种迭代算法则一直保持直线趋势下降,在高信噪比(大于5 dB的情况下)ADM和FISTA算法性能优于OMP算法。NESTA算法性能则始终优于另外两种迭代算法3~10 dB,在低信噪比的情况下NESTA算法有着与OMP算法基本相同的性能。仿真结果表明,NESTA算法不仅在低信噪比条件下有着同贪婪算法相同的性能,而且在高信噪比条件下也能持续降低NMSE,相比于同类的迭代算法有着很大的性能提升。

图1 不同信噪比下NESTA算法与其他算法的比较

当稀疏度固定为L=5,信噪比固定为10 dB时,如图2,对比不同的迭代算法达到预期NMSE性能所需要的迭代次数可以看到,FISTA算法随着性能的提升,所需要的迭代次数大幅度增加,这是因为该算法为避免过剩的迭代需要预先设置最大迭代次数。ADM算法采用牛顿迭代法,每次迭代重新计算更新方向和迭代步长,因此可以大幅度削减迭代次数。NESTA算法采用了分步骤更新修正的方法,同时前文分析表明,算法收敛的速度只与权重因子μ有关,通过降低μ值可以加速算法收敛。

图2 不同信噪比下NESTA算法与其他算法迭代次数的对比

图3给出了在相同的信噪比条件下,当稀疏度L变化时,不同算法的ENMSE。可以看出,在相同的稀疏度情况下,NESTA算法有着更好的性能。

图3 不同稀疏度条件下算法性能比较

表2为稀疏度L=5的情况下,不同的信噪比条件下算法运行时间的比较。可以看到,ADM算法随着信噪比的增加,运行时间不断增大,这是因为ADM算法每次迭代更新方向时都要重新计算一次矩阵求逆过程,这种求逆在矩阵维度较大时复杂度很高。越是精确的结果,矩阵求逆过程计算时间越长。

表2 4种算法在不同信噪比下的运算时间比较

4 结语

本文研究了大规模MIMO系统,运用无线信道的低秩特性,提出了一种快速迭代的Nesterov平滑加速迭代算法。对比实验表明,所提算法相较于正交匹配算法有很大的性能提升。此外,本文采用了合适的策略加快了算法收敛速度。下一步将研究投影梯度算法,进一步优化算法性能以及迭代算法在神经网络中的应用。

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