茹世浩,王啸,王云龙,王斐然,刘瑞丰,张沛 李福利∗

(1西安交通大学物理学院,陕西 西安 710049;2陕西省量子信息与光量子器件重点实验室,陕西 西安 710049)

0 引言

光子具有自旋轨道角动量,这一量子特性表现为其两个自旋态可分别具有+ħ和−ħ的自旋角动量。用光子作为量子比特,将信息编码在光子的自旋轨道角动量量子态上,这种编码方式已应用于量子通讯[1]、量子计算[2]和量子力学基本原理验证[3]等方面,并取得了丰硕成果。宏观上,光子自旋表现为光场的偏振属性,±ħ分别对应于右旋圆偏振光和左旋圆偏振光。偏振是光场的一个非常重要的宏观特性,在光学测量中得到了广泛的应用,最近几年提出的相位面上偏振分布的概念,增加了调控光场的新自由度,进一步拓展了这一宏观性质应用的深度和广度[4,5]。

光子除具有自旋角动量外,还具有轨道角动量(OAM)[6]。1992年,Allen等[7]发现拉盖尔-高斯光(LG模)与光子OAM之间存在对应关系,LG模函数是以横向角坐标为变量的轨道角动量算符的本征态,每个光子可以携带ℓ的OAM,ℓ则可以取任意整数。在宏观上,光子的OAM表现为光场的横向空间分布模式,其等相位面沿光束传播方向呈现螺旋变化,波前面上相位变化不连续且具有奇异点,光场的这一宏观特性在高密度通信[8]和光学成像[9−12]等方面展示了诱人的应用前景。

在过去的几十年里,人们对于量子态的研究主要聚焦在二维量子态(Qubit),例如光的自旋角动量态(偏振态)就是很好的二维量子态。然而近年来,在量子信息的研究中发现,高维量子态相比于二维量子态具有特殊的优越性。如在量子基础理论的验证方面,高维量子体系相比于二维量子体系更大程度地违背贝尔不等式[13];在量子保密通信中,高维量子态本身不仅包含更多的信息,而且在增加通信安全性[14]、增大信道容量[15]和抑制信道噪声方面有着更出色的表现[16],其中基于高维量子态的量子密钥分配方案已经在实验上得到实现[17];在量子计算方面,实验上已经实现了高维量子纠缠态[18]和量子随机行走算法[19−21],而且已有基于高维体系的高效率量子逻辑门方案[22]。由于OAM量子数可以有无穷多个分立值,光子OAM量子态构成一个无限维的希尔伯特空间,是研究高维量子系统及其应用的一个理想载体。此外与光子自旋的二维量子态相比,OAM态还具有许多新奇的量子特性。因此,开展光子OAM高维量子态的产生、测量与操控、存储和应用等方面的研究对于量子调控、量子计算、量子通信、量子力学基本问题的验证等有着十分重要的意义。

本文第一部分介绍了光子OAM量子态操控,如OAM编码的高维逻辑门、三比特的Toffoli门和Fredkin门;第二部分阐述了OAM编码量子态的应用,主要包含单光子不同自由度间量子态传输以及四维光子OAM贝尔态的制备方案;第三部分结合机器学习,阐述了利用分形排布的多孔掩膜和神经网络算法实现的光子OAM精准识别的两种方案;最后,对光子OAM量子态的应用研究进行了讨论与展望。

1 高维OAM量子操控

1.1 高维单光子量子逻辑门:概念与实验

光子轨道角动量作为一种常用的高维量子体系,在量子通信、量子成像、量子信息以及微观粒子操控方面有着很重要的应用,人们对于它的产生、测量和应用都进行了大量的研究。目前基于光学系统产生光子OAM量子态的方式有激光调腔、全息光栅衍射[23]、柱面透镜转换[24]、自发参量下转换[25]、螺旋相位片[26,27]、纳米器件[28]等。在本小节,将介绍如何在实验中利用单光子的轨道角动量模式构建高维X门及其所有的整数幂次变换门操作[29]。高维X门作为二维σx变换的推广,相当于一个作用在高维希尔伯特空间中的循环阶梯算符,其定义为

式中:ℓ∈{0,1,···,d−1}表示d维希尔伯特空间中的不同模式,ℓ⊕1≡(ℓ+1)modd表示模式数ℓ+1对d取模。在高维系统d>2中,该算符具有循环算符的形式X|ℓ〉=|ℓ+1〉,同时,量子态|d〉会被转换成量子态|0〉。X门的n次幂操作则是将模式顺时针转动,移动到第n个量子态上,即

图1为三种高维循环门原理示意图,主要包含了两个轨道角动量奇偶分束器(PS1和PS2),以及两者中间的马赫曾德尔干涉仪。图1(a)中,对于四维X门,输入的光子首先入射到一个螺旋相位板SPPℓ+1上,通过螺旋相位板以后,光子的轨道角动量模式数加1。光子到达第一个轨道角动量奇偶分束器将入射的光子按照轨道角动量模式的奇偶分开。需要干涉仪其中一路的反射镜将奇数模式的轨道角动量态反转符号(|−1〉→|1〉,|1〉→|−1〉),同时偶数模式的轨道角动量态经过两次反射来保持其符号不变,再经由第二个模式分束器相干合并到一个路径中,就实现了对输入OAM态的高维X门。类似地即可实现所有的四维循环变换。

图1 三种四维循环门原理示意图[29]。(a)四维X门;(b)四维X2门;(c)四维X†门Fig.1 The conceptual diagram for three types of four dimensional quantum logic gates[29].(a)Four-dimensional X gate;(b)Four-dimensional X2gate;(c)Four-dimensional X†gate

高维逻辑门变换的实验结果如表1所示,列出了不同逻辑门对应量子态转换的概率值,由表中数据可得经过X、X2与X†门后,期望末态的平均概率值分别为87.3%、90.4%、88.4%。此外,为了能验证逻辑门对于叠加态的变换,用四维叠加态 |ψin〉= α|−2〉+ β|−1〉+ γ|0〉+ δ|1〉(其中α=0.27,β=0.47,γ=0.70,δ=0.46)作为输入态经过三种逻辑门X、X2与X†,其变换后的态与理想态的保真度分别为(93.4±0.9)%,(94.1±0.7)%与(91.6±0.7)%,这也验证了该逻辑门的相干保持性很好。

表 1 不同逻辑门输出转换效率Table 1 Transfer efficiency of the output corresponding to three types of logical gates

四维X门及其整数次幂变换(X2和X†)以及Z门可以构成四维量子系统操作的完备集,能够实现四维空间中的任意么正变换。高维逻辑门可以应用在各种高维的量子协议中,例如在高维量子密钥分发方案中相互无偏正交基之间的转换,还可以实现多方密码共享以及密集编码中的纠缠态正交基矢之间的变换。在量子计算中,量子门操作的完备集是必须的,高维量子态可以更有效地实现量子门操作以及量子纠错。

1.2 基于单光子多自由度的Toffoli门与Fredkin门

多量子比特门,例如Toffoli门和Fredkin门,可以分解成一组单量子比特和双量子位门来实现。然而,这种多个量子位门的合成增加了量子系统的复杂度,并使逻辑门更容易受到环境退相干的影响。目前许多量子门已经在不同的物理平台中构建出来,但是其扩展性依然是一个难题。因此,使用更少的资源来实现具有更低退相干和更小错误率的多量子位门仍是量子信息处理的关键。

Toffoli门与Fredkin门均为三量子比特逻辑门,其量子线路如图2(a)、(b)所示,其中Toffoli门只有当两个控制位值均为1时,目标位才会发生翻转。Fredkin门中第一个量子位为控制位,当其值为1或0时,两个目标位值进行交换或保持不变。这里选择使用光子的偏振态编码第一个量子位(|V〉→ |0〉,|H〉→ |1〉),光子的轨道角动量模式(ℓ= −2,−1,0,1)编码另外两个量子位。对于Toffoli门,采用的编码方式为

图2 Toffoli门[30]与Fredkin门[31]量子线路图。(a)单光子偏振与OAM编码的三比特Toffoli门;(b)单光子偏振与OAM编码的三比特Fredkin门Fig.2 The quantum circuit of Toffoli gate[30]and Fredkin gate[31].The quantum Toffoli gate and Fredkin gate for three qubits encoded into SAM and OAM degrees of freedom of a single photon are shown as(a)and(b),respectively

当两个控制量子位值均为1时,即偏振态为H,OAM模式数为±1,目标量子位翻转,这时OAM量子态|ℓ=−1〉与 |ℓ=+1〉进行交换就能够实现 Toffoli门操作。Toffoli门实现光路如图 3(a)示,中心波长为 405 nm的连续激光器泵浦PPKTP晶体产生偏振关联光子对,其中水平偏振光子(闲置光)作为触发信号,竖直偏振光子(信号光)经过滤波以及偏振校正后,入射到空间光调制器以及半波片制备所需的偏振与OAM输入态。水平偏振信号光分别经过OAM模式分束器模块(绿色),OAM量子态根据模式数奇偶分开,再经由粉色模块后偶数OAM模式ℓ=−2,0保持不变,奇数OAM模式ℓ=±1由于反射使其模式反转,最后经由OAM模式合束器模块(橙色)将奇偶模式进行合并。竖直偏振的信号光则经过多次反转,与水平偏振信号光在PBS处进行相干叠加,进而进行偏振与OAM态的投影测量。

图3 (a)Toffoli门[30]与(b)Fredkin门[31]实验光路图Fig.3 Experimental setup of(a)Toffoli gate[30]and(b)Fredkin gate[31]

Fredkin门的编码方式可表示为

当光子的偏振态为水平时,两个目标位的值相互交换,即OAM模式±1保持不变,OAM量子态|ℓ=−2〉与|ℓ=−0〉进行交换就可以实现Fredkin门操作。实现Fredkin门的实验光路如图3(b)所示,与Fredkin不同的是在模块(2)中加入了螺旋相位板SPP+2,从而完成了偶数模式的交换。

Toffoli门与Fredkin门的输入输出真值结果如图4(a)、(b)所示,真值图给出了计算基底下的8种对应输入态经过多粒子门后的概率值,其平均转换率分别为(95.1±3.2)%和(95.4±2.6)%。另外,通过Fredkin门能够产生一种类GHZ态,其中 µ,λ,ω,j可以为 0或 1。

图4 多比特逻辑门实验结果图。(a)Toffoli门[30]实验结果图;(b)Fredkin门[31]实验结果图Fig.4 Experimental results of multi-qubit logic gates.(a)Experimental result of Toffoli gate[30];(b)Experimental result of Fredkin gate[31]

在实验中利用 Fredkin门制备出来的不可分态 |ψ001〉保真度为 (96.8±2.3)%,|ψ010〉的保真度为(96.0±1.7)%,这两个不可分态可以通过梅林不等式

的违背验证其量子互文性,本研究组在实验中得到的SM值为3.818±0.016,该值大于非互文隐变量所预测的最大值,因此也证实了非互文隐变量理论是违背量子力学原理的[32]。

通过两种不同的编码方式,利用单光子多自由度实现了两种确定性的三比特量子逻辑门,该方案也能够扩展到N比特的Toffoli门与Fredkin门中。同时,在方案中应用到的主要单元OAM模式奇偶分束器、非门等变换,不仅可以扩展到光子路径与频率等自由度,也能够应用在其他的量子体系例如离子阱、冷原子以及超导线路中,为进一步实现高效、可集成化量子计算提供了一种新的方法。

2 光子轨道角动量量子态的应用

2.1 光子偏振与轨道角动量自由度间的量子态传输

量子隐形传态过程由于其传送量子信息的性能使其在量子通信领域有诸多应用前景,如量子网络和量子中继器等。考虑这样的场景,Alice一侧粒子的偏振自由度能够很方便地进行信息处理,但Bob持有的粒子是轨道角动量进行编码的。因此这里需要将偏振编码的量子态从Alice传输到Bob一侧的OAM量子态上,该任务可以通过量子隐形传态的方法来实现[33]。Alice和Bob共享一个OAM纠缠的EPR光子对a与b,Alice要传递的量子态编码在偏振自由度c上,Alice对其所拥有的一半EPR对a和所要发送的信息所在的偏振态光子c进行联合贝尔态测量

则光子混合自由度c与a所构成的量子态会投影到四个纠缠态中的一个。然后Alice将结果通过经典信道传送给Bob,Bob根据测量结果对自己所拥有的另一半EPR对做相应幺正变换,光子b塌缩到所要传递的量子态上。

如图5所示,中心波长为405 nm的连续激光泵浦PPKTP晶体,经参量下转换过程产生810 nm的关联光子对,关联光子对由PBS分为两路,分别经过螺旋相位板后在BS上进行HOM干涉,OAM模式的关联光子对可能从两个端口或者由一个端口同时出射。HOM干涉在不同基矢下的测量结果如图6(a)、6(b)所示。通过HOM干涉进行后选择制备出(6)式所给出的偏振与OAM纠缠直积态Ψ,同时要传输的信息被编码在偏振态上。如图5中的绿色部分所示,在单个光子上实现的偏振与OAM混合纠缠的贝尔态测量,四个贝尔态最终将分别传输到四个不同的端口从而实现区分。整个贝尔态测量包含以下过程:首先,通过马赫曾德尔干涉仪和45◦光轴偏转的QWP,使入射的4个贝尔态由非可分态变为可分态 (|H〉|+ℓ0〉,|V〉|−ℓ0〉,|H〉|−ℓ0〉和 |V〉|+ℓ0〉)。其次,两个水平偏振的可分态经过 PBS后透射,另外两个则被PBS反射。接着,利用HWP、Sagnac干涉仪和QWP构成的OAM分束器实现对光子轨道角动量|ℓ=±1〉模式的分束。最后,利用SPP将光子的相位抹平,使其可以高效地耦合到SMF,四种贝尔态将从不同端口输出,从而实现完整的贝尔态测量。图6(c)给出了6个输入态中对应的保真度,可以看出六种典型的输入态都被很好地进行了重构,且所有态的保真度都大于Fclass,证明了该量子态的传输是一个非经典过程。

图5 量子态传输实验装置图[33]Fig.5 The experimental setup of the quantum state transfer[33]

图6 量子态传输实验结果图[33]。(a)在轨道角动量态|A〉和|D〉下双光子HOM干涉结果;(b)在轨道角动量态|L〉和|R〉下双光子HOM干涉结果Fig.6 The experimental results of the quantum state transfer[33].(a)Results of two-photon HOM interference on the OAM bases|A〉and|D〉;(b)Results of two-photon HOM interference on the OAM bases|L〉and|R〉

2.2 四维OAM空间中贝尔态基矢的制备

在许多量子通信方案中一般需要制备最大纠缠态,也就是常说的贝尔态基矢。Anton Zeilinger团队[34]利用高维量子逻辑门实现高维贝尔态的方案,并首次在实验中产生了一组完备的四维贝尔态基矢。该工作中制备高维纠缠贝尔基矢的方法也可类比到多光子纠缠态中,以产生高维多光子GHZ态与Cluster态等。广义的两粒子d维贝尔态具有如下形式

在四维情况下,(7)式一共包含了16个正交的贝尔态,将这些态分成四组,如图7(a)所示,每组中的四个态用n=0,1,2,3来区分,表示概率幅之间相位关系的不同。

图7 四维贝尔态产生原理示意图[34]。(a)四维贝尔态分类;(b)任意四维贝尔态的制备Fig.7 Schematic diagram of the generation of four-dimensional Bell states[34].(a)The classification of four-dimensional Bell states;(b)The preparation of arbitrary four-dimensional Bell state

用OAM模式数ℓ∈(−2,−1,0,1)的四个正交态来作为四维空间的基矢。如图7(a)所示的第一组态ψ0n中,A和B具有相同OAM量子态,但是概率幅之间的相对相位随着n值的不同在变化;如图7(b)所示,由第一组贝尔态中的ψ00出发,经过顺时针循环的模式变换即X门变换以及相位门就能够得到第二组贝尔态ψ1n。对第三以及第四组贝尔态来说,则要分别经过一个态交换X2和一个逆时针循环变换X†以及相位门,通过这些变换能得到图7中所有的贝尔态。

该实验中用两种不同的定量测量来检验实验中产生的16个贝尔态:实验产生的态与理论预期的贝尔态之间的保真度以及四维纠缠判据。由于任意三维量子态与一个四维最大纠缠态的重合度即保真度,其理论上的最大保真度为max=0.75。如果所制备纠缠态超过了该阈值,那么就证明该量子态至少为四维纠缠。图8给出了所有16个贝尔态的保真度值,所有贝尔态的平均保真度为exp=0.78±0.03。其中每一个值都分别超过阈值0.75至少三个标准偏差,证明了实验中所产生量子态的纠缠维度为4维。

图8 实验产生的16个贝尔基矢的保真度[34],红线表示四维纠缠的理论阈值Fig.8 The fidelities of the sixteen Bell states generated by the experiment[34].The red line denotes the theoretical bound for four-dimensional entanglement

3 光子轨道角动量量子态的识别

精确识别OAM模式对于OAM应用具有十分重要的意义。例如在量子信息处理中,利用光子轨道角动量进行信息编码,在进行信息解码时,对OAM的识别是不可或缺的;再者,在一些结合光子OAM的通信应用中(例如:自由空间光通信),接收端准确识别OAM模式也是极其重要,在本节将介绍几种测量OAM的方案。

3.1 利用单像素探测器测量轨道角动量和径向指数谱

目前,在很多量子信息处理过程中要求实现对于未知OAM叠加态谱分布的识别,虽然已经提出了许多方案来表征OAM态,但大多数方案都适用于OAM分量较少的态,并且只能测量OAM谱,而缺失径向指数谱。复OAM谱的典型解码方法存在OAM范围窄、干涉仪不稳定、测量时间长等问题。近年来,高速数字微镜阵列(DMD)的快速发展使得高效快速空间光调制成为可能。刘瑞丰团队[35]利用高速DMD结合四步相移法和共路干涉对未知OAM叠加态进行谱测量。

图9 OAM谱与径向指数测量的实验装置图[35]Fig.9 Experimental setup of measuring the spectrum of orbital angular momentum and radial index[35]

图10 棋盘图案示意图和两种测量基[35]。(a)16×16棋盘图,白色和黑色分别用于信号场和参考场的采样;(b)信号场和参考场的采样光栅;(c)∼(e)OAM测量基图样;(f)∼(h)LG测量基图样Fig.10 Schematic diagram of the chessboard pattern and two measurement bases[35].(a)16×16 chessboard pattern.The white and black lattices are used to sample the signal and the reference field,respectively;(b)The grating applied on each of the lattices;(c)∼(e)The patterns corresponding to OAM base;(f)∼(h)The patterns corresponding to LG base

图11 OAM态测量结果[35]。输入态为OAM拓扑荷的三角形函数时,(a1)和(a2)分别表示测量得到的振幅和相位;输入态为OAM拓扑荷的均匀分布时,(b1)和(b2)分别表示测量得到的振幅和相位Fig.11 Measured results of OAM states[35].(a1)and(a2)are the detected amplitude and the relative phase when the amplitude of the input states is a triangle function;(b1)and(b2)are another set of results when the input states satisfy uniform distribution

3.2 利用分形多孔掩膜结合深度学习实现不对准超精细OAM识别

传统识别OAM模式方案各具特色且十分巧妙,但都存在一定问题,特别是在自由空间光通信(FSO)的应用场景之下。近些年来,深度学习的快速发展已经在诸多领域得到应用,已有研究人员将深度学习引入基于OAM的FSO系统中,以实现对OAM模式的精确识别。

刘瑞丰团队[36]设计了一种按照分形排布的多孔掩膜(FMM),当待测光束经过分形多孔掩膜后形成特殊的衍射图案,结合机器学习算法,可以实现对OAM模式的准确识别。由于该方案中分形多孔掩膜的特殊设计以及深度学习方法具有对扰动宽容度较大的特性,使得该方案能够在发射端和接收端以±0.5个束腰的相对偏移实现对超精细OAM模式的识别,而且所设计的分形多孔掩膜器件简单,尺寸灵活,适用于大尺度光束的场景,符合远距离FSO的应用需求。

图12展示了设计的分形多孔掩膜,设FMM中第n个孔的中心坐标为(xn,yn),满足

式中:C1为恒定比例因数,C2为发散角。实验中,FMM中孔的总数n=500。图12(a)中的每个像素对应于DMD中7.6µm×7.6µm的像素微镜,而FMM中的每个孔半径大小约为4.5 pixel。

图12 分形掩膜示意图[36]。(a)加载到DMD上的分形多孔掩膜;(b)分形多孔掩膜的局部放大Fig.12 Diagram of fractal multipoint mask[36].(a)The fractal multipoint mask imaged on the plane of DMD;(b)Regional enlarged view of the fractal multipoint mask

实验装置如图13(a)所示,采用波长为633 nm的He-Ne激光器作为光源。激光束经过扩束准直投射到纯相位型空间光调制器上,生成所需的LG模式。然后利用透镜L3和L4构成的4f系统成像到DMD的平面上,所设计的FMM被加载到DMD上。再通过透镜L5,由1392 pixel×1040 pixel的CCD采集远场衍射强度图。图13(c)中展示了一个衍射图案的样本。该方案用DenseNet-121算法[37]识别具有拓扑荷ℓ∈{−5,−4,···,5}且p=0的LG本征态。数据集生成参数范围为:1)光束束腰ω∈[0.45,0.55]mm;2)LG模式初始相位φ0∈[0,2π];3)x和y方向的横向位移∆x,∆y∈[−0.25,0.25]mm。对于11个类别的LG模式,共有1100个实验获得的衍射强度图案及其相应的拓扑荷ℓ作为标签被用作数据集,每个拓扑荷ℓ有100个样本。所有的1100个样本随机排序后,其中前850个样本被用作训练集,其余250个从未参与训练过程的样本被用作测试集。最终,训练好的DenseNet-121网络用于在测试集上评估其分类能力。图13(b)展示了ℓ∈{−5,−4,···,5}且p=0的LG本征态测试集上归一化的混淆矩阵。可以看到,测试集中的所有样本均被正确识别,准确率达到100%。

图13 (a)实验装置示意图;(b)LG本征态混淆矩阵以及训练过程中的准确率和损失函数曲线;(c)远场衍射图案[36]Fig.13 (a)Experimental setup;(b)The confusion matrix for the recognition of misaligned LG eigenstates and the curves of accuracy and loss during the training processing;(c)Example of the far-field intensity patterns[36]

4 结论

介绍了光子轨道角动量的一些操控与识别方式,例如高维量子逻辑门、混合自由度的三比特逻辑门以及基于机器学习的模式识别等工作。此外,还介绍了光子轨道角动量在量子隐形传态与高维贝尔态基矢制备中的应用。随着人们对于光子轨道角动量特性研究的深入,基于光子轨道角动量的研究仍是高维量子计算、量子通信以及量子精密测量等领域研究的重点,但是光子轨道角动量从理论到实际应用仍然面临着以下问题:首先,实现光子轨道角动量的任意幺正操作对于实现高维量子计算有着至关重要的作用;其次,如何在长距离光纤中对于光子轨道角动量进行低损耗以及高保真度的传输;最后,对于光子轨道角动量如何进行快速、高效以及非破坏性的识别。因此,如何解决上述问题是能否驾驭光子轨道角动量这一自由度的关键,对光子轨道角动量的探索仍然还有很长的路要走。