李文博,张芷毓,郑友进,杨柳,马佳,王珩,徐世峰

摘要：建立搅拌子的自旋运动微分方程，用竖直方向上动力学方程描述搅拌子运动状态.研究结果表明：搅拌子的悬浮状态由搅的质量、所受磁力的大小、转速差和液体的粘滞系数共同决定;搅拌子的总运动状态可以看做搅拌子摆动运动和旋转运动的叠加状态;搅拌子悬浮状态时的最佳实验大小长度为5 mm;当雷诺数较高时，流体径向向外流动，流动的倒转导致悬浮不稳定.

关键词：等效磁荷模型; 流体力学; 磁悬浮; 径向不稳定

[中图分类号]O441.2[文献标志码]J

Study on Magneton Suspension in Viscous Fluid

LI Wenbo1 a，ZHANG Zhiyu1 b*，ZHENG Youjin2，YANG Liu1 a，MA Jia1 a，

WANG Heng1 a，XU Shifeng1 a

（1.Shenyang Aerospace University  a.College of Science;b.College of Automation，Shenyang 110136，China;

2.Mudanjiang Normal University，Physics and Electrical Engineering，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：The differential equation of spin motion of the stirrer is established，and the state of motion of the stirrer is described by the kinetic equation in the vertical direction.The results show that the suspension state of the stirrer is determined by the mass of the stirrer，the magnetic force， the rotatingspeed difference and the viscosity coefficient of the liquid.The total motion state of the stirrer can be seen as a superposition of the oscillating and rotating motion of the stirrer; the optimal experimental size length when the stirrer is in suspension is 5 mm;when the Reynolds number is high，the fluid flows radially outward and the inversion of the flow leads to unstable suspension.

Key words：equivalent magnetic;charge model hydrodynamics;magnetic levitation;radial instability

1842年英國物理学家Earnshaw[12]提出磁悬浮概念：单靠永久磁铁是不能将一个铁磁体在所有六个自由度上都保持在自由稳定的悬浮状态.1900年初，美国和法国的专家提出物体摆脱自身重力阻力并高效运营的猜想——也就是磁悬浮的早期模.1937年，德国人宵（Kemper）[3]申请了一项主动磁悬浮支承的专利，提出要采用可控电磁铁才能实现稳定的磁浮.这项专利成为磁悬浮列车和磁浮轴承研究的主导思想.弗吉尼亚（Virginia）大学的毕姆（Beams）和霍姆斯（Holmes）[4]采用电磁悬浮技术悬浮小钢球，并通过钢球在高速旋转时所能承受的离心力测试试验材料性能，测量过程中钢球所达到的最高旋转速度为1.8×107 rot/min，这可能是世界上最早采用磁悬浮技术支承旋转体的应用实例.磁悬浮研究主要是对磁悬浮列车、磁悬浮轴承以及无轴承电机的工业化研究，对磁悬浮原理的受力物体物理化受力分析稀缺.

在特定条件下“搅拌子”能在粘性流体中稳定上升和悬浮，达到一个动态稳定的状态.因此，运用磁力搅拌器研究搅拌子悬浮运动，建立等效磁荷模型和垂直耦合模型，可以研究不同转速变化下搅拌子在旋转磁铁产生的磁场中的水平和竖直方向的受力状况.笔者对粘性流体中的搅拌子进行流体力学和电磁学受力分析，解释磁力搅拌器的“搅拌子”在搅拌时，在粘性流体中稳定地上升和悬浮的原因，研究“搅拌子”动态稳定的因素以及依赖的相关参数.

研究运用MATLAB和SolidWork软件进行仿真模拟实验，在物理仿真软件中进行数值计算，研究搅拌子内部的受力情况以及外界条件对其动态稳定的影响，为实验研究提供数据.

1模型建立

搅拌子受力分析方向主要分为水平和竖直两个部分，水平方向上的受力平衡主要受磁力和粘滞阻力两个方面影响.

1.1几何模型

研究磁力对搅拌子的影响，通过实验进行数值模拟.设定搅拌子规格为 φ 5 mm×20 mm，内部为B形磁芯，磁铁为20 mm×20 mm×8 mm的方形磁块，磁铁连接片具有良好的导磁性能.

简化仿真模拟搅拌子受力，图1和图2为磁力搅拌器简化模型.上方圆柱直径78 mm，高67 mm，下方为钕磁铁组成的磁力提供装置.

1.2搅拌子悬浮水平方向受力分析

1.2.1等效磁荷模型的建立

当转动旋钮时，驱动磁铁开始转动，旋转的两块磁铁吸引搅拌子产生旋转，此时搅拌子与磁场耦合.因为搅拌子产生的磁感线与两个异号磁荷在空间中形成的磁感线相似，即可将搅拌子等效为磁偶极子.因此，在研究搅拌子受力以及其在磁场中的能量时，采用磁荷观点构建物理模型，见图3.考虑搅拌子磁荷在旋转磁场中对称，将这一对磁偶极子简化为一个磁单极子研究.[56]

1.2.2磁荷的计算

在磁场中有：B→=μ0H→. （1）

类比电荷得到远场中的磁荷表达式：

H→=14πμ0Q1r2.（2）

计算其在平行方向上的分量：

H→=14πμ0Q1r2·2cosα.（3）

可以计算出

Q1=2πB（r2+L2）3/2r.（4）

1.2.3 惯性矩理论分析

偶极子在与磁场耦合时，根据刚体力学有：

L→=Imdθdt.（5）

其中，将搅拌子的质量视为连续分布，则有

Im=∫r2dm.（6）

最终可知搅拌子所受的惯性矩为：

Imθ··=mr2d2θdt2.（7）

1.2.4搅拌子悬浮前动力学方程

磁偶极子在均匀磁场中所受合力为零，但会受到一个力矩的作用：

M→=Pm→×H→.（8）

对于一个旋转的磁场，可以描述为：

H→=μB0ei ω0t.（9）

Pm→=q0×H→.（10）

假设粘滞阻力与速度成正比例关系，得到搅拌子的自旋运动微分方程为：

Imd2θdt2=-q0μ2iei（ω0t-θ）-e-i（ω0t-θ）-klθ.（11）

因为粘滞阻力，搅拌子转速存在一个上限值，当旋转磁场转速到达这个上限值时，粘滞阻力等于旋转磁场提供的动力.继续增大磁场的转速，搅拌子脱耦，出现异步，搅拌子距离磁场高度越高，受力越小，所能达到的转速越小.

1.3搅拌子悬浮垂直方向受力分析

1.3.1垂直運动耦合

考虑固定角度动力学方程，对垂直力提出以下模型，再次假设偶极子之间耦合（具有z-4的相关性）.

z··g′+z·vt-z0z4cos（θ-ωdt）+1=0.[1]（12）

其中，z为两个磁极对准φ=0和ωd=0平衡垂直分离时候的间隙长，vt为搅拌子在没有任何磁力下平动的最终速度，g′为浮力修正后的重力加速度，实验流体选取胶水，则

g′=ρ胶Vg-ρ水Vg/（ρV）=g-ρ水g/ρ胶≈4.9.

1.3.2搅拌子悬浮时竖直方向上动力学方程

在水平方向上解耦合后，搅拌子磁荷受到两个旋转磁荷的磁力

F→m±=14πμ0Q1Q2R2+r2±2Rrcos（θ）.（13）

其中，θ=2πnt，n为转速，力的方向为磁荷连线方向.

该力在竖直方向的分量，既是磁荷悬浮的力：

Fmz=F→m·sinφ.（14）

所以：

Fmz=14πμ0Q1Q2·zR2+r2-2Rrcos（θ）3/2-

zR2+r2+2Rrcos（θ）3/2.（15）

考虑与磁荷竖直速度成比例的粘滞阻力与磁荷重力：

mz··=Fmc-mg-k1z·.[1]（16）

因此，搅拌子的悬浮状态，由搅拌子的质量所受磁力的大小、转速差和液体的粘滞系数共同决定.

总之，两块磁铁的状态取决于角度，在低速情况下二者耦合，转速增大到二者之间的角度差大于90°，此时搅拌子与磁场脱耦异步受到斥力.由公式（11）（12）可以推导出转速差很小时，搅拌子不会解耦，而是会发生跳跃;质量越大，稳定悬浮高度越低;转速差越大，稳定悬浮高度越低，且上下波动幅度越小.因此，搅拌子的悬浮状态由搅的质量、所受磁力的大小、转速差和液体的粘滞系数共同决定.

2流体对搅拌子的影响

2.1搅拌子在流体中的运动状态

改变转速，记录搅拌子摆动状态时角速度、旋转运动时角速度，观测搅拌子在不同时间内整体转动过的角度，实验数据见图4和图5.拟合得出经验公式

θ（t）-θ0=Awsin（ωwt）+ωst.[1]（17）

公式（17）可以看做是自旋运动公式的一个解，对于搅拌子的总运动状态，可以看做搅拌子摆动运动和旋转运动的叠加状态.[78]

将旋转速度、摆动角速度以及驱动角速度绘制在图6中进行拟合，得出公式：

ωs+Awωw=32ωdown.（18）

ωw=ω2d-34ω2down.（19）

ω↓=2 33（ωs+Awωw）.（20）

2.2搅拌子在流体中的动力学特性

将搅拌子视为均匀圆柱体，则其在流场中振动时单位长度上受到的流体作用力为

F=-6πRdω2ωs1+R3δdωdt-6πη1+Rδω.（21）

δ=2ηωρ.（22）

ma=-6πRdω2ωs1+R3δ.（23）

ca=-6πR1+Rδω.（24）

其中，ωs为搅拌子振动频率，ma为单位长度上的动力附加质量，ca为单位长度上的动力附加阻尼，R为烧杯半径，η为流体粘度.对二者无量纲化处理，最终得出

ma=33+kRη-φ-ω-1+k3Rδ.（25）

ca=11+kη-1+kRδ.（26）

2.3建立搅拌子在流场中的模型

当搅拌子尺寸过大或者过小时，随着粘滞系数增加，搅拌子难以跳起，搅拌子出现向边缘漂浮现象;当增加烧杯的半径时，过大的烧杯会增加流体对搅拌子产生的附加质量和附加阻尼，不易使搅拌子悬浮.[914]

2.3.1搅拌子规格的选取

搅拌子在流体中运动时，根据粘滞系数的表达公式

k=4πηllnlb.（27）

将搅拌子的长度设为自变量，在理论上可以通过研究搅拌子的大小对粘滞系数大小的影响，得出使附加阻尼最小的搅拌子大小.对k求偏导数之后，运用MATLAB软件画出k随l的变化图，见图7和图8.由图7和图8可知，搅拌子的大小约为5 cm时，粘滞系数达到最小值.

2.3.2对于漂移现象解释的原因

理论上，假设搅拌子的运动与驱动磁铁在相同的轴上，但是在实际的实验中并没有这样的约束.在实验中，搅拌子在低于临界粘度的流体中保持在驱动磁铁的重心位置.在计算上，采用的是排除流体惯性的无约束搅拌子数值模型，对于流体对搅拌子的影响过于简化，也是径向不稳定的.这两种结果都表明了径向稳定性的一个复杂的水动力起源.径向不稳定产生的原因有以下四点：没有考虑流体惯性对搅拌子的约束，搅拌子无法保持与驱动磁铁的中心位置保持一致，径向流动方向不稳定，振荡引起边界层厚度变化引起类似流动逆转.

2.3.3运动状态研究

运用Tracker对搅拌子中心进行追踪记录，观测其位置化.如图9所示，在运动过程中，观测搅拌子位置变化.

振荡诱导流动下惯性力与粘性力之比

Res=2A2l2ρω/η.（28）

通过改变流体的种类反复进行实验.当Res=11.7±0.4，流体从搅拌子上面和侧面被吸进，然后沿着搅拌子的轴流出.当雷诺数Res=400±12，流体沿搅拌子轴线和轴上向内被抽吸，并向外送至两侧.故当雷诺数较高时，流体径向向外流动，流动的倒转导致悬浮不稳定.

2.4小结

（1）搅拌子在悬浮时是一种动态平衡：搅拌子的总运动是旋转运动和摆动运动的叠加.

（2）过大过小的烧杯和搅拌子均对搅拌子的悬浮状态造成影响.当搅拌子的长度为5 mm时，搅拌子悬浮状态最佳.

（3）漂移现象的产生是因为径向不稳定，原因有四点：没有考虑流体惯性对搅拌子的约束，搅拌子无法保持与驱动磁铁的中心位置一致，径向流动方向不稳定，振荡引起边界层厚度变化引起类似流动逆转.当雷诺数较高时，流体径向向外流动，流动的倒转导致悬浮不稳定.

3总结

本文以搅拌子和粘性流体为研究对象，研究搅拌子悬浮现象.从磁力和流体力学两个角度出发，解释悬浮前耦合、悬浮时、悬浮后期漂移现象这三个过程.采用数值模拟的方法，建立等效磁荷模型对物体受力进行分析，运用追踪软件Tracker软件对搅拌子的运动轨迹进行追踪.

（1）搅拌子的悬浮状态由搅的质量、所受磁力的大小、转速差和液体的粘滞系数共同决定.搅拌子的状态取决于二者间的角度，在低速的情况下二者耦合，转速增大到二者之间的角度差大于90°时，搅拌子与磁场脱耦异步受到斥力;当转速差很小时，搅拌子不会解耦，而是会发生跳跃;搅拌子质量越大，稳定悬浮高度越低;转速差越大，搅拌子稳定悬浮高度越低，且上下波动幅度越小.

（2）搅拌子的总运动状态可以看做搅拌子摆动运动和旋转运动的叠加状态.搅拌子悬浮状态时的最佳实验长度为5 mm.

（3）搅拌子漂移现象的产生原因以及影响因素.由于没有考虑流体惯性对搅拌子的约束，搅拌子无法保持与驱动磁铁中心位置一致，径向流动方向不稳定，振荡引起边界层厚度变化引起类似流动逆转.当雷诺数较高时，流体径向向外流动，流动的倒转导致悬浮不稳定.

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编辑：琳莉