王飞，赵文英，董莹

摘要：依据中国城镇化水平曲线变化的特点，在经典的Logistic模型基础上，设计相对增长率函数，建立改进的Logistic模型应用于中国城镇化水平的预测.研究结果表明，预测结果同经典Logistic模型和双S曲线模型相比，拟合程度更高，其预测值可为相应决策部门制定政策提供参考.

关键词：Logistic模型;相对增长率;城镇化水平

[中图分类号]F727/O29 [文献标志码]A

Application of Improved Logistic Model in the

Prediction of Urbanization Level in China

WANG Fei，ZHAO Wenying，DONG Ying

（School of Mathematical Science，Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：According to the characteristics of China's urbanization rate curve，based on the classical Logistic model，the relative growth rate function is designed，and an improved Logistic model is established to predict the level of urbanization in China.The results show that the fitting degree of the prediction results is higher than that of the classical Logistic model and the known double S curve model，and its prediction value can provide a reference for the corresponding decisionmaking departments to formulate policies.

Key words：Logistic model;relative growth rate;urbanization level

城市化水平是一個国家或地区社会和经济发展程度的重要评价数据，也是城市发展规划制定的重要依据.[12]Logistic模型在经济、人口、流行病以及自然界描述种群数量等方面有着广泛的应用，是一些复杂模型的基础.[35]本文对Logistic模型进行改进，将改进的Logistic模型应用于中国城镇化水平的预测，以期为加快中国城镇化建设的进程提供理论依据.

1构建改进的Logistic模型

Logistic模型的基本假设为：（1）在确定的环境下考察某单一种群;（2）种群没有迁入和迁出;（3）种群的相对增长率dxxdt是种群规模x的线性减函数;（4）K为定值.[6]

刘加奇和袁文燕认为，空间饱和容量K在一些领域不是一成不变的，会随着经济发展、技术革新、生产力水平的提升等外界条件的改变而改变.他们建立了改进的Logistic模型[10]，既有两个饱和值的、拉伸的双S型曲线模型：

dxdt=rx1-xka1-xb2+c.（1）

式（1）中，dxxdt与x之间为特殊的三次多项式关系.本文将在此基础上，进一步将方程扩展为更一般化的一元三次多项式，最终形成拉伸的双S型曲线.

针对双S型曲线的特点，它的变化率表现为慢→快→慢→快→慢的上升过程，对应的函数值变化为：上升→下降→上升→下降，类似于M型曲线的变化过程.这个过程最简单的函数为四次多项式，考虑到当x数量为0时，变化率为0，且开口向下，因此，四次多项式的常数项为0，最高次项系数小于0.建立双S曲线的最初微分模型：

dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）

x（0）=x0.（2）

改进的logistic模型（3）式有以下特征：

（1） 相对增长率dxxdt=r1x3+r2x2+r3x+r4，当满足r1<0，且r3-r223r1≤0时，相对增长率为非线性减函数，满足经典Logistic模型的假设条件（3）中减函数的特征.

（2）当r1=r2=0，r3=-r0k，r4=r0时，改进的模型（2）式简化为为经典Logistic模型，此时饱和值xm=k.

（3）当满足r1=-arkb2

r2=rbab+2ak

r3=-r2ab+a+ck

r4=r（a+c）

时，改进的模型（2）式简化为模型（1）式，此时两个饱和点分别为x1m=k，x2m=b.

2改进logistic模型的应用

1978年，我国的城镇化水平为17.55 %，随着时间的推移，城镇化水平稳步增长，到1995年第一个拉伸的S型曲线已经显现，第一个饱和值也越来越明显.这个阶段，我国改革开放政策已经实施了十多年，其效果开始显现，我国在经济、科技、工业、农业等方面实现了大幅度的快速增长，社会生产力水平明显提升，各行各业的发展带动了城市的全面发展，城市的扩建、城市基础设施的完善，使得大批农村剩余劳动力涌向城市，城市出现了更大的容纳空间，使得城镇化水平在1995年趋向饱和的情况下出现快速增长的态势.截止到2019年，我国城镇化水平达到60.6%，未来还会进一步增长.但城市在扩展的同时也受到一些因素的限制，例如要保证国家正常耕地面积不受破坏、要保证城市的经济、教育、医疗等方面的协调发展等，所以城镇化率不可能无限制的增长下去，必然在一定的生产力、有限的城市环境下出现第二个空间容纳值，即第二个城镇化水平的饱和值，从而形成第二段拉伸的S型曲线.图1为中国城镇化水平随时间的变化散

点图.

2.1模型的应用

对微分方程dxdt=x（r1x3+r2x2+r3x+r4）求解.考虑到解析解比较困难，这里对其进行离散化，取Δ t=1年，则有改进的logistic模型（2）式的离散解：

x（t+1）=x（t）+Δx=x（t）+x（t）r1x（t）3+

r2t（t）2+r3x（t）+r4，t=0，1，2，….（3）

其中，ri，i=1，2，3，4为参数.对参数利用最小二乘法进行估计，可知：r1=-1.80×10-7，r2=-5.71×10-6，r3=0.001 06，r4=0.011 310 022.得到中国城镇化水平的预测模型为：

dxdt=x-1.80×10-7x3-5.71×10-6x2+

0.001 06x+0.011 310 022

x（0）=17.44.（4）

對应的两个饱和点可以从特征（3）的方程组求出，求解得到近似解饱和点x1m=35.229 1，x2m=

74.417 0.应用模型（4）进行拟合预测，得到19772030年中国城镇化水平的拟合值与预测值.拟合曲线见图2.

2.2改进的logistic模型对未来城镇化水平的

预测利用三种模型对中国19772019年城镇化水平进行了拟合，对三种模型的拟合误差求平方.测试结果表明，经典logistic模型预测相对误差平方和为4.462 9，双S曲线模型预测相对误差平方和为3.780 1，改进的logistic模型预测相对误差平方和为3.692 3.改进的logistic模型预测准确度高于经典的logistic模型，略高于双S曲线模型，预测更接近实际值.

改进的logistic模型对我国20202030年城镇化预测结果见表1.到2030年，我国的城镇化水平增长开始缓慢，接近第二个饱和点.也就是说，想要使我国的城镇化水平继续快速增长，达到发达国家水平，必须在2030年前创造社会生产力新的增长方式，才能保证我国的城镇化水平有更大的发展空间.

3小结

本文在经典logistic模型的基础上建立了改进的logistic模型，模型具有更广的应用范围.改进的logistic模型准确度相对更高，更可信.

参考文献

[1]赵文英，于良娟，谢威，等.基于PCAFUZZY的城镇化发展水平综合评价[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2021（1）：1620.

[2]廖飞，谢威，赵宝江，等.灰色模型在牡丹江市城镇居民收入预测中的应用[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（3）：34.

[3]王寿松.单种群生长的Logistic模型[J].生物数学学报，1990，5（1）：2125.

[4]王延臣，段俊生，王彦.人口预报与LOGISTIC模型的改进[J].统计与决策.2006，（22）：136137.

[5]赵文英，葛礼霞.基于改进Logistic模型的黑龙江省城镇化水平预测[J].数学的实践与认识，2013，43（13）：4449.

[6]马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996.1117.

[7]刘加奇，袁文燕.Logistic模型的改进——双S形曲线模型的研究[J].数学的实践与认识，2008（17）：6065.

编辑：琳莉