周大勇,孙建梅

(1.大连交通大学 理学院，辽宁 大连 116028；2.大连科技学院 数字技术学院，辽宁 大连 116052)①

全球大流行的新发传染病COVID-19对人类生活产生了极大的冲击和影响,目前确诊病例仍然居高不下.截至2021年8月27日，根据世界卫生组织公布的数据，全球共有214 468 601例确诊为COVID-19病例，其中包括4 470 969例死亡病例，而且这些数据仍在快速增长中.随着新冠疫苗的逐步接种，人们对疫苗的保护效率非常关心.辉瑞和BioNTech公布了3期临床试验的六个月随访数据，在接种第二剂疫苗长达6个月的时间里，疫苗针对有症状感染的保护效率为91.3%，与最先公布的95%的保护率基本一致，表明这款疫苗的保护期至少有6个月.不仅如此，疫苗预防严重疾病的有效保护率为95.3%～100%[1-4]，即在较短的时间内，疫苗对于COVID-19流行病的保护效率是非常高的.对于COVID-19传播规律与防控措施的研究，建立微分方程动力学模型进行探讨是采用较多的一种方法[5-9].疫苗接种对于控制COVID-19的传播是目前各国正在大力推行的措施之一.雷仙鹤、王鸿章、朱焕等人对于疫苗接种对于传染病的最优策略及对传染病传播影响进行了探讨[10-12].本文假设在一定时期内，由于媒介的宣传、政府的政策对区域进行封锁作用，某一区域不考虑新的人群注入和自然出生及自然死亡人群，各人群混合均匀.接种疫苗的易感者在一定时期内完全有免疫力成为恢复者，恢复者自身也具有完全免疫力，即他们通过自身获得免疫后短时间内不再成为易感者.潜伏者经过潜伏期都发病或者检测都转化为患者，潜伏者不具备通过自身免疫变成恢复者.论文的结构如下,在第一节中，建立了COVID-19传播的具有短期保护效率的疫苗接种动力学模型.在第二节中，分析了基本再生数、模型的平衡点、局部稳定性条件.在第三节中进行了数值模拟.最后在第四节中给出了结论和一些展望.

1 改进的SEIR模型

将某一地区的人群可以分为易感者(S(t))、潜伏者(E(t))、患者(I(t)有症状)、检测隔离者(Q(t))、恢复者(R(t))、死亡者(D(t)).假定各人群混合均匀，并且在媒体的宣传、人群个人的防范意识和严格的封闭措施下该地区没有新增注入的人口.假设易感者以β的概率接触潜伏者或者染病者.易感者受到媒体报道的影响后，考虑疫苗供给能力的影响，接种率为μ.短期内接种疫苗具有完全保护效力，当人群选择接种疫苗而转化为恢复者，潜伏者中有η减弱比例，潜伏者的发病率为α.患者中检测确诊后以隔离率λ进行入院隔离治疗成为隔离者Q(t).患者的自愈率和死亡率分别为rI,dI.入院隔离患者的治愈率和死亡率分别为rQ,dQ.隔离患者Q(t)无论轻症或者重症都进入医院占用医疗资源M.在以上假设下的各人群转化见图1.

图1 各人群传染病传播仓室图

通过上述转化图，建立如下对应的COVID-19传播的微分方程:

(1)

初始时刻，

S(0)=S0>0,E(0)=E0>0,I(0)≥0,

Q(0)≥0,R(0)≥0,D(0)≥0

2 模型分析

2.1 基本再生数R0

利用下一代矩阵法[13]求模型(1)的基本再生数R0，受感染的仓室为E，I，F(X)表示新感染疾病的矩阵，V(X)表示传染病方程组间的转移矩阵，由(1)得到：

(2)

F(X),V(X)关于E，I的雅克比矩阵为：

(3)

模型(1)有一个无病平衡点P0=(S*,0,0，0),F,V在点P0雅克比矩阵

(4)

则模型(1)下一代矩阵为:

(5)

上式的最大谱半径为:

(6)

则模型(1)的基本再生数为：

(7)

2.2 平衡点及局部稳定性

设定k1=λ+rI+dI;k2=rQ+dQ,k3=k1η+α,由于模型中前4方程不含R,D,模型(1)有无病平衡点

P0=(S*,0,0，0)≈(N,0,0,0)和地方病平衡点

(8)

通过线性化模型(1)，分析平衡点的局部稳定性，得到如下雅可比矩阵：

(9)

2.2.1 无病平衡点的稳定性

证明：系统(1) 在无病平衡点P0处的雅克比矩阵为：

上述矩阵显然有特征值：

(10)

(11)

当R0<1时，即

(12)

(13)

由上可知模型(1)在无病平衡点P0的雅克比矩阵的特征值的实部均为负，则P0为局部渐进稳定的.当R0>1时，

αk1-(βηk1+αβ)<0

2.2.2 地方病平衡点的稳定性条件

模型(1)在地方病平衡点的雅可比矩阵为：

(14)

(15)

则地方病平衡点处的雅克比矩阵为：

(16)

(17)

其中a1=k1+k4+α-k5

a2=k1k4+αk1+αk4-αk6-k1k5

a3=αk1k4

利用Routh-Hurwtiz定理，特征方程(16)的根全为负实部当且仅当下列式子成立

(i)a1>0 (ii)a1·a2-a3>0

(18)

则当(18)式成立时，地方病平衡点P*是局部渐近稳定的，否则是不稳定的.

3 数值模拟

(a) μ=0.000 01

从图2(a)可知，新发传染病从潜伏者发病开始蔓延传染，当接种率处于较低水平时，群体接近80%将感染.经过一段时间演化后，染病人数和需要入院隔离治疗的患者人数达到峰值.隔离患者峰值在某一时间接近总人群的三分之一，说明对于新发传染病，如果不加以干预的话将给医疗系统带来较大的冲击和压力，同时将影响入院患者的治愈率.图2(b)可知，当接种率处于较高水平时，感染人数及隔离人数和死亡人数相应将减少.医疗挤兑的情况得到缓解.

如果此时疫苗资源充足，入院隔离率λ=0.2保持不变，提高易感人群的疫苗接种率

μ=0.000 5k+0.000 05,k∈{0,2,4,6,8,10}，其他参数不变，各类人群演化图如图3所示.

图3 接种率逐步提高时，各人群数量演化图

从图3(a)、3(b)可知,接种率提高时，感染人数与入院隔离患者明显降低，而且可以明显减缓峰值到达的时间.而且在此时设定的参数背景下，当接种率μ>0.005时，感染人数和需要入院进行救治患者急剧减少几乎接近0.同时，从图3(c)、3(d)可知，随着接种率的提高，具有免疫力的人群数量在单位时间内增加的速度更快，这样会更好地控制疫情的传播.从图3(d)可知，提高接种率可以减少死亡人数，特别是当μ>0.005时，人群的死亡率几乎接近于0.对于这种自限性新发传染病，及时接种疫苗是降低死亡率较好的应对策略.

如果在疫苗资源有限的情况下，不妨假定接种率μ=0.003，讨论入院隔离率(确诊率)变化对疫情传播的影响.如果医疗资源足够多，即M≥107，不存在医疗挤兑情况下，隔离患者的治愈率和死亡率仍旧不变，取λ=0.03k+0.01,k={0,2，4,6，8，10}，各人群演化图如图4所示.

图4 隔离率变化时，各人群数量演化图

从图4(a)中可知，隔离率提高可以明显降低感染者峰值数量，并且可以延缓峰值到来的时间.在此参数背景下，当隔离率λ>0.3时，感染人数峰值几乎接近0.从图4(b)、4(d)中可知入院隔离患者和死亡患者的峰值随着隔离率提高而增加，当隔离率接近λ=0.07时达到最大值.而当λ∈(0.07,0.31)时，隔离患者与死亡患者的峰值随着隔离率的增加而减少.从图4(c)可知，恢复者在隔离率处于较低水平时，增加的速度较快.而当隔离率提高时，恢复者数量增加较慢.这是由于大量需要治疗的隔离患者进入系统的原因.

4 结论

自2019年底新冠肺炎(COVID-19)大流行以来，该新发传染病目前仍在全世界蔓延.对于控制该传染病的传播，接种疫苗和保持非治疗的预防措施仍然是最重要的手段.本文研究了短期保护效率下疫苗接种和隔离措施新发传染病的影响，通过建立SEIQR模型进行数值分析.结果表明，新发传染病从潜伏者发病开始蔓延传染，当接种率处于较低水平时，群体接近80%将感染.经过一段时间演化后，染病人数和需要入院隔离治疗的患者人数达到峰值.隔离患者峰值在某一时间接近总人群的三分之一，说明对于新发传染病，如果不加以干预的话将给医疗系统带来较大的冲击和压力，同时将影响入院患者的治愈率.当接种率处于较高水平时，感染人数及隔离人数和死亡人数相应将减少，可以明显减缓峰值到达的时间，医疗挤兑的情况将得到缓解.当疫苗资源有限时，提高隔离率可以减缓疫情传播，降低患病入院峰值的到达时间.随着隔离率的增加，染病死亡人数呈现先增加后降低的变化趋势.

本文仅仅考虑了短期内疫苗完全保护下COVID-19的传播影响.随着该传染病的病毒不断变异，加上疫苗随着时间变化的保护效率降低，以及人们防护措施随着疫苗介入也可能发生改变等，可以对模型做进一步的改进，对于该新发传染病的传染规律这有待于进一步的研究.