徐乃楠

（1.吉林师范大学数学学院，吉林四平136000；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林长春130024）

俄罗斯联邦教育部2010年12月17日第1897 号部长令颁布了俄罗斯《联邦国家教育标准：基础普通教育》（5—9年级），这是一个包含俄罗斯初中各学科的统领性文件，在其基础上制定示范性教学大纲，有资质的教育机构也可以根据不同类型的初中学校制定不同的教学大纲，数学教科书则是基于教育标准和示范性教学大纲进行编写的。本文将介绍俄罗斯初中数学教育标准、示范性教学大纲的基本情况，以期对我国初中阶段数学课程与教学改革带来有益的启示。

一、俄罗斯初中数学教育标准简介

俄罗斯《联邦国家教育标准：基础普通教育》（5—9年级）文件，主要包括“总则、对基础普通教育教学大纲掌握结果的要求、基础普通教育教学大纲的结构要求、基础普通教育教学大纲实施条件的要求”四个部分内容、共计26条款。[1]

1.“总则”部分共有七个条款，分别给出了教育标准的地位、性质、结构、学业年限等方面的界定，制定标准的依据、宗旨、方法、定位和基础性作用。

2.“对基础普通教育教学大纲掌握结果的要求部分”共有五个条款，规定标准对学生完成基础普通教育教学大纲的结果掌握要求，包括个人结果、跨学科结果和学科结果三个方面，并分别界定了三类结果应该达到的程度和水平描述，指出学科和跨学科结果，是对学生掌握基础普通教育教学大纲的最终评价目标，个人成就结果包括学生的价值取向和个性特征这些以及其他个人成绩的总体评价，应在各种监测研究的过程中进行。

这里以学科要求为例，标准要求学习《数学与信息学》学科领域应保证：认识到数学与信息学在人类日常生活中的重要性；形成数学科学发展过程中的社会、文化和历史因素的观念；理解现代社会中信息流程的作用；形成对数学的认识，数学是全人类文明的一部分，是描述和研究实际过程及现象的科学通用语言。要在《数学与信息学》学科领域学习成果中，使学生形成逻辑思维和数学思维，并对数学模型有认识；掌握数学推理，学会运用数学知识解决各种问题和评价获得的成果；掌握解决教学问题的技巧；发展数学直觉；获得在实际情况下主要信息流程的认识。

《数学与信息学》领域的学科学习成果应反映为“数学、代数、几何、信息学”的如下方面：（1）关于数学思维的形成，数学是描述和研究实际过程与现象、认知现实的一种方法；（2）发展使用数学教学文本工作的能力（分折、提取必要信息），能运用数学术语和符号准确并有条理地表达自己的观点、进行分类、逻辑论证和数学陈述证明；（3）发展关于数和从自然数到实数系的认识，掌握口算、笔算和工具计算的技能；（4）掌握代数符号语言，进行表达式恒等变换，掌握求解方程、方程式组、不等式和不等式组的方法；能用代数语言模拟现实情况，运用代数工具研究建立模型，解释获得的结果；（5）掌握函数概念体系，发展利用函数图像表示、解决各种数学问题，描述、分析实际依存关系的能力；（6）掌握几何语言，发展运用几何语言描述周围世界物体的能力，发展空间观念、形象能力和几何作图技能；（7）形成关于平面图形及其性质的系统性知识，形成对简单空间物体的认识；发展运用几何语言对现实情况进行建模的能力，发展运用几何概念和定理、代数工具研究建立模型，发展解决几何和实际问题的能力；（8）掌握呈现和分析统计数据的简单方法，形成现实世界中的统计规律及其研究的不同方法，简单概率模型的认识，发展从表格、图表、图形中获取信息的能力，发展借助适当的统计特征描述和分析数据的能力，发展在决策时运用周围现象概率性质的观念；（9）发展能够运用所学习的概念、结果、方法去解决具体问题及相关学科问题的能力，必要时使用参考资料、计算机，并在实际计算中运用估计和粗略计算的能力；（10）形成信息和算法文化，形成计算机是处理信息的通用设备的思想，发展运用计算机设备的基本技能和能力；（11）形成对主要研究概念的思想：信息、算法、模型及其属性；（12）发展现代社会职业活动所必需的算法思维；发展具体执行者撰写和编写算法的能力，形成关于算法构造、逻辑值和运算的知识，熟悉一种程序设计语言和基本算法结构——线性结构、条件结构和循环结构；（13）形成信息的形式化和结构化的能力，能够使用适当的数据处理软件，能根据提供的问题选择呈现数据的方法——表格、图像、图形、图表；（14）形成使用计算机程序和在Internet上工作的技能及安全行为能力，以及遵守信息道德和法律的能力。

3.“基础普通教育教学大纲的结构要求”部分共有6 个条款，包括对教学大纲的界定，教学大纲的必修（70%）和选修（30%）比例，教学大纲的结构（目的、内容、组织），并对目的、内容和组织各个部分做出了具体的要求。

4.“基础普通教育教学大纲实施条件的要求”共有8 个条款，包括教学大纲实施条件的要求，包括人员、财力、物质技术等条件，也包括教育环境、教育关系参与者、实施的人员、财政经济条件、物质技术条件、心理教育条件、现代化信息和方法条件等。

二、俄罗斯初中数学示范性教学大纲简介

俄罗斯的教育标准只是宏观要求，在教育标准统领下还给出更具可操作性的示范性教学大纲，初中各科示范性大纲都在一起，由俄罗斯教育战略研究院制定。俄罗斯教育学院通讯院士康达尤夫（А. М. Кондаков）和教育学院院士凯齐纳（Л.П.Кезина）担任科学顾问，起草人为萨维诺夫（Е. С. Савинов），俄罗斯“教育出版社”2011年出版，主要包括目标、内容、组织三大部分，总计342页。[2]

本文选取了编辑部主任林雅娜雅（Л. И.Льняная）、编辑埃夫斯蒂格涅娃（Н. В.Евстигнеева）、艺术编辑伊万诺夫（А.Г.Иванов）等人主编的单行本《初中示范性教学大纲：数学（5－9年级）》，内容也是上述总体示范性大纲的一部分，也由“教育出版社”2011年出版，总计64页，包括学科总体特征、学科内容的价值目标、学科学习要达到的结果、教学计划中学科的地位、基础普通教育的学科内容、示范性课程计划、强化学习过程的建议七部分内容。[3]

1.“学科总体特征”部分，强调学校所有阶段数学教育是基础教育必需的和不可分割的一部分。初中数学教学要达到个人、跨学科和学科三个发展方向的目的。指出初中数学教育内容包括“算术、代数、函数、概率和统计学、几何”，以及“逻辑学与集合、数学发展史”两个补充内容，并对各部分内容进行了描述性定位。

2.“学科内容的价值目标”部分，强调数学教育无论在社会实践还是在社会精神生活上都扮演着重要的角色。没有基础数学的培训就不能成为一名受过教育的现代人。数学教学可以培养学生严谨、简练和含有信息的语言，会选择最适当的语言方法。数学教育在人类整个文明发展中做出了自己的贡献。学习数学有助于培养人的审美观、了解数学推理的美和优雅、理解几何图形、掌握对称思想等。

3.“学科学习要达到的结果”部分，分个人结果、跨学科结果和学科结果三个方面给出描述性要求。例如个人结果方面要求学生能清晰、准确、规范地口头和笔头表达自己的想法，理解所提问题的意思，建立论据，举出例子和反例；思维的鉴别能力，能够辨别逻辑错误的命题，能区分假设和事实；形成人类活动领域数学科学的认识，数学科学发展阶段及其对文明发展意义的认识；解决数学问题时思维创造性、主动性、灵敏性、积极性；能检验数学教学活动的过程和结果；感知数学对象、问题、结论、推论的能力。

4.“教学计划中学科的地位”部分，规定初中每年教学期间一周为5 学时，总计875 学时。在基础教学计划调整部分的总数内，学时可增至一周6学时或更多。5－6年级学习《数学》课程（一体化课程），包括算术内容、代数和几何基础，以及概率统计基础。7－9年级同时学习《代数》和《几何》课程，包括5－6年级数系发展的一些算术问题，特别还包括代数内容、基本函数、概率统计基础。在《几何》学科框架下学习传统的欧几里得几何、向量代数基础、几何变换。基本教学时间分配如下：

教学时间分配表

5.“基础普通教育的学科内容”部分，给出了算术（240 学时）、代数（200 学时）、函数（65 学时）、概率统计（50 学时）、几何（255 学时）、逻辑学与集合（10 学时）、数学发展史等模块的具体知识点要求和学时数，数学发展史没有具体学时要求，建议根据其他问题学习程度列入到章节内容。另外给出55个预留学时。

知识点要求上以“函数”部分为例，要求学习“基本概念”：数量之间的关系、用公式描述关系、函数概念、定义域和值域、函数表示方法、函数图像、函数性质及其在图像上的描述、反映真实过程依赖关系的图像示例。“数值函数”：正比例函数和反比例函数、它们的图像及其性质，线性函数、它的图像及其性质，二次函数、它的图像及其性质，指数是自然数2和3的幂函数、它们的图像及其性质，函数，，的图像。“数列”：数列定义、数列递推公式和第项公式的问题。算术级数和几何级数、算术级数和几何级数的第项公式及前项和、用平面坐标点描述算术级数和几何级数的项、线性增长和指数增长、复利。

6.“示范性课程计划”部分，按5－6年级和7－9年级分别给出两种方案：第一套方案是按照基础教育机构的基础教学计划设计中指定的学时数而制定的。在示范性课程计划里给出每一块内容学习所需的最少学时，同时也预留出一些学时。第二套示范性课程计划是供学校用的，致力于提高学生的数学素养水平。示范性课程计划中的补充内容是用方括号给出的。这些问题具有介绍性的特点，在编制教学大纲时可以完全或部分地进行使用。在示范性课程计划第二套方案中，每周学习数学的时间不少于6 小时，示范性课程计划中列出的教学时间是在最少范围内给定的（按一周6小时计算）。

7.“强化学习过程的建议”部分，指出数学示范性大纲最后对学习过程中的参考书、学习工具、实验设备等给出了合理化建议，并给出达到正常教学最低限度配置的一般性说明。例如，藏书量，各年级的教科书，教学方法，各类参考书以及教师参考书，信息化方法，电脑、屏幕和互动黑板等学习工具，制图工具、面积体积演示仪等实践工具和方法。

三、俄罗斯初中数学课程改革的启示

俄罗斯初中数学课程无论是教育标准还是示范性大纲，总体上是对小学数学课程的内容延续与提升拓展，但课程门类更为丰富、课程难度更为艰深，对我国初中数学课程的改革有一定的启示意义。

一是合理设置学段学习与教学内容，科学处理分科课程与综合课程。从学制学段上看，各个国家、地区中小学学制学段多样并存，学业年限也不尽相同。[4]26-27总体上各个国家、地区中小学学制以六三三学制为主，这也与20 世纪以来美国六三三学制的巨大影响有关。但随着中小学学龄儿童生活环境和文化条件的改善，中小学生的生理、心理发展水平都有所提前的趋势，目前，美国的很多州也逐渐开始施行五三四学制。有的国家和地区开始缩短小学学业年限，例如俄罗斯和德国的小学只有4年，法国小学只有5年。俄罗斯中小学学制总体上是11年，前9年为义务教育，1—4年级是小学阶段，也称初等普通教育；5—9年级是不完全中等教育阶段，也称为基础普通教育；10—11年级相当于我国的高中阶段。初中的（5—9年级）数学示范性大纲中还是分成5—6和7—9年级两个学段分别给出课时计划和内容说明。5—6年级学习《数学》课程（一体化课程），7—9年同时学习《代数》和《几何》课程，分别给出了两套示范性课程计划方案。5—6年级的数学教科书也不分科编排，仍然与小学阶段综合性课程名称一致，就叫《数学》，而7—9年级分为《代数》和《几何》两个科目编排和学习。

二是课程内容的设置具有较大的广度，课程内容的深度与难度也较高。俄罗斯初中数学课程覆盖了算术、代数、函数、概率和统计学、几何内容。算术内容不仅要培养初中阶段与有理数和无理数密切相关的数观念，形成实数的基本认识，系统完成数的主线学习（实数和复数系统化知识），甚至还要完成更加复杂的算术问题（例如欧几里得算法，算术基本定理），为将来高中教育阶段的学习打好基础。代数内容则强调数学作为构建现实世界过程和现象数学模型语言的意义，特别是对掌握信息学课程和演绎推理技能所必须的算学思维发展已进入到代数研究问题。函数内容则致力于让学生获得作为描述和研究各种过程最重要数学模型的函数具体知识。统计学和概率的学习则为了拓宽世界现代描述和研究方法的认识，形成统计学作为社会信息重要意义源泉这一角色的观点，并为学生形成概率思维打下基础。几何课程则通过对平面和空间几何图形性质系统地学习，发展学生空间想象力和逻辑思维。同样，俄罗斯初中数学课程还列入了逻辑学和集合、数学发展史两部分内容，这与课程标准预期实现提高学生整体智力水平和文化水平的目的密切相关。在学时数量要求更高的第二套课程计划方案中，难度较高的补充学习内容用方括号给出供学校选用，致力于提高学生的数学素养水平。

三是构建了多样化的成就评价体系，注重学生通用学习能力的培养。俄罗斯初中教育标准延续了小学学业要求的基本框架，在毕业要求成就评价部分给出了个人、学科和跨学科三个方面的要求。个人要求方面包括学生自我发展和个人自主决定的意愿和能力，学习动机和有目的认知活动的形成，重要的社会和人际关系体系，反映活动中个人和公民态度的价值意义目标、社会能力、法制观念，设定目标和建立生活计划的能力，在多元文化社会中意识到俄罗斯同一性的能力。学科要求方面，包括学生在学科学习过程中掌握该学科领域的特定技能，在学科范围内获取新知识的活动能力，及其在教学、教学设计和社会情况下的转化和应用，科学思维的形成，有关主要理论、关系类型与形式的科学观念，掌握科学术语、主要概念、方法和技术。跨学科要求方面，包括学生掌握跨学科概念和通用的学习能力（调控性的、认知性的、沟通性的），在教学、认知和社会实践中运用它们的能力，教学活动的计划与实施的独立性，以及与教师和同伴进行教育合作的组织能力，建立个人的教育轨迹。

总之，俄罗斯作为世界一流数学强国，曾经培养出一大批世界顶级数学家，菲尔兹和沃尔夫奖榜单上也不乏俄裔身影，一系列经典数学教材在世界范围内广为流传，俄罗斯的数学教育改革与发展，对世界各国尤其是社会主义国家影响深远。[5]325-326作为教育传统相近的国家，我们要密切关注俄罗斯数学教育改革的进展，为我国基础教育数学课程改革提供有益的借鉴。