冯青松，戴承欣，郭文杰，付景文，杨 舟

（华东交通大学 铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，江西 南昌 330013）

随着我国地铁建设的蓬勃发展，新建地铁线路不可避免地会下穿地表建筑［1］，为减弱地铁运营过程中引起的环境振动对地表建筑及居民生活造成的不良影响，很多城市会在一些振动敏感地段铺设钢弹簧浮置板轨道。图1为地铁钢弹簧浮置板轨道结构示意图，图中的“特征周期”为1 块浮置板长度范围内的轨道结构。由图1可见，钢弹簧浮置板轨道沿线路方向呈现明显的周期性，故具有带隙特性。在带隙的频率范围内，弹性波无法沿结构传播，从而使结构的振动明显衰减。因此，研究周期性钢弹簧浮置板轨道的带隙特性，了解其内弹性波的传播机理，对实现轨道结构的精细化减振具有重要的工程意义。

图1 钢弹簧浮置板轨道结构

关于周期性轨道结构，国内外学者很早就开展了相关研究。Grassie 等［2］将铁路轨道结构考虑为周期离散支撑的梁，通过构建其广义状态矩阵，得到了轨道结构的导纳函数。Nordborg等［3］通过分析周期支撑钢轨的动力响应，发现“pinned-pinned”振动频率的弹性波在钢轨中的传播不受抑制，且在较宽的振动衰减区内钢轨的声辐射处于极低水平。Thompson［4］针对周期性轨道结构，分析了其垂向导纳和振动衰减率特性，并发现在与钢轨波磨密切相关［5］的“pinned-pinned”频率附近存在抑制弹性波传播的禁带。Sheng 等［6−8］提出用多梁模型或2.5 维波数有限元模型来求解周期支撑结构在谐荷载下的动力响应，并将该方法推广到传统有砟轨道中和板式无砟轨道中，得到了有砟轨道的振动传播常数以及无砟轨道的振动和声辐射特性。Wang 等［9−10］基于传递矩阵法和Bloch 理论求出了周期轨道结构的带隙，发现布拉格带隙和局部共振带隙在周期轨道结构中共存，并以我国高速铁路CRTS I 型双块式无砟轨道结构为研究对象，得到其频散曲线。刘维宁等［11］将浮置板轨道简化成周期性双层欧拉梁模型，并基于广义波数法求出了固定谐荷载下轨道结构的动力响应。易强等［12］结合传递矩阵法与Bloch 定理计算出了有砟轨道的带隙，同时采用波叠加和功率流法分析了轨道结构的动力响应及轨道内弹性波的传播特性。

然而，现有关于周期轨道结构研究主要集中在有砟轨道和高速铁路无砟轨道领域，鲜有涉及城市轨道交通领域，尤其是地铁钢弹簧浮置板轨道。同时，现有研究中关于钢弹簧浮置板轨道结构的模型相对简化，通常是将其处理为梁-质量块模型［13］、梁-梁模型［9，14］或梁-薄板模型［15］，若直接采用上述模型可能无法准确反映出浮置板轨道的带隙特性。

目前常采用的周期结构带隙计算方法是有限元法、传递矩阵法和平面波展开法。有限元法［16］通用性最高，但往往计算量大、耗时长，且不能进行机理分析；传递矩阵法［9−10，17］适用于求解简单1 维结构带隙，但无法对板这类二维结构进行建模；平面波展开法［18−19］适用于处理规则结构，但难以处理梁板耦合结构及板的边界问题。此外，由于后2 种方法需要直接求解振动微分方程组，使得求解过程复杂，因而适用性不高。

本文以我国城市轨道交通中常用的钢弹簧浮置板轨道结构为研究对象，基于能量变分原理求解其垂向振动带隙，并采用有限元法验证解析解的准确性。在此基础上，分析钢弹簧浮置板轨道各带隙的形成机理，研究轨道结构刚度对带隙的影响，并简要说明带隙理论在轨道结构精细化减振领域的应用思路。

1 基于能量变分原理求解钢弹簧浮置板轨道带隙

传统的带隙求解理论方法，如平面波展开法和传递矩阵法，在求解周期结构带隙时主要是直接针对结构的振动微分方程组进行求解，对于多层组合或边界条件复杂的结构，其微分方程的数量多，直接求解难度较大。能量变分原理具有将求微分方程边值问题转化为求泛函极值问题的优势，适用于求解多层组合或边界条件复杂的结构的带隙问题。

基于能量变分原理求解钢弹簧浮置板轨道带隙的思路为：首先构建结构各组分的能量方程并求和得到结构的总能量方程，然后对总能量方程进行变分运算得到轨道结构振动的特征方程，最后对特征方程进行扫描波数求解获得带隙。

根据钢弹簧浮置板轨道的结构特征，建立1 个特征周期的钢弹簧浮置板轨道垂向振动分析模型，如图2所示。图中：d为浮置板长度；b为1/2浮置板宽；dg为板缝宽度；dr为扣件间距，且dr=（d+dg）/6；d+dg为特征周期长；yr和ys分别为钢轨和钢弹簧隔振器到浮置板外侧自由边界的距离；ORxR为1维的钢轨坐标系；xOy为2维的浮置板坐标系。

图2 周期性钢弹簧浮置板轨道垂向振动分析模型

分析中，将钢轨视为铁木辛柯梁，浮置板视为明德林中厚板，扣件与钢弹簧隔振器均视为垂向支撑弹簧。已有研究结果显示［20］，阻尼对轨道结构带隙频率影响不大，故本文不考虑阻尼的影响。

1.1 钢弹簧浮置板轨道结构总能量

1.1.1 钢轨能量

钢轨能量包含弹性势能和动能。分析轨道结构的垂向振动时，钢轨位移只需考虑垂向位移和截面转角位移。依据Bloch 理论和平面波级数[21]将钢轨位移展开为

其中，

C1=(z−a z−a+1…z0…za−1za)T

C2=(θ−a θ−a+1…θ0…θa−1θa)T

式中：zR(xR)和θR(xR)（下文简写为zR和θR）分别为钢轨的垂向位移和截面转角位移；a为平面波级数截断项数，本文取a=20；k为波数；xR为钢轨的横坐标；ψ(xR)为关于xR的试函数行向量；zu和θu均为未知系数。

根据铁木辛柯梁理论［26］，可得到钢轨弹性势能UR为

式中：ER，IR，κR，GR和AR分别为钢轨的弹性模量、截面惯性矩、截面剪切系数、剪切模量和截面积。

将式（1）和式（2）代入式（3）得

其中，

C=(C1C2)T

式中：KR为钢轨的刚度矩阵。

钢轨动能VR可表示为

式中：ω为轨道结构特征圆频率；ρR为钢轨的密度；MR为钢轨的质量矩阵。

1.1.2 浮置板能量

浮置板能量包含弹性势能和动能。分析浮置板的垂向振动特性时，需要考虑剪切变形和转动惯量的影响。考虑垂向位移、x和y方向的转角位移，采用改进傅里叶级数[22]分别将其表示为

其中，

式中：zS（x，y），θSx（x，y）和θSy（x，y）（下文简写为zS，θSx和θSy）分别为浮置板的垂向位移以及浮置板在x方向和y方向的转角；Rpj，Spj和Tpj均为未知系数；φ（x，y）为浮置板位移的试函数行向量；ξp（x）和ζj（y）为具有任意性的改进傅里叶级数；P和J分别为x和y方向的改进傅里叶级数截断项数，本文取P=J=14。

根据明德林板理论［27］，浮置板的弹性势能Us和动能Vs分别表示为

其中，

本文模型中，浮置板存在对称边界和自由边界2 种边界。根据谱几何法[23−25]，需用人工弹簧模拟浮置板的边界条件。在图2的xOy坐标系中，y=b是浮置板的对称边界，此处的角位移θSy=0而垂向线位移自由，故取转角弹簧刚度kθSy=∞N·rad−1和平动弹簧刚度kSz=0 N·m−2；而浮置板的其他3 个侧面为自由边界，故取kθSy=0 N·rad−1和kSz=0 N·m−2。

因此，浮置板的边界势能UB可表示为

式中：kθSy为均布转角弹簧刚度；KB为边界弹簧刚度矩阵。

1.1.3 扣件弹性势能

扣件变形量等于钢轨与浮置板垂向位移之差

扣件的弹性势能UF为

其中，

P=（C1C2R S T）T

式中：O1是（2a+1）维元素为零的行向量；O2是PJ维元素为零的行向量；kF是扣件的垂向刚度；f1是1个计算周期内扣件的个数；KF是扣件系统的刚度矩阵。

1.1.4 钢弹簧隔振器弹性势能

钢弹簧隔振器的弹性势能Uss可表示为

式中：kss为钢弹簧支撑刚度；f2为1 个特征周期内钢弹簧的个数；Kss为钢弹簧刚度矩阵。

1.1.5 结构总能量

钢弹簧浮置板轨道结构的总能量Π等于其总弹性势能与总动能之差，即

1.2 钢弹簧浮置板轨道结构特征方程和带隙求解

依据Hamilton 原理，对总能量Π进行1 次变分［28］得到变分方程δΠ，然后对总能量Π求极值有

联立式（15）和式（16），得到钢弹簧浮置板轨道结构特征方程

式中：Ktot和Mtot分别是轨道结构的总刚度矩阵和总质量矩阵；O3是（4a+2+3PJ）×1的零矩阵。

通过对总能量泛函求极值，轨道结构垂向振动问题的求解被转化成了其特征频率的求解。然后，在第一Brillioun 区范围内，对式（17）进行扫描波数求解即可得到周期钢弹簧浮置板轨道的频散曲线，进而得到带隙。

2 有限元验证

运用多物理场耦合分析软件COMSOL Multi⁃physics 建立周期性钢弹簧浮置板轨道的有限元模型。由于轨道结构具有对称性，取一半结构进行建模：钢轨和浮置板均为实体单元，扣件和钢弹簧隔振器分别采用弹性薄层单元和弹簧基础单元模拟；浮置板的内侧设置为对称边界，其余各边均为自由边界，钢轨2 端设置为Floquet 周期边界；单元类型设置为Langrage-Quadrastic；如图3所示，选用固体力学模块进行求解。

图3 周期性钢弹簧浮置板轨道有限元模型

浮置板选用我国城市轨道交通常用的预制3.6 m 短板，其板长3.57 m，宽3 m，厚0.3 m，板缝0.03 m。其他相关轨道参数［14］见表1。

表1 预制3.6 m短板浮置板轨道计算参数

为便于绘图，此处引入简约波矢α，其与波矢k之间的关系为α=k（d+dg）/π。对于钢弹簧浮置板轨道这种1 维周期性结构，在第一Brillioun 区内，波矢kϵ［−π/（d+dg），π/（d+dg）］［19］，故α∈［−1，1］。这样，可得到关于频率与简约波矢α的频散关系。此外，现有研究表明［7，9−10］，轨道结构中1 000 Hz 以上的垂向振动带隙均是钢轨“pinned-pinned”振动模式所引起，为简化分析过程，本文只研究至第1阶“pinned-pinned”频率（本文为1 082.0 Hz）处的带隙，因此分析了0～1 200 Hz 范围内带隙。为适当减少带隙数量以降低分析的工作量，本文忽略了带宽不足5 Hz 且相对带宽（相对带宽=带宽/带宽中心频率×100%）不足5%的带隙。

图4和图5分别为解析方法和有限元方法求得的轨道结构低频带隙图和高频带隙图，图中灰色部分为带隙。由图可知：解析解和有限元解均表明在0～1 200 Hz 范围内周期钢弹簧浮置板轨道结构共存在5 条垂向振动带隙。将二者带隙频率计算结果列表对比，见表2。

图4 低频带隙对比

图5 高频带隙对比

表2 0～1 200 Hz范围内各垂向振动带隙频率对比

由图4、图5和表2可知：解析解与有限元解吻合程度较高，带隙图以及各阶带隙的频率位置也基本一致，从而证明了解析方法的正确性；在0～1 200 Hz 范围内，铁木辛柯梁-明德林板耦合模型可准确地反映周期钢弹簧浮置板轨道的垂向振动带隙特性。

在配置为i5-10400CPU/16G 运存/2.9 GHz 主频的计算机上，有限元仿真的计算时间为1 287 s，而解析求解仅需6 s，计算效率是前者的215 倍。因此，本文解析方法不仅精确，而且计算效率高，有利于进行参数化分析。

3 带隙形成机理

由上述研究可知，在0～1 200 Hz 范围内，周期性钢弹簧浮置板轨道共存在5 条垂向振动带隙，但尚不清楚其形成机理。为深入了解钢弹簧浮置板轨道结构中弹性波的传播特性，本节将从机理上对各带隙形成机理进行分析。

轨道结构局域共振带隙的形成主要受到特征周期内轨道结构自振特性和钢轨中弯曲波相互作用的影响。根据浮置板轨道的结构特性，其局域共振带隙起始和截止频率可分别采用“弹簧-质量-弹簧-质量”模型和“质量-弹簧-质量-弹簧”模型［9，17，29−30］来估算，如图6所示。

图6 钢弹簧浮置板轨道局域共振带隙估算模型

由图6可推出局域共振带隙的起始频率fl1，fl2和截止频率fu1，fu2分别为［30］

其中，

式中：ktF和ktss分别是1个特征周期内扣件和钢弹簧的总支撑刚度；mR和mS分别是1 个特征周期内钢轨和轨道板的质量；M为地基质量，取M=∞。

将表1中钢轨和浮置板的质量及扣件和钢弹簧的刚度代入式（18）—式（21），解得fl1=0 Hz，fl2=44.6 Hz，fu1=9.5 Hz，fu2=191.4 Hz，即局域共振带隙的估算结果为：0～9.5 Hz，44.6～191.4 Hz。该结果与解析解和有限元解的1 阶与3 阶带隙基本吻合，从而可以说明周期性钢弹簧浮置板轨道的1 阶和3 阶带隙为局域共振带隙，同时也从侧面验证了解析方法的准确性。

根据已有研究［9—10］，对于周期性钢弹簧浮置板轨道结构，在第1 阶局域共振带隙的起始频率处，钢轨和浮置板为静止状态，地基做方向向下的刚性运动，这表明0～9.5 Hz 范围内的弹性波无法沿钢轨纵向传播，而是沿着扣件-轨道板-钢弹簧直接向下传入地基中，从而引起周围土体振动，因此浮置板轨道难以隔离极低频率的弹性波；在第2 阶局域共振带隙的起始频率处，钢轨和地基为静止状态，轨道板做方向向下的刚性运动，这表明33.3～190.1 Hz 范围内的弹性波无法沿钢轨纵向传播，而是被限制在激振点附近的浮置板内，从而引起浮置板振动。

布拉格带隙一般位于轨道结构的n阶“pinnedpinned”频率处，且首阶“pinned-pinned”频率对应于首阶布拉格带隙的起始频率［9—10］。根据文献［7］，当钢轨中弯曲波的频率达到第1 阶“pinnedpinned”共振频率时，取1 跨钢轨研究，其振型为正对称形式，且在跨中的垂向位移最大，扣件连接处位移最小，如图7所示，图中实体部分为初始状态，虚线部分为振型。

图7 1跨钢轨第1阶“pinned-pinned”振型

对于有限长结构，其位移可用改进傅里叶级数构造，因此图7中钢轨的垂向位移和转角位移可写为

式中：R1和R2为待定系数且不同时为零。

结合钢轨的自由振动微分方程，则轨道结构“pinned-pinned”频率应满足

将钢轨和扣件参数带入式（24），解得第1 阶“pinned-pinned”频率为1 081.9 Hz。该值与5阶带隙的起始频率1 082 Hz基本一致，这表明周期性钢弹簧浮置板轨道的5 阶带隙是布拉格带隙。同时，从式（24）还可看出布拉格带隙起始频率仅与钢轨的物理特性和扣件间距有关。根据布拉格散射机理［31］，弹性波在最小周期处（扣件处）会发生反射，再和原来的波发生抵消，进而形成带隙。

2 阶和4 阶带隙则是由轨道结构的弹性运动产生。图8为2 阶带隙起始和截止频率处的钢弹簧浮置板轨道振型。由图可知：在2 阶带隙的起始和截止频率处，钢轨做弹性运动，浮置板做刚性运动，这意味着弹性波自钢轨传入浮置板后会引起浮置板做刚性运动，二者的联合运动会耗散弹性波大量的能量从而形成带隙。

图8 2阶带隙起始与截止频率所对应的振型

图9为4 阶带隙起始和截止频率处的钢弹簧浮置板轨道振型。由图可知：在4 阶带隙的起始和截止频率处，钢轨做弹性运动，浮置板也做弹性运动，这意味着弹性波自钢轨传入浮置板后会引起浮置板做弹性运动，二者的联合弹性运动会耗散弹性波大量的能量从而形成带隙。

图9 4阶带隙起始与截止频率所对应的振型

4 轨道结构刚度对带隙的影响

在实际工程中，轨道结构刚度是最容易调节的。因此，本节分别从扣件刚度和钢弹簧刚度2 方面考虑其对浮置板轨道垂向振动带隙的影响。

4.1 扣件刚度对带隙的影响

分别将扣件垂向静刚度设为30，40，50，60和70 MN·m−1，其余参数不变进行带隙求解，得到不同扣件刚度下浮置板轨道各阶带隙，如图10所示。当扣件刚度为50 MN·m−1时，浮置板的弹性运动会和结构的刚体运动发生耦合，从而在通带范围内产生1 条禁带，即4 阶带隙，而当扣件刚度处于其他范围时4阶带隙宽度不足5 Hz，即无明显的4 阶带隙，故下面就不绘制4 阶带隙频率随扣件刚度的变化图。

由图10可知：当扣件刚度为30～70 MN·m−1时，1 阶带隙不受扣件刚度变化的影响，2 阶和3 阶带隙的起、止频率均随扣件刚度的增加而增加，且截止频率增速更大，2阶带宽由4.7 Hz增至7.6 Hz，增幅64%，3 阶带宽由119.8 Hz 增至187.2 Hz，增幅56%；5 阶带隙的起始频率不受扣件刚度的影响，截止频率则增加明显，带宽由18 Hz 增至41 Hz，增大1.3 倍。综上，扣件刚度对2 阶带隙、3 阶带隙和4 阶带隙影响显著，且随着扣件刚度增大，其带宽与截止频率将明显增大。

图10 扣件刚度对带隙的影响

4.2 钢弹簧刚度对带隙的影响

将钢弹簧刚度分别设为3，4，5，6和7MN·m−1，得到不同钢弹簧刚度下浮置板轨道带隙，如图11所示。

图11 钢弹簧刚度对带隙的影响

由图11可知：当钢弹簧刚度为3～7 MN·m−1时，随着钢弹簧刚度的增加，1 阶带隙变化明显，其截止频率增长迅速，带宽由7.3 Hz 增至11.2 Hz，增幅53%；2阶带隙频率略往上移，但带宽总体上保持不变；3、4和5阶带隙基本不受钢弹簧刚度的影响。因此，钢弹簧刚度主要影响1 阶带隙，且随着钢弹簧刚度增大，其带宽与截止将明显增大。

5 带隙理论的工程应用

对铁路轨道这类层状结构，准确研判其内部弹性波传播的频率范围及传播路径是很重要的，这可为未来实现整体结构的精细化减振提供理论依据。因此，本节将钢弹簧浮置板轨道和普通整体道床轨道的带隙特性进行对比分析，以从带隙角度解释钢弹簧浮置板轨道的隔振性能，并简要说明带隙理论在轨道结构精细化减振领域的潜力。

在城市轨道交通中，整体道床通常是直接浇筑在隧道仰拱或高架桥面上，下部基础刚度很大，即普通整体道床轨道可简化为周期离散支撑钢轨［20］，其带隙如图12所示。

图12 普通整体道床轨道带隙

由图12可知：在0～1 200 Hz 范围内，普通整体道床轨道垂向振动仅有0～185.2 Hz和1 082.0～1 112.0 Hz 的2 条带隙，第1 阶为局域共振带隙，该带隙内弹性波无法沿轨道传播，并直接向下传入地基中，第2 阶为布拉格带隙，弹性波在最小周期边界处发生干涉相消。表3将普通整体道床和浮置板2种轨道结构垂向振动带隙对比结果见表3。

表3 0～1 200 Hz内2类轨道结构中弹性波传播情况

由表3可知：在低频带隙内，普通整体道床轨道中弹性波将全部传入下部基础，而浮置板轨道仅有很少一部分弹性波会传入地基，其余带隙内的弹性波将全部被限制在板内，这说明浮置板轨道隔振性能明显优于普通整体道床轨道。

通过上述分析，可针对性地对浮置板轨道结构中的弹性波进行控制：在1阶带隙范围内，弹性波主要传入地基土体中并引起环境振动，故应以0～9.5 Hz作为基准，在土体中增置排沟［32］、周期性隔振墙或排桩［33］进行治理；在2～4阶带隙范围内，弹性波主要传入浮置板中并引起浮置板振动，故可在板上分别设置中心频率为16.25，111.70和240.95 Hz的动力吸振器［34］以减小其振动；在通带范围内，弹性波主要在钢轨中传播并引起钢轨振动，故可以其他频率为基准设置吸振器并可在钢轨上附加阻尼，如设计为阻尼钢轨［35］减振。

6 结 论

（1）采用铁木辛柯梁-明德林板耦合模型，基于能量变分原理求解周期性钢弹簧浮置板轨道垂向振动带隙是准确可靠的，与有限元法相比，该方法计算效率更高。

（2）在0～1 200 Hz 范围内，周期性钢弹簧浮置板轨道结构中存在5 条带隙，其对应频率范围为0～9.5，13.1～19.4，33.3～190.1，231.8～250.1和1 082.0～1 112.0 Hz。其中：第1 和第3 阶为局域共振带隙；第5 阶为布拉格带隙；第2 阶和第4阶带隙是由轨道结构的弹性运动所引起。

（3）在1 阶带隙内，弹性波自钢轨直接传入地基中，且带隙宽度随钢弹簧刚度增大而增大；在2～4 阶带隙中，弹性波因局域共振和轨道的弹性运动而被限制在激振点附近的浮置板中，其带隙的频率位置及宽度主要受到扣件刚度影响；在5 阶带隙内，弹性波则因布拉格散射而被耗散了，带隙宽度与扣件刚度成正相关。

（4）本研究有助于准确掌握周期性钢弹簧轨道结构中弹性波传播的频率范围及路径，为将来实现整体结构的精细化减振提供必要的理论依据。针对1 阶带隙中的弹性波，宜以0～9.5 Hz 为基准设计减隔振基础；针对2～4 带隙中的弹性波，宜以设计中心频率为16.25，111.70 和240.95 Hz 的浮置板吸振器；其他频率段的弹性波可根据实际需求针对性设计钢轨吸振器。