李明阳,甄晓霞,陈 炜,张卓杰

(1.华南理工大学土木与交通学院,广州 510640； 2.石家庄铁道大学省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点试验室,石家庄 050043)

引言

斜拉索是大跨度斜拉桥重要的结构构件，由于阻尼小、柔度大的特点，单根拉索在风力作用或交通荷载的激励下容易产生较大振动，如果拉索振动得不到有效消除和控制，易造成拉索疲劳或套管保护层损坏，甚至桥梁的破坏[1-2]。为有效控制拉索振动，可把多根斜拉索用辅助索连接起来组成多层索网系统，从而形成一个协同工作的系统，如图1所示。

图1 带有辅助索的斜拉索

对于索网系统，DELLA C N和SHU D等[3-4]通过建立截面单元的振动方程，求解了局部分层梁自由振动频率的解析解；CARACOGLIA L[5-6]对耦合连接的双层及多层索网进行了初步的自振特性分析，并借助Fred Hartman Bridge进行实测验证；AHMAD J[7-9]对耦合连接的索网系统自振特性进行了进一步研究，提出通过局部模态化程度和局部模态集群两个指标来评价局部模态的好坏。国内对于多层索网系统的振动特性研究多基于有限元方法[10-14]及试验方法[15-16]开展；解析方法主要应用于双层索网系统，周海俊等[17]推导得出了辅助索接地的简化索网—阻尼器系统的复特征值方程，并由此求得阻尼和频率的数值解；陈炜等[18]通过解析法、有限元模拟及试验验证的方法，分析了抗弯刚度对耦合吊索自振特性的影响；宋相坐[19]对接桥面辅助索-索网结构的微幅振动展开了理论与试验研究；姚国灶[20]和周现宝[21]研究了形状记忆合金辅助索—拉索系统的振动特性；ZHOU H J[22]提出了一个由2根平行的拉索和一个相互连接的阻尼器组成的系统，以减轻拉索的振动。但研究均局限于双层索网系统，有必要结合实际工程情况开展斜拉索-辅助索多层索网系统振动特性的解析方法研究，并使用数值模拟方法和试验方法进行验证，深入研究不同辅助索设计方案对索网系统面内自由振动特性的影响，为辅助索减振机理分析、索网系统参数优化提供理论依据。

1 索网系统的振动方程及求解

1.1 索网系统分析模型

如图2所示，由n根独立锚固的不等长水平拉索组成的索网系统，最长拉索的长度为L1，往下拉索长度依次为L2～Ln，各拉索索力分别为T1～Tn，拉索端部看作是固结。拉索之间用竖直的具有一定刚度的轻质弹簧进行连接，弹簧将各根拉索分为m个子系统，各子系统的长度分别为li，j(i为拉索号，j为子系统号)，分别以各子系统的左端为原点建立坐标系。

图2 索网系统

1.2 特征方程推导

单根拉索在拉力作用下的横向振动微分方程为[23]

(1)

式中，v(x，t)为拉索横向位移；x为沿拉索轴线坐标；t为振动时间；T为拉索拉力；m为拉索单位长度质量。

式(1)可采用分离变量法求解，设方程解的形式为

v(x，t)=φ(x)q(t)

(2)

式中，φ(x)为关于x的函数；q(t)为关于t的函数，将式(2)代入式(1)，两边同除mφ(x)q(t)，得

(3)

对式(3)进行分离变量后可转换成以下方程

Tφ″(x)+mω2φ(x)=0

(4)

(5)

式(4)、式(5)为二阶齐次线性常微分方程，式(4)的解为

φ(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)

(6)

其中

(7)

式(5)的解为

q(t)=Ccos(ωt)+Dsin(ωt)

(8)

对式(6)进行无量纲化得

(9)

其中

(10)

对式(8)进行无量纲化得

(11)

故得

(12)

对于索网系统，各拉索子系统振动方程的解形式如下

(13)

式中，i为拉索号，取值1～n；j为子系统号，取值1～m。

由于各拉索通过耦合形成整体，故各拉索的振动频率相等，即

(14)

因此，只需求解各拉索的振型方程即可，则

(15)

1.3 特征方程求解

式(15)为含有2nm个待定系数的联立方程组，其解可通过边界条件、连续性要求及竖向力平衡要求确定。

①边界条件

由于拉索两端固结，拉索端部的位移为零，即

(16)

共有2n个方程。

②连续性要求1

同一拉索在耦合处的位移相等，即

(17)

共有n(m-1)个方程。

③连续性要求2

同一横向连接相邻拉索位移条件为

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(18)

若耦合刚度为无穷大时，式(18)变为

(19)

共有(n-1)(m-1)个方程。

④竖向力平衡要求

拉索在耦合处的竖向分力应满足平衡要求，即

(r=1，2，…，n-1；s=1，2，…，m-1)

(20)

共有(m-1)个方程。

⑤由上述可得2nm个方程

将以上方程写成矩阵形式

KX=0

(21)

K为2nm×2nm的系数矩阵，X为2nm×1的待定系数列向量。其中

若式(21)有解，则系数矩阵行列式为零，即系统的特征方程为

det(K)=0

(22)

2 公式验证

2.1 试验方法

为进一步验证理论分析的正确性，通过现场试验进行验证，试验拉索长3.37 m，横截面积1.39×10-4m2，钢绞线线密度1.12 kg/m。

图3为现场试验装置全景，钢绞线锚固在自制的受力架上，由于锚头的作用，拉索端部可视为固结。钢绞线拉力由油压千斤顶施加后，再通过旋转钢绞线右侧的螺母对拉力值进行细调，使拉力达到设计值。拉力值读数可通过钢绞线左侧的压力传感器测得，并由连接着压力传感器的静态应变测试系统读出。压力传感器如图4(a)所示，压力传感器受力与静态应变测试系统读数的关系在试验前通过压力试验机进行标定。在距离钢绞线左端L/10，9L/10处用刚度为107N/m的索夹将钢绞线进行连接，索夹刚度在试验前通过压力试验机测出，如图4(b)所示。

图3 现场试验装置

张拉完成后，在每根钢绞线上布置加速度传感器，用于测量各根钢绞线的自振频率，如图4(c)所示，并通过连接着加速度传感器的动态应变仪进行转换后，由电脑上动态应变测试系统显示的频谱图读取，读取的前5阶自振频率如图5所示。

图4 试验仪器布置

图5 双层索网双索夹系统频谱(k=107 N/m)

2.2 对比验证

为对比本文提出的解析方法、试验数据及有限元软件ANSYS分析结果，建立与试验中索网系统对应的分析模型，如图6所示。

图6 双层索网双辅助索系统

拉索参数同试验数据。假定拉索间完全黏结，拉索可看作是完整性良好的柔性弦，拉索索力T和频率f之间的关系可以表示为

T=4mL2f2

(23)

式中，m为拉索的线密度。

本文提出的解析方法、试验方法及有限元软件得出的索网前5阶自振频率如表1所示。其中，ANSYS有限元模型中拉索采用Link10单元模拟，拉索拉力以预拉力的方式施加，辅助索位置处的节点进行自由度耦合。ANSYS计算得到的系统前4阶振型如图7所示。

表1 双层索网双索夹系统自振频率实测值和计算值

图7 双层索网双辅助索系统前4阶振型

从表1和图7可以看出，对于等长钢绞线，当拉索拉力和拉索线密度均相同时，用解析方法与有限元方法求得的频率值相同；试验测得的2根拉索的各阶频率值均一致；测得的拉索前5阶自振频率与计算得到的前5阶自振频率误差满足精确度要求，由于试验索长较短，计算过程中未考虑拉索抗弯刚度，最大误差值略大。

由计算及实测结果可知，在索夹耦合作用下，索网系统的高阶频率与基频之比不再保持严格的整数倍关系；与完整性良好的单根拉索相比，索网系统在整数倍基频频率之间出现了非整数倍基频频率。

3 辅助索对多层索网系统自振特性的影响

以某斜拉桥的5根典型斜拉索作为分析对象，研究辅助索设置对索网系统面内自由振动特性的影响。各斜拉索的几何特征均取相同值，如表2所示，索的长度、张拉力及未施加辅助索时的基频如表3所示，且各拉索对称布置。

表2 斜拉索参数

表3 斜拉索长度、张拉力及单根拉索基频

3.1 辅助索刚度对斜拉索-单辅助索索网系统自振特性的影响

对于5层索网单辅助索系统，如图8所示，辅助索位于目标索L/2处时，使辅助索刚度分别为107，106，105，104N/m，得到索网系统前20阶频率f，如图9所示。

图8 5层索网单辅助索系统布置(辅助索位于目标索L/2处)

图9 前20阶自振频率随辅助索刚度变化曲线

当辅助索刚度为106N/m时，索网系统的基频为1.308 Hz，单根拉索单独振动频率不会随辅助索刚度的改变而发生变化，多根拉索局部振动频率相对于辅助索刚度为107N/m时有所减小。在前20阶振型中，第1阶和第11阶为整体振动的振型，多根拉索局部振动的振型相对于辅助索刚度为107N/m时前移至第2，3，5，7，12，13，15，18阶，其余阶次为单根拉索单独振动的振型。

同样的规律也发生在辅助索刚度为105N/m和104N/m上，当辅助索刚度分别为105N/m和104N/m时，整体振动频率和多根拉索局部振动频率随着辅助索刚度减小进一步减小，多根拉索局部振动的振型前移至第2，3，4，5，12，13，14，15阶，其余阶次为单根拉索单独振动的振型。

由此可见，对于索网系统单根拉索单独振动的频率不会发生变化，整体振动频率和多根拉索局部振动频率会随着辅助索刚度减小有所减小。因此，索网系统刚度随着辅助索刚度减小也相应减小；随着辅助索刚度减小，多根拉索局部振动的振型阶次前移。

3.2 辅助索位置对斜拉索-单辅助索索网系统自振特性的影响

对于5层索网单辅助索系统，辅助索刚度为107N/m时，如图8、图10所示，使辅助索位置分别位于距离目标索左端的L/2、2L/5、3L/10、L/5处，得到索网系统前20阶频率f，如图11所示。

图10 5层索网单辅助索系统布置(辅助索位于目标索左端nL/10处，n=2，3，4)

图11 前20阶自振频率随辅助索位置变化曲线

辅助索位于拉索L/2位置时，在整体振动振型之间除了出现多根拉索局部振动振型外，还会出现单根拉索单独振动振型。当辅助索位置分别位于目标索2L/5，3L/10和L/5处时，在前20阶振型中，第1，6，11，16阶为整体振动的振型，其余阶次均为局部振动的振型，但没有单根拉索单独振动的振型。

索网系统基频会随着辅助索位置往锚固点靠近而稍有减小，但其变化基本可以忽略不计。由图11可见，整体振动频率受位置的影响较小，各频率值较为接近，局部振动频率受到位置的影响会造成一定偏差。

索网系统的基频随着辅助索刚度的减小而减小，同时也随着辅助索位置往锚固点靠近而减小，辅助索刚度的影响较大，辅助索位置的影响较小，因此，拉索之间辅助索刚度应尽可能大，设置单根辅助索时，辅助索位置对基频的影响基本可忽略不计。

3.3 辅助索数量对斜拉索-多辅助索索网系统自振特性的影响

当辅助索刚度为107N/m时，对5层索网多辅助索系统分别设置2，3，4根辅助索，每两根辅助索间的距离为目标索的L/(n+1)，如图12所示，得到索网系统前20阶频率f，如图13所示。

图12 5层索网多辅助索系统布置

图13 前20阶自振频率随辅助索根数变化曲线

当辅助索根数为2时，第1阶和第2阶为整体振动的振型，前20阶其他振型为多根索局部振动振型，索网系统的基频为1.317 Hz，局部振动的最小频率为3.379 Hz；当辅助索根数为3时，第1到第3阶为整体振动的振型，前20阶其他振型为多根索局部振动振型；当辅助索根数为4时，第1到第4阶为整体振动的振型，前20阶其他振型为多根索局部振动振型，索网系统的基频为1.325 Hz，局部振动最小频率为5.223 Hz。

由此可见，对于5层索网多辅助索系统，随着辅助索根数增多，索网系统的基频越大，其刚度也相应越大；辅助索根数为n时，前n阶振型为整体振动振型，随着辅助索根数增多，局部振动的振型出现的越晚，出现局部振动的最小频率越大；辅助索根数增加与基频增大基本成线性关系。

4 结论

以多层不等长索网系统为研究对象，建立索网系统平衡方程，求解系统自振频率及振型，进行索网系统面内自由振动特性及参数敏感性研究，并使用数值模拟和试验方法对解析结果进行验证，研究结论如下。

(1)通过设置辅助索形成索网系统后，各根拉索的自振频率均相同，并且在整体振动的频率之间会出现局部振动或单根索单独振动的频率。

(2)对于多层不等长斜拉索索网系统，施加辅助索会使目标索的基频增大。若辅助索位于拉索中点位置，在整体振动振型之间除了出现多根拉索局部振动振型外，还会出现单根拉索单独振动振型，而辅助索位于其他位置时不会出现单根拉索单独振动振型。

(3)整体振动和多根拉索局部振动的频率随辅助索刚度减小而减小，单根索单独振动的频率不会随辅助索刚度的改变而发生变化，设置单根辅助索时其位置对索网系统基频的影响不明显。

(4)随着辅助索根数增多，索网系统的基频逐渐增大，局部振动的振型出现得越晚，出现局部振动的最小频率越大。