陈红霞

【摘   要】随着课程改革的深入，近年来小学数学拓展课学习材料的开发逐渐成为一线教师的关切点之一。教师在研发拓展课学习材料时需避免目标不清、难度太大、负担加重等问题。基于“IPS+”教材二次开发理念的拓展学材研发方式，可以成为一线教师进行相关内容研发时可借鉴的一般流程和具体实施路径。

【关键词】二次开发;学习材料;整合;拓展;结构化

随着课程改革的深入，基础课程的校本化实施和拓展开发已经成为当前课程建设的重要内容之一，小学数学课程的校本化实施需要教师对数学教材进行二次开发。为此，研究团队提出了基于“IPS+”理念的数学教材二次开发的基本原则。具体地说，“IPS+”就是从整合（Integrate）、拓展（Prolongate）和结构化（Structured）的视角对教材内容进行有益补充、优化重组，对知识脉络进行有益联结与适度延伸，对学习内容进行序列梳理和系统重构。

拓展课不是对教材外的学习内容进行简单叠加，而是要根据学情对基础课程进行有益的补充。教师在研发拓展课学习材料（以下简称“学材”）时需避免目标不清、难度过大、负担加重等问题。应基于“IPS+”理念开发拓展课学习材料并实施教学，找到教材二次开发的范式，以促进学生对小学数学核心知识的理解，帮助学生构建良好的数学认知结构。

一、探绎：基于“IPS+”的拓展学材研发内涵

基于“IPS+”理念对小学数学教材进行拓展开发时，要重点思考的是拓展目标和价值，也就是想清楚“为什么拓”，这是解决“从哪里开始拓”和“怎么拓”的最根本问题。基于“IPS+”的拓展学材研发，坚持以学情和补充基础课程为出发点，以提升学生素养为旨归，在小学数学核心知识中提炼问题，遵循学生需求梳理学习路径，设计学习任务。拓展学材的研发旨在促进学生对核心概念的理解和关键能力的发展。作为小学数学课程中处于基础和主干地位的核心知识，涵盖小学阶段学生必须掌握的数学概念、运算规律、数量关系、图形特征和计算公式及其所蕴含的核心操作技能、数学思想方法。

学材开发要关注知识的联通，促进学生的数学理解逐步走向深入。

（一）从“联”到“通”，让数学理解有路径

按部就班地照搬教材，必然造成学生知识理解的浅表化、知识结构的零碎化。拓展学材研发过程中对核心问题的提炼，可以联结断点、串起散点、把握要点，跨越教材中由于单元及课时划分造成的断层、因分散编排导致的关联弱化或隐藏，实现核心知识的本质勾连，帮助学生冲破割裂理解的藩篱，走向结构化理解。

（二）由“变”趋“深”，让数学理解更深远

统编教材的普适性无法满足各地差异化的学情，均匀用力的课时分布容易造成学生学得不深、学得不够。拓展学材研发中根据学生实际将学习材料结构化、系统化，可以让学生更好地聚焦核心问题展开探究学习。教师通过设计层层推进的挑战性任务，引导学生将疑点、难点在不断变式中逐一化解，让研究能力强的学生有迁移运用知识的空间，让学生的数学理解走向深远。

二、寻绎：基于“IPS+”的拓展学材研发路径

基于“IPS+”的拓展学材研发，通过三个阶段进行。

目标整合阶段（I阶段），教师既要对学生进行是否需要拓展和能拓到什么程度的评估，也要对教材进行核心知识的梳理和关键能力的对接，從而探明拓展起点，预设拓展终点，准确定位拓展目标。

学程拓展阶段（P阶段），教师既要根据价值评估确定核心问题，又要根据需求评估设定学习路径。研发准备阶段是研发过程的依据，研发评估又为研发过程提供改进依据。

结构施教阶段（S阶段），教师既要根据学习路径为学生设计学习任务，又要预设在教学实施过程中应如何进行合适学法的选择。

（一）拓展目标的确定：以生为本，以素养为基

基于“IPS+”的拓展学材研发，以学科素养目标为拓展目标。小学数学核心素养目标为“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”，其中“数学的眼光”侧重于数学抽象，指向学生需掌握数学的一般性特征;“数学的思维”侧重于逻辑推理，指向学生需掌握数学的严谨性特征;“数学的语言”侧重于数学模型，指向学生需掌握数学应用的广泛性特征。以这三个维度为导向，建构基于“IPS+”的小学数学拓展学材研发目标框架，将拓展目标与关键能力的培养目标一以贯之，使拓展学材真正为了学生，真正促进学生对基础课程的理解。

（二）核心问题的提炼：以拓为航，以教材为依

核心问题的确定在学材研发过程中非常关键，核心问题对学生知识的深度理解、能力的进阶发展有重要的促进作用。提炼核心问题可从以下三条路径入手。

1.立足疑难处，促进数学理解

可以立足于学生知识理解的疑难点提炼核心问题，以促进学生的数学理解。如，在教学“轴对称图形”时，可抓住“平行四边形是不是轴对称图形”（注：这里的平行四边形不包括长方形，下同）的疑难点，提炼出“能否改变平行四边形一个顶点的位置，把它变成轴对称图形”这一核心问题。

教师提问：平行四边形真的是轴对称图形吗？如果是，请找出这个平行四边形的对称轴，并进行对折验证。

（教师出示平行四边形。一生上去折，不能完全重合）

教师接着出示任务：你能改变平行四边形的其中一个点，让它变成轴对称图形吗？

平行四边形是不是轴对称图形，是学生学习“平行四边形图形特征”时典型的疑难点，把它作为拓展素材，让学生在“能否把平行四边形变成轴对称图形”这一核心问题中，主动尝试和辨析，并整理归纳出分别移动每个点的方法，促使学生修正原有经验，改变原有的错误认知，从任务的结果梳理和方法归纳中获得对图形特征的本质理解，实现对数学理解的深度拓展。

2.借助联系点，促发意义关联

从教材中处于前后发展联结处的知识点、相同知识体系中具有一致性的知识点或不同知识体系中可关联的知识点中找到可拓展的核心问题。例如集合和三角形分类本属于不同的知识领域，处在不同的单元内容中，但两者的本质是相互关联的。三角形的分类实际上就是根据边、角的特征让三角形形成不同的集合。故此可以通过这一联系点，用核心问题“能否把三角形请到集合圈内”（如图1），将两项内容进行整合。学生会在辨析中厘清三角形边和角的特征，并感受分类思想，促进意义理解。

3.挖掘拓展点，促进深度探究

挖掘教材中的典型题、提升题、开放题背后的拓展价值，可以将教材习题变成拓展学材。如教师以人教版教材二年级上册“角的初步认识”单元练习八的第7题（如图2）为基础，通过限制画图工具、改变画图条件等方法，围绕“没有直尺，你还会画直角吗”这一核心问题，设计了一系列挑战性任务，让学生主动调用所学经验，迁移运用原有知识，创生出利用“方格纸的格线、等比例的长方形对角线”等方法画直角。让学生在完成挑战性任务的过程中为后续学习旋转、比例等内容积累学习经验，促进学生对角的本质意义的理解，提升学生的画角技能。

在方格纸上画直角（从给出的点画起）。

（三）学习任务的设计：以终为始，以发展为要

在基于“IPS+”的拓展学材研发过程中，具体学习内容的设计和组织要重视缓解教材知识学习有限性和阶段性的问题，侧重学生的能力培养与素养发展。学习任务的设计需注重趣味性和探究性相结合的特点，常见的形式有游戏闯关类、生活探究类、数学阅读类、问题解决类等。主要以生活问题、游戏素材、数学史料、变式趣题等开放性素材为载体，促使学生将数学知识学以致用。

三、讨绎：基于“IPS+”的拓展学材实施的价值取向

基于“IPS+”理念设计拓展学材后，教师在进行教学时，应注意消除“因渐进式线性推进教学过程而难以让学生建立整体知识结构”的弊端，实施结构化教学。

（一）核心问题取向：高效任务，问题引领

“核心问题”是把学材转变为教学的重要支架。借助核心问题设计，可以把学习置于探究情境中，把问题设定为逐层递进的相关任务，让学生既有解决问题的动力，又有向上攀登的支架。

如围绕“长、正方形面积计算”开发的拓展课《蚂蚁抢地盘》，教师把面积计算的问题设置为“蚂蚁抢地盘”的情境，让学生置身于既有趣味性又有探究意义的真实问题中。教师设计的任务是：探究在P点的移动过程中S1～S4四部分面积间的关系（如图3），并设计了任务串：①描述S1和S2的变化;②描述S1+S2的变化;③描述S3和S4的大小关系以及变化趋势;④比较S1+S2与S3+S4的大小。这四个由低阶到高阶的数学任务，为学生的数学探究提供了层层递进的任务链，将学生的视角从静态引向动态，让学生的空间观念和数学思维也得到发展。

（二）经验可视取向：经历过程，展开思维

学习的过程就是经验再改造的过程，在引导学生经历观察、操作、类比、分析、归纳等数学学习过程的同时，需要将学生的隐性经验可视化，便于学生反思和总结，实现知识的应用和认知的延伸。

如围绕“三角形的分类”开发的拓展课《变化无穷的第三个点》，教师设置的核心问题是：直线上有A、B两个点，在直线上方取一点C，使ABC围成直角三角形，点C可能在哪里？然后按照“学生尝试—交流想法—分类整理—归纳特征—追问原因—学法迁移”的路径进行教学，并根据学生的交流情况，与学生一起整理了点C在直线AB的上方时“第三个点”可能的位置：当点C落在过A、B两点的直线AB的垂线上时，∠A或∠B是直角，当点C落在“半圆”的虚线上时，∠C是直角，这时ABC围成的三角形是直角三角形。如果點C不在这几条线上，那么它在不同区域时可以得到锐角和钝角三角形的情况如图4。

并不是经历过学习就会形成经验，教师需要引导学生及时把探究所得进行外显和梳理，以帮助他们建立更加丰富的经验结构，让知识能更好地得到迁移运用。

（三）高阶学习取向：迁移运用，建立联结

高阶学习是一个有意识运用知识的过程，包含以下几个方面的高阶策略：问题解决、创见、决策、调研和系统分析。要判断学生学习的质量，可以看学生在整个学习过程中是否运用了这些策略。

如围绕“轴对称图形”设计的拓展课《趣变轴对称》，教师设计的核心问题是：在图中（见图5）涂色一个小正方形，让组成的新图形是一个轴对称图形，可以怎样涂？如果依旧要保证新图形是轴对称图形，再涂色两个、三个小正方形，可以怎样涂？

在核心问题的解决过程中，先让学生独立尝试，再小组交流汇总方法，使个别学生的方法变成一组学生的共用方法，然后进行方法的分类，归纳方法之间的共性，从而获得问题解决的策略：确定对称轴位置，再涂色，使图形保持对称性。最后通过设计第二层次的变式问题，让学生能及时应用在前一个环节中发现的方法和经验，使方法得到迁移，思维得到提升。在这个过程中，处处可见学生经历了高阶学习过程。

在基于学生立场的“IPS+”学材开发过程中，研究团队利用生活中的普通材料，如黄豆、苹果、纸张、扑克牌、筛子、吸管等，结合日常生活中的常见事件，开发了诸如“可乐的‘甜蜜’真相、消费券中的数学问题、地图中的秘密、可怕的病毒”等拓展教学内容，促进了学生操作经验和思维经验的积累，让学生在关系探索中学习、在逻辑梳理中思考、在主题探究中发展能力。基于“IPS+”教材二次开发理念的拓展学材研发方式，可以作为一线教师进行相关内容研发时可借鉴的一般流程和具体实施路径。

参考文献：

[1]威金斯，麦克泰.理解为先模式：单元教学设计指南（一） [M].盛群力，沈祖芸，柳丰，等译.福州：福建教育出版社，2018.

[2]威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计：第二版 [M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2017.

[3]斯苗儿.整合与拓展课例精选[M]. 上海：文汇出版社，2019.

[4]陈燕云.让数学变得好玩：小学一二年级数学课堂游戏88例[M].北京：中国轻工业出版社，2015.

[5]袁晓萍.学会向学生借智慧[M].杭州：浙江教育出版社，2018.

[6]陈加仓.小学数学拓展课的素材开发策略[J].小学数学教师，2019（6）.

（浙江省杭州市拱墅区教育研究院    310005）