王淑旺 范诚 徐群龙

（合肥工业大学，合肥 230009）

主题词：永磁同步电机 滑模控制 新型趋近律 变边界层饱和函数 扰动观测器

1 前言

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）因其体积小、结构简单、功率密度高以及效率高等优点而被广泛应用。传统比例积分（Proportional Integral，PI）控制常用于永磁同步电机调速系统，但PI控制只能满足一定范围内的精度要求，且高度依赖系统模型的准确性，易受外界干扰和内部参数摄动影响。为了克服这些问题，国内外学者开展了大量研究，提出了一系列应对方法和控制策略，如自抗扰控制、自适应控制、模糊控制、预测控制、神经网络、滑模变结构控制（Sliding Mode Control，SMC）等现代控制理论方法，并应用于永磁同步电机调速系统。其中，滑模变结构控制因其较强的鲁棒性、对系统内部参数摄动的不敏感性以及响应速度快等优势得到广泛应用。但传统滑模控制带来的响应快速性是通过大增益实现的，无可避免地带来抖振问题。在保留滑模控制带来的强鲁棒性、快速响应性的同时解决抖振问题，成为许多学者研究的方向。文献[7]在传统幂次趋近律的基础上引入指数项，并将系统状态变量融入其中，使其与系统状态关联，有效解决了幂次趋近律在远离滑模面时速度慢的问题。文献[8]提出一种改进的幂次趋近律，在幂次项中引入系统状态变量，在指数项中引入幂次型滑模面函数，有效抑制了系统固有抖振，加快了到达滑模面的速度，但是算法设计复杂，参数调节难度高。文献[9]采用超螺旋（Super-twisting）算法控制转矩角生成，引入积分滑模和模糊自适应方法优化趋近律，有效提高了系统的鲁棒性。文献[10]采用一种由连续性函数组成的新型饱和函数代替符号函数，在削弱抖振的同时，加快了收敛速度，不足之处是边界层固定，选取过大或过小均会限制其性能发挥的稳定。

基于以上研究，本文提出一种新型趋近律滑模变结构控制（New Reaching Law Sliding Mode Control，NRLSMC）算法，以滑模面作为自变量，基于双曲正切函数设计一种新的变量函数，在提高远离滑模面时的收敛速度的同时，大幅度削弱靠近滑模面时的固有抖振。针对系统参数和负载转矩变化引起的扰动问题，引入双曲正切函数和Fal 函数组合成的复合函数，设计一种新型扰动观测器，进一步增强系统的鲁棒性。

2 PMSM数学模型

为了便于建立永磁同步电机在-轴坐标系下的数学模型，作出如下假设：磁场沿气隙圆周呈正弦分布；忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响；忽略定子铁心和转子铁心的涡流损耗和磁滞损耗；忽略绕组电阻与绕组电感等参数的变化。则PMSM 在-轴中的电压方程为：

式中，u、u分别为、轴电压；i、i分别为、轴电流；L、L分别为、轴电感；为定子电感；为极对数；为转子机械角速度；为永磁体磁链。

PMSM的转矩方程和运动方程分别为：

式中，为转动惯量；为电磁转矩；为负载转矩；为粘滞摩擦因数。

3 滑模控制器设计

3.1 传统指数趋近律

传统指数趋近律在等速趋近律的基础上加入指数项，以提高远离滑模面时的收敛速度：

式中，-为指数趋近项；、为大于0 的常数；为滑模面。

需要说明的是，指数趋近律虽然加快了远离滑模面时的收敛速度，但是由于符号函数的存在，无法避免地会存在一定的抖振现象。本文将符号函数进行连续性处理，以解决靠近滑模面时的抖振问题。

3.2 新型趋近律

为了克服传统指数趋近律存在的问题，本文提出一种新型趋近律：

式中，、、、为常数，且0<<2，0<<1，>0，>0；为系统状态变量。

分析该趋近律可知，加入系统状态变量可以使其与趋近律的指数项关联。当远离滑模面时较大，相当于在原指数项的基础上乘一项增益，增大了远离滑模面时的收敛速度，且速度随着与滑模面距离的减小而减小。当趋近滑模面时，式（5）等号右侧第1项起主导作用，既解决了传统趋近律存在不连续项的问题，又解决了固定边界层饱和函数带来的边界层过大使原本趋于稳定的系统再次产生抖振，边界层过小使系统在边界层内运动时间过短致使饱和函数作用发挥有限的问题。

3.3 新型趋近律性能验证

考虑如下被控系统：

式中，()为实际角度信号；(,)为关于实际速度信号的函数；>0为常数；()为外部干扰；()为控制律。

滑模函数选取为：

式中，>0为滑模面系数，满足赫尔维茨（Hurwitz）条件；()为误差。

误差及其导数为：

式中，为理想角度信号。

于是，有：

式中，为干扰信号。

由于未知，设和分别为干扰的下限和上限，取=(-)/2，=(+)/2，则：

式中，为与干扰信号的界相关的正实数。

综合式（9）～式（12）可得：

图1 相轨迹

图2 控制输入

由图1～图3分析可知，新型趋近律在远离滑模面时的收敛速度快于传统指数趋近律，且在靠近滑模面时抖振抑制性能亦优于传统指数趋近律，同时，在给定信号跟踪方面也优于传统指数趋近律，因此新型趋近律在收敛速度和抑制抖振方面性能更优。

图3 角度信号跟踪

3.4 滑模控制器

定义转速误差为系统的状态变量：

式中，为电机给定转速；为电机实际转速。

根据式（3），求导后得：

由于滑模变结构控制采取非线性控制方法，在趋近滑模面时会产生抖振，故选取积分型滑模面可以有效平滑转矩，抑制抖振，增强系统鲁棒性，并在一定程度上提高调节精度。故设计滑模面为：

式中，为时间变量；为转速误差收敛至零时刻。

对求导后有：

根据式（5）、式（15）、式（17）可得：

式中，i为滑模控制器输出的轴电流。

考虑系统内部参数摄动和外部负载扰动，将式（18）写成：

选取李雅普诺夫（Lyapunov）函数：

对其求导，则有：

图4 滑模控制器结构

4 扰动观测器设计

针对系统参数和负载转矩变化引起的扰动问题，设计扰动观测器，进一步提高系统抗扰动性能。

电机在实际运行中，负载转矩时变且难以预测。因电机控制器采样频率高，采样周期小，而电气时间常数远小于机械时间常数，即相对于电流转速等信号来说，负载扰动转矩变化缓慢。于是，可以近似认为在1个控制采样周期内负载扰动转矩不变：

进而可知，扰动的一阶导数为零：

选取PMSM机械角速度和系统总扰动()为状态变量，则系统的状态方程为：

Fal函数具有滤波特性，是一种特殊的非线性结构，常用于自抗扰控制器中扩张状态观测器（Extended State Observer，ESO）部分。当Fal函数与ESO结合时，可以有效观测系统测量环节存在的干扰情况，Fal 函数表达式为：

式中，为误差；为滤波因子；为影响滤波效果的常数。

基于以上研究，本文设计了一种新型扰动观测器：

基于式（26）的观测器模型如图5所示。

图5 扰动观测器结构

5 仿真与试验验证

5.1 仿真分析

为了验证本文所设计的新型趋近律滑模控制器的性能，基于MATLAB/Simulink 搭建如图6所示的仿真模型，采用i=0 的PMSM 矢量控制策略，并将其与PI 控制进行对比，选取永磁同步电机参数如表1所示。

图6 基于新型趋近律的滑模控制算法系统仿真模型

表1 永磁同步电机参数

取永磁同步电机粘滞摩擦因数=0.000 8，滑模控制器各项参数采用交替联合迭代法进行整定，运用工程经验法以PI控制下系统输出的转速、转矩等各项特性为搜索方向，快速调节滑模控制器中各项参数，再以滑模控制下系统输出的各项特性为搜索方向，调节PI控制器中的参数，以此类推，进行迭代，最终选取=0.5，=30，=80，=0.5，=30。观测器的各项参数依据采样步长选取=10，=30，=0.3，=5；PI 控制器参数为k=12，k=5。电机额定转速为1 000 r/min，仿真结果如图7～图10所示。

图7 突增负载时转速响应

图8 突增负载时电磁转矩响应

图9 突增负载时三相电流

图10 负载转矩观测结果

从图7 可以看出，在第0.1 s 突增5 N∙m 的负载时，基于PI控制算法转速超调量为76 r/min，而新型趋近律滑模控制算法下转速超调量为23 r/min，且在突加负载后转速波动较小，恢复系统原状态更快。

从图8可以看出：在第0.1 s突增10 N∙m的负载时，PI 控制下电磁转矩存在明显波动，而在NRLSMC 算法控制下，电磁转矩较为平滑，无明显波动，说明NRLSMC算法稳定性更高，控制性能更加优越；对于定子三相电流的控制，NRLSMC 算法亦更接近正弦曲线，在起始阶段和中间突增负载时过渡更加平滑。

由图10 可知，在第0.1 s 突增10 N∙m 的负载，并在第0.2 s卸载时，该观测器响应速度快，观测结果也较为准确，满足性能要求。

选取4组参数分别对控制器性能进行仿真，结果如表2所示。

表2 控制器参数对控制器性能影响的仿真结果

由表2可知，控制器参数的变化对转速超调量和调节时间均有一定的影响，工程中需要根据实际工况灵活选取。

需要说明的是，由于电机在运行过程中不可避免地会导致内部参数的变化，如定子电阻会随着温度的上升而增大，均不会影响控制变量的收敛，系统最终都能达到稳定状态。

5.2 试验分析

基于TMS320F28377 控制板搭建试验平台，分别对传统PI控制算法和本文提出的基于新型趋近律的滑模控制算法进行试验验证。试验主要测试2个部分，即空载启动以及突增负载时的动态响应。

选取滑模控制器各项参数为=0.5，=15，=50，=0.5，观测器参数为=3，=50，=0.5，=15。PI 控制器各参数为k=100，k=5。试验时，电机空载启动，给定转速500 r/min，试验结果如图11所示。

图11 空载启动转速响应曲线

给定电机转速1 000 r/min，突增10 N∙m负载，测得转速响应结果如图12所示。

图12 突增负载转速响应曲线

转速保持不变，负载从10 N∙m 增至20 N∙m，结果如图13所示。

图13 突增负载转矩响应曲线

电机空载运行过程中突增5 N∙m负载，运行一段时间后再卸载，结果如图14所示。

图14 负载转矩观测波形

选取4组参数对电机控制器性能进行验证，结果如表3所示。

表3 控制器参数对控制器性能影响的试验结果

由试验结果可知：本文提出的新型趋近律滑模控制算法相对传统PI 控制算法，转速响应时间缩短0.02 s，超调量减小40 r/min，突增负载后转速较为稳定，恢复至系统原状态所用时间更短；电磁转矩波动小，突增负载时电磁转矩更加稳定，抗干扰性能更佳；扰动观测器响应速度快，能够准确地对负载扰动转矩进行估测；对于控制器参数，需要根据实际工况灵活配置。

6 结束语

本文在传统趋近律滑模变结构控制基础上设计了一种新型趋近律的滑模控制算法，并将其运用到永磁同步电机调速系统中，用以取代传统PI控制算法，大幅减小了系统的固有抖振，并针对外在扰动设计了一种新型扰动观测器，进一步加强系统鲁棒性，仿真与试验结果证明，本文所提出的新型滑模控制算法能有效改善PMSM调速系统的动态性能，提高系统抗干扰能力。