张毅

(苏州科技大学土木工程学院，苏州 215011)

研究并证明时间尺度上非迁移Birkhoff 系统的Mei 对称性定理.首先，建立任意时间尺度上Pfaff-Birkhoff 原理和广义Pfaff-Birkhoff 原理，由此导出时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(包括自由Birkhoff 系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkhoff 系统)的动力学方程.其次，基于非迁移Birkhoff 方程中的动力学函数经历变换后仍满足原方程的不变性，给出了时间尺度上Mei 对称性的定义，导出了相应的判据方程.再次，建立并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff 系统的Mei 对称性定理，得到了时间尺度上Birkhoff 系统的Mei 守恒量.并通过3 个算例说明了结果的应用.

1 引言

Birkhoff 力学起源于Birkhoff[1]的著作《动力系统》.Santilli[2]首次提出Birkhoff 力学一词，并详细地讨论了Birkhoff 方程的构造、变换理论及其对强子物理的应用.梅凤翔等[3]和Galiullin 等[4]从各自角度分别独立地研究了Birkhoff 系统动力学，他们的研究各具特色且更侧重于分析力学.文献[5]构建了广义Birkhoff 系统动力学.梅凤翔先生[6]指出Birkhoff 力学是分析力学发展的第4个阶段.近年来，Birkhoff 力学在对称性理论[7-13]、几何动力学[14，15]、全局分析与稳定性[16，17]、数值计算[18-22]等研究方向上都取得了重要进展.

时间尺度，即实数集的任意非空闭子集，最早是由Hilger 博士[23]引进的.由于实数集和整数集本身就是一类特殊的时间尺度，因而在时间尺度上不仅可以统一地处理连续系统和离散系统，而且可以处理既有连续又有离散的复杂动力学过程.近20 年来，时间尺度分析理论不仅在理论上不断完善[24-26]，其应用领域也在不断拓广[27-34].文献[35]最早提出并研究了时……