魏雪刚

(内蒙古师范大学 科学技术史研究院,内蒙古 呼和浩特 010022)

《九章算术》(1)《九章算术》有狭义和广义的区别，狭义指《九章算术》原始文本，不包括刘徽、李淳风注，广义包括刘李的注，本文所言《九章算术》多是广义上的。是中国传统数学最重要的文献,每位中国数学史专业研究生都需要对它有所掌握。华蘅芳曾说:“《九章算术》为中法最古之书,其文义与古书相往来,亦学者不可不读之书也。能读《九章》则一切古算书无不能读矣。”[1]数学史教学单位在实践层面很重视《九章算术》的研读,开设相关课程,编纂了教材。内蒙古师范大学科学技术史研究院“从1978年起开始招自然科学史专业数学史方向的研究生,开设了一门“中国数学史文献选读”课程,把中国历史上有价值的、精彩的数学原始文献选择出来交给他们自己阅读,然后轮流进行报告,并在指导教师的领导下进行讨论”[2]3。《中华传统数学文献精选导读》为该课程的教材,其中《九章算术》属于“汉到唐的文献”的重点。西北大学、上海交通大学等学校的数学史研究生培养更加重视《九章算术》的研读,甚至把它作为数学史原始文献研读的全部内容。以往实践积累了有益经验,是本文进行理论设想的重要依据。

数学史的性质问题是值得持续讨论而无固定答案的,但一门课程的设计必须有所立足,本文把数学史看成是数学文化的历史,是数学、文化与历史的融合。在这个原则的指导下,课程就不仅要讨论《九章算术》的数学内涵,还要把它作为历史文本来考察,又要探寻它所具有的文化意义。课程的对象是中国数学史专业研究生,旨在培养中国数学史研究者。课程具体目标包括: (1) 掌握阅读中国传统数学文献的能力; (2) 建立研究中国数学史的知识基础; (3) 养成精读习惯。为此,本文在简略梳理中算家数学学习的基础上,提出《九章算术》精读课程的粗浅设想,以供讨论。

1 中算家的数学学习与《九章算术》

《九章算术》是“算经之首”,除《周髀算经》,其余八部算经都或多或少受其影响,说明它们的作者都研习过《九章算术》。刘徽是《九章算术》最重要的注者,《九章算术》在其学习过程中扮演着重要角色,他“幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意”[3]。宋元时期中国传统数学发展到高峰,李冶对数学发展的观察是“撰著成书者无虑百家,然皆以《九章》为祖,而刘徽、李淳风又加注释,而此道益明”[4]。《九章算术》此时已成为中算家的必学著作。

杨辉有一篇《习算纲目》,论说数学学习极为详细。它在说明加减乘除学习法之后,重点讨论《九章算术》的学习:

治分乃用算之喉襟也,如不学,则不足以知算。而诸分并著《九章·方田》,若以日习一法,不旬日而周知。更以两月温习,必能开释。《张丘建算经》序云:“不患乘除为难,而患分母子之为难。”以辉言之,分子本不难,不过位烦。剖析诸分,不致差错而已矣。开方乃算法中大节目,勾股、旁要、演段、锁积多用,例有七体:一曰开平方,二曰开平圆,三曰开立方,四曰开立圆,五曰开分子方,六曰开三乘以上方,七曰带从开方,并载少广、勾股二章。作一日学一法,用两月演习题目,须讨论用法之源,庶久而无失忘矣。《九章》二百四十六问,固是不出乘、除、开方三术,但下法布置,尤宜编历,如互乘、互换、维乘、列衰、方程,并列图于卷首。《九章》二百四十六问,除习过乘、除、诸分、开方,自余方田、粟米只须一日下遍,衰分功在立衰,少广全类合分,商功皆是折变,均属取用衰分、互乘。每一章作三日演习。盈不足、方程、勾股用法颇杂,每一章作四日演习。更将《九章纂类》消详,庶知用算门例,《九章》之义尽矣。[5]

文章最后又强调“是故勉学者知《九章》矣”。这里指出了学习的重点、步骤、时限,颇具借鉴意义。

明代影响最大的数学著作莫过于《算法统宗》,“明末清初的几乎所有要学习传统数学的人,都是通过流传广泛的《算法统宗》来实现的”[6]。书中“习算之法”以歌诀形式道出了中算的学习步骤:“一要先熟读九数,二要诵归除歌法。三要知加减定位,四要知度量衡亩。五要知诸分母子,六要知长阔堆积。七要知盈朒互隐,八要知正负行例。九要知勾股弦数,十要知开方各色。”[7]其中,“五要”到“十要”直接针对的是《九章算术》,是对《九章算术》分类和学习次序新的考量。

传统数学在明代失传,清初学者已经很难见到明代以前的数学著作。梅文鼎被誉为清朝天算第一人,关于他的数学学习情况有详细记载:“儿时侍父及塾师罗王宾,仰观星气辄了然于次,舍运旋大意。年二十七,师事前代逸民竹冠道士倪观湖,受麻孟璇所藏《台官交食法》,与弟文鼐、文鼏共习之。稍稍发明其所以立法之故,补其遗缺,着《历学骈枝》二卷,倪为首肯,自此遂有学历之志。值书之难读者,必欲求得其说,往往至废寝食,格于他端,中辍耿耿不忘。或读他书,无意中砉然有触而积疑冰释,乘夜秉烛,亟起书之。或一夕枕上之所得,累数日书之不尽。残编散帙手自抄,集一字异同,不敢忽过,有能是者,虽在远道不惮褰裳,往从畴人子弟及西域官生皆折节造访。人有问者,亦详告之,无隐期与斯,世共明之。”[8]梅文鼎学习特别勤奋,刘辉祖描述道:“吾每寐觉,漏鼓四五下,梅君犹篝灯夜诵,昧爽则已兴矣,乃今知吾之玩日而愒时也。”[9]梅文鼎只见过黄虞稷藏《九章算术》方田一章,但他从明代数学著作中对其有了初步了解,立志会通中西数学,且相信“古《九章》之义包举无方”[10]。梅文鼎的数学著作“务在显明,不辞劳拙,往往以平易之语解极难之法,浅近之言达至深之理,使读其书者不待详求而义可晓然”[11]。不少清代算家是由梅文鼎的著作而入传统数学之门。

乾嘉时期学者的西方数学学习促进了传统数学的复兴。晚清西方数学系统传入,改变了中算家的知识结构,他们的数学学习实践与认知也随之改变。华蘅芳在《学算笔谈》中屡述自己学习数学的经历和所达到的境界,很有启发和借鉴价值:

吾于算学生平未尝授业于人,即与能算者相友善,亦未尝数数问难也。惟乐观各种算学之书,自十五六岁时,偶于故书中检得坊本算法,心窃喜之,日夕展玩,不数月而尽通其义。吾父见其癖嗜此学,必是性之所近也,遂为之购求算学之书,爰得《周髀》《九章》《孙子》《五曹》《张邱建》《夏侯阳》《辑古》《海岛》《益古演段》《测圆海镜》。俾从观之,除《益古》《海镜》二书以外,其为常法所能通者,以加减乘除开方之法驭之,无不迎刃而解。惟于天元之术则格格不相入者,几及一年,始得涣然冰释。后又得秦氏《数书九章》、梅氏《历算全书》、罗氏《观我生室》、李氏《遗书》、董方立《遗书》、衡斋《算学》、焦理堂《学算记》、骆春池《艺游录》,始知算学有古今中西之异同,而《几何原本》当时尚未译全,其前六卷世无单行之本,惟《数理精蕴》中有之。及购得《数理精蕴》,遂能通几何之学,而吾年已二十矣。是时海内算学名家如项氏梅侣、徐氏君青、戴氏崿士、李氏秋纫,其所著各书尚未出。因访秋纫于墨海书馆,见其方与西士伟烈亚力对译《代数学》及《代微积拾级》尚未告竣。秋纫谓余曰:“此为算学中上乘功夫,此书一出,非特中法几可尽废,即西法之古者,亦无所用之矣。”余于是知天元之外更有代数、微分、积分之术,爰从其译稿中录得数条视之,迄不得其用意之处。又阅数年,其译本先后刊竣,惠我一编,披阅数页外已不知其所云何也。盖其格格不相入者,犹之初读《海镜》时也。诘诸李君,则云:“此中微妙非可以言语形容,其法尽在书中,吾无所隐也。多观之则自解耳,是岂旦夕之工所能通晓者哉？”余信其言,反覆展玩不缀,乃得稍有头绪,譬如傍晚之星初见一点,旋见数点,又见数十点、数百点,以致灿然布满天空,是余之于代数,其明也以渐,非如天元之术,不悟则已,一悟则豁然开朗也。然后知代数之术,其层累曲折多于天元,故其致用之处,亦比天元更广。从此以后,无时不究心于代数,每觉李氏所译之二种殊非易于入手之书,故余又与西士傅兰雅译出《代数术》《微积溯源》《三角数理》《代数难题解法》,流播于世。[1]

《学算笔谈》除此还详细叙述了中西数学的具体内容和学习方法,均有参考意义。

通过上文初步梳理可知,清代以前《九章算术》是中算家学习的核心,清代算家的习算内容呈现多样化,西算所占分量越来越大,但《九章算术》依旧受到重视。这提供了一条进入传统数学世界的可能路径:依照清代以前算家的方式学习《九章算术》,特别是杨辉《习算纲目》提供的办法; 借鉴清代算家的方式全面把握传统数学和西方传入数学的全貌,如华蘅芳《学算笔谈》所言种种。杨、华二人都是从基础入手,若按照他们指示的步骤系统学习,或许能够“以古人之心为心”逐渐进入中算家的知识体系。但中算家关注的是数学问题本身,而中算史家关注的是数学史问题,这就需要在借鉴的同时探寻互补的精读方法。

2 《九章算术》的数学内涵

对《九章算术》数学内涵的认识,需依靠以往学者的研究,首要工作就是熟悉他们的成果。师生需要掌握重要的数学史论述目录,如《中算史论丛》《中国古代科技史论文索引》《中国数学史大系》(北京师范大学版)等,若再结合其他论著和网络资源,就可以基本了解《九章算术》研究史的大概。因为清代的学术经常涉及先秦两汉的学术,它们之间可以互相解释,由此能看到学术史的巨大变化[12],所以清代学者如戴震、李潢、汪莱、李锐的相关工作也要了解。教师在讲授相关内容的同时还可指导学生撰写学术综述的方法,共同尝试辨别学术论著奠基性、代表性、影响性的差别; 著史、考史、评史的不同; 义理、考据的区别。

专门术语是理解《九章算术》的首要问题,而且专门术语在研究中特别重要,正如李继闵所言:“准确掌握中算书中的常用语无疑是阅读理解古代天算文献的重要基础。研究古算词语不仅有助于深刻发掘古代数学思想,解决校勘中的疑难,而且是导致数学史研究中一些重大发现的突破口。”[13]吴文俊、李继闵等前辈都曾建议或计划编纂《九章算术》的专门术语词典,可惜未能实现。《九章算术》精读不妨先研读前人关于专门术语的研究成果,在此基础上整理出一份中算术语表,以《九章算术》为核心但不限于此,在此后的学习中对其进行增改删减,以期解决由专门术语导致的阅读障碍。在此过程中,教师则可以:(1)解释术语内涵,尤其是沿用至今的常用术语比如“正负”,因为这类术语更容易使学生犯以今释古的错误,误解它的原意; (2)实例讲解术语内涵的演变,培养学生的历史意识; (3)比较学者关于某一术语的不同解释及其原因,示范学术研究的基本方法和不同路径; (4)发掘新的相关研究问题,与学生共同探索。

度量衡与中国传统数学密切相关,不仅是中国传统数学的基础性知识,还对算法的构造产生很大影响,相关知识需要掌握。

《九章算术》最重要的数学工具当属算筹,教师可以通过考察算筹的发展历史进而确定《九章算术》所用算筹的形制,与学生一起制造算筹,并对《九章算术》算题进行算筹演算。在此过程中,还可以区分“术”和“题”,探索两者筹算的差异。通过这一系列的训练,可以掌握《九章算术》的实际操作方法。明代算盘开始兴盛,算筹逐渐被取代,但两者之间具有密切的传承关系,这些理论问题需要了解,同时也应结合珠算著作掌握算盘的一般使用方法。与《九章算术》有关的数学模型还有“棋”“牟合方盖”等,这些也有必要在精读过程中有所讨论。

算法是中算的核心内容,《九章算术》的算法大致包括方田术、今有术、衰分术、齐同术、割圆术、盈不足术、弧田术、重差术、开方术、方程术、正负术、勾股术等等。现代数学虽然无法完全解释中算算法的本意,却有重要辅助作用,所以可以用现代数学方法解释《九章算术》,并努力寻求中算算法本意与现代数学解释的差异。

《数》《算数书》等书里的秦汉算法在《九章算术》中有所发展,《九章算术》之后的算法发展多受其影响。因此师生可以结合各自选题方向选择一本传统数学著作,参考钱宝琮关于算法考源的系列论文,尝试在算法层面探寻所选著作与《九章算术》的联系,力图展现算法演变的历史脉络。

“形数结合”是中算的显著特色,李继闵对此有深刻的观察:“与古代希腊几何学迥然不同,中国古代的图形研究表现为数量的计算,它以长度、面积和体积等度量为主要对象,而一般不注重图形性质与位置关系的研究,甚至中国古代几何学不讨论角的性质与度量。几何对象的度量化,使中算‘以算为主’的特色得以充分体现; 而形数结合突出地表现为几何方法与代数方法的相互渗透。”[14]刘徽注《九章算术》的方式之一就是“解体用图”,而图已经亡佚,历代算家屡有补注,可以与学生一起试着展开这项工作,借此加深对中算“形数结合”特色的了解,同时还能体会中算“出入相补”论证方式的特征和价值。

中算的特征之一是“寓理于算”,《九章算术》的算理同样隐而不显。《九章算术》一些重要概念、原理、思想需要特别留意,如率、齐同、无穷分割、极限思想等。已经有不少这方面的研究成果问世,在熟悉它们的同时,研究方法的学习也很重要。

就掌握典籍的方法论而言,钱穆说过:“做学问当熟读典籍,能背诵更佳。”[15]笔者当过郭世荣教授“中国数学史文献选读”课程的助教,教授在课堂上成段背诵《九章算术》“开方术”,并教导学生重要内容是要背下来的。或许通过这种训练,才能逐渐向“好学深思,心知其意”的理想阶段靠近。

3 作为历史文本的《九章算术》

文献课的重点在理论,而把《九章算术》作为历史文本精读,则是文献理论的具体实践。《九章算术》是用繁体字书写的,对繁体字的掌握是最基本要求,更高要求是识字,也即“读书须先识字”。有时某一个字就有丰富历史内涵,值得深究。《九章算术》书名在清代以前被写作“筭”而不是“算”,且“筭”字现在仍然在使用。“筭”与“算”意义迥别,《说文解字》提道:“筭:长六寸。计历数者。从竹从弄。言常弄乃不误也。”段玉裁《说文解字注》称:“‘筭’为‘算’之器,‘算’为‘筭’之用,二字音同而义别。”这或许说明《九章算术》是关于算筹术的著作而不是关于计算、运算或算法的书。类似的情况在精读《九章算术》时需留意。

《九章算术》的书写载体极可能是简牍,而现在所见均已纸本化。这种差异会遮蔽一些内容,为破除这层障碍,师生可以参考《数》《算数书》,尝试在书写载体上恢复《九章算术》,或许会有新的收获。

《九章算术》的版本、注疏、流传、传承之类的问题大致可以通过传统数学目录来寻求,而重要的书目大致包括:《文渊阁书目》《勿庵历算书目》《四库全书总目提要》《书目答问》《算学考初编》《若水斋古今算学书录》《四部丛刊·算法编》《中国算学书目汇编》《中算史论丛》《北平各图书馆所藏中国算学书联合目录》《中国古籍善本书目》《中国数学史大系·中国算学书目汇编》《中国古籍总目》等。除《九章算术》,这些书目也可以让师生清楚了解其它古算书的大概面貌和现存情况。当前的信息化更加方便对某一书目进行修订增补,师生可以针对某一书目编纂自己的“修订本”。师生还可以一起模仿《四库全书总目提要》,撰写《九章算术》的提要,进而撰写其他重要算书的提要。《中华传统数学文献精选导读》虽然不是专门的书目著作,但它所选择的文献构成中算的框架,编纂目的是“读者有此一册在手,就能初步掌握几千年中国数学文献精彩部分的全局”[2]8。因此,这本书也应受到重视。

《九章算术》的版本问题很复杂,钱宝琮、李继闵、郭书春等学者都有深入的研究,在此基础上,师生可以借助信息化的便利,尽可能多搜集《九章算术》的版本,尝试进行比对校勘。同时还可以收集整理《九章算术》的各种注本及相关论述,模仿“集注”的编纂方式试着做一本《〈九章算术〉集注》。

关于《九章算术》的成书年代,历来众说纷纭,师生可一起考察诸说的立论基础和取向,探索确定古算书年代的方法和准则。

古籍有真伪问题,《九章算术》和其他算书也有类似问题,可以阅读相关论文与《伪书通考》《续伪书通考》的传统数学部分,力图对其有简要了解。

刘徽、李淳风以注的形式回应《九章算术》,这种做法或许与中国文化传统有关,西方数学也有特殊的“注述文本”现象[16]。这种算书的文本呈现方式值得关注。

“历史书写”近年来一直为学界所关注,有学者把它看作是通往史料批判的途径并给出定义:“通过分析史料来源、书写体例、成书背景、撰述意图等,考察史料的形成过程,以此为基础,探讨影响和制约这一过程的历史图景,并揭示史料形成所具有的历史意义。”[17]以此视角来考察《九章算术》或许会发掘更重要且有意义的问题。

《九章算术》之类电子化的古算书现在极易获得,教师应提醒学生在阅读或引用电子资源时最好与纸质原书进行核对。同时师生还可共同了解学习e-考据的研究方法。

古籍注释引用有特定的规范,教师可以通过《九章算术》及相关古籍的具体示例,引导学生掌握相关内容。

总之,从历史文本的角度精读《九章算术》,不仅可以加深对《九章算术》的认识,还能强化对工具书和学术规范的掌握,更重要的是对考查史料意识的培养。

4 《九章算术》的文化意义

《九章算术》文化意义所涉内容极多,略举一二,提供参考。

克莱因名著《西方文化中的数学》力图阐明的观点是“在西方文明中,数学一直是一种主要的文化力量”[18]。由于传统数学具有鲜明的社会性,与数术、律吕、天文、历法密切关联,所以作为一种文化力量的数学在中华文明中发挥何种作用,值得重视。这方面的研究积累不够深厚,精读《九章算术》时不妨引领学生进入这一问题,并在克莱因引用柏拉图观点的指示下树立研究志向,即“只有当所有这些研究(数学、天文等)提高到彼此互相结合、互相关联的程度,并且能够对于它们的相互关系得到一个总括的、成熟的看法时,我们的研究才算是有意义的。否则,便是白费力气,毫无价值”[18]。

二十世纪史学研究的一个趋势是“人的消失”,已有学者对其进行反思[19]。无论如何,文化是人创造的,忽略人则无法获得对文化的全面了解,关于某一特定著作文化意义的把握更是如此。《九章算术》精读需要深入考虑张苍、耿寿昌、刘徽、李淳风等人的情况,把他们置于文化史的整体脉络中以便更好体会《九章算术》的文化意义。

二十世纪八十年代学者就充分认识到汉字文化圈视角对东亚数学史研究的重要性。徐泽林更是明确指出:“以汉字文化圈整体视域研究东亚数学史,不仅历史资料互补,而且通过对和算、东算的汉文化溯源以及对中算在周边国家发展态势的考察,可以深化对各国数学史的理解与认知,进而认识东亚数学的共同特征。”[20]数学史家对《九章算术》在韩国、日本流传与影响的研究取得相当的成果,熟悉这些研究成果,以更大的区域视野进行反观,能够更全面了解《九章算术》在东亚整体文化中所具有的重要地位。

《九章算术》《几何原本》分别是中西古代数学最重要的著作,已有研究侧重在知识层面比较两者的异同,或许还可探寻两者在不同文化背景下历史命运的差异。

中西文化交流是学界持续关注的重要问题,文化接触促进文化变动,张维华指出:“征之史籍,凡是两种不同之文化接触后,必即发生一度之波澜,正如两流相遇,必生一旋波是也。经一酝酿时期,即渐融化调和,或全盘接受,或全盘拒绝,又或部分接受,部分拒绝。察其接受与拒绝之原因,则可明了各个民族根本思想之所在,亦可辨明各种文化根本上差异之点,更可进而判断对于某种文化应取之态度。各类问题之解决,有可借助于已往之史实者,此其一端。”[21]这段论述对中西算学互动研究极有启发作用。若把《九章算术》置于文化交流促使文化变动的潮流中,尤其是明末到清末这一阶段,则可以更好把握《九章算术》的历史作用和所蕴含的丰富文化意义。

地域文化近代性特质诠释是重要学术议题,“中国的知识转型”更是近年来研究热点。师生不妨共同探索《九章算术》在中国算学知识转型中扮演的角色,进而发掘中算转型所涵括的更为丰富的内涵。

过去与现在并无绝对界限,诸多事件、制度、人物、著作虽然在时间上属于过去,但从影响角度来看,它们依旧活在当下,并未真正“过去”,《九章算术》也是如此。它不仅作为研究对象存在,还直接参与我们的生活,对于中算史的学习和研究者来说更是如此。师生共同体会《九章算术》对当下文化和个人生命的价值,彼此的意义则能在如此的感受中逐渐厚重。

本文研究视角下的《九章算术》精读设想或许较理想与庞杂,更需要具体实践来检验和修正。其实,《九章算术》精读不仅针对学生,更是对教师的鞭策,只有师生共同努力才有望实现本书的精读。在此基础上,师生应力求精读更多经典著作,构建完整知识体系。