郝继光，黄亦斌

(1. 南昌市湾里区第一中学，江西 南昌 330004；2. 江西师范大学 物理与通信电子学院，江西 南昌 330022)

通常对振动的处理方式，是将势能函数在极小值点处取到二次项，从而求出振动的频率和周期. 这等价于把该振动视为简谐振动处理. 若想考虑振动频率与振幅的可能关系，在这一阶是不可能得到的，需考虑高阶效应，成为非线性振动问题. 这一关系一直是大家比较感兴趣的问题[1-7]，其中针对单摆的研究较多[4-7]. 这一关系一般难以存在有限表达式，故而我们可以就一般情形寻找其级数表达式. 由于计算量较大，我们使用了Mathematica 软件，其中除常见简单命令外，我们还大量使用了Series(幂级数展开)、DSolve(解微分方程)，Collect(合并同类项)等命令.

设振子的势能在极小值点(取为x=0，且V(0)=0)附近的泰勒级数为

(1)

上式ω>0.

由能量守恒，有

(2)

将其对时间求导，得

(3)

设正向最远到达x=A处，取此时为初始时刻.兹使用微扰法求其级数解(在数学上类似的例子见参考文献[8])，即设其解为

x=x0+x1+x2+x3+x4+…

(4)

1 精确到二阶的结论

把式(4)代入方程(3)，精确到二阶解x2，得方程组：

(5)

于是，使用DSolve命令，精确到二阶的解为

(6)

注意其中有非周期项，而我们的振动显然是周期性的.其原因就在于2π/ω并非真正的周期.可令

ω=Ω+aA+bA2+…

(7)

即Ω为真正的圆频率，其初级近似为ω，高阶部分则表示为A的级数.仅将上式代入式(6)中的三角函数中(其他位置的ω不做替换，因为我们要尽量用原始的系数ω2、k1、k2、…来表示)，并利用Series命令展开到A3项，令每一阶的新非周期项的系数为0，即可确定式(……