南师附中秦淮科技高中高二（2）班 陈思成

一、源头

在假期“刷题”时，我遇到了这样一题：

引例已知圆O：x2y2+=9，P为直线x+y2−9=0 上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，求证：直线AB恒过定点．

经过分析，不难发现两种思路：

其一，切点弦AB可以看作圆O和以OP为直径的圆相交所得的弦．两圆方程相减即可获得直线AB的方程，那么解决直线AB过定点就自然而然．

其二，不妨设A(x1,y1)，寻求A的轨迹(直线)．由，由圆的切线的性质易得设P(x0,y0)，则于是有即x0x1+y0y1−(x12+y12)=0．又因为点A坐标满足方程x2+y2=9，点P坐标满足方程x+2y−9=0，于是x0=9−2y0，从而y0(y1−2x1)+9x1−9=0．要使得y0“失效”，可得直线AB过定点D(1,2)，当PA斜率不存在时，经验证其也过D．得证．

二、出新

引例分析完了，我心中难以平静：既然引例中圆的切点弦过定点，那么与圆形状上相似的椭圆，它的切点弦是否也过定点？

1、探寻思路

例1已知椭圆C：P为直线x+2y−9=0 上一动点，过点P向C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB是否过定点？

引例中的解题方法是否可用？

结论是：在椭圆中，不能再利用两圆方程求公共弦方程，只能从思路二入手：即设A(x1,y1)，求点A的轨迹方程．设P(x0,y0)，则有直线AP的斜率为那么，直线AP的斜率可否用另一种形式表示？如类似引例中的思路二“由圆中切线的性质得

2、突破难点

当前的主要问题就变成了：

有三种思路可以解决该问题．

思路一：由圆类比椭圆，如果题干中的曲线是圆x2+y2=r2，则过A的切线方程为x1x+y1y=r2，可以看作将圆方程中的“x2”写成“x⋅x”，将其中一个x替换为x1，同理一个y替换为y1．通过类比推理，可以得到过A点的椭圆的切线方程为所以

思路二：判别式法……