潘梅耘

导数在研究复杂函数单调性时，方法直观，功能强大：能求斜率，求切线、求单调区间、比较大小、求极值，求值域、探索图象分布等，从而能跟函数、解析几何、不等式、数列等联系，也使它成为新教材高考命题的热点．

常规套路：简单粗暴地求导，思路往往受阻，计算量大；

创新选择：选择新角度，构造新函数；

难点：需要有敏锐的观察力，数形结合、分类讨论的能力及理论上严谨性的探究要求高，主要体现在构造法、放缩法和反推法等的灵活运用．

不过一切问题的本质都是相通的，本文通过几道导数题的剖析，以期揭示问题的根源，激发思维的创新．

一、两次求导，旨在单调

例1已知函数f(x)=excosx−x，求函数f(x)在区间上的最值．

本质分析:导数正负性，函数单调性，极值端点比大小，函数最值可知晓．

解析函数定义域f′(x)=ex(cosx−sinx)−1．

一次求导，无法判号

令h(x)=ex(cosx−sinx)−1，

构造二阶函数

则h′(x)=ex(cosx−sinx−sinx−cosx)=−2exsinx.

二次求导

当x∈，可得h′(x)≤0，即h(x)在递减，

根据二阶导数正负性判断一阶导数的单调性

（思考一下，如果此时二阶导数的正负性不能明显确定，该怎么办？）

可得h(x)≤h(0)=f′(0)=0，则f(x)在递减，

得到一阶导数的正负性就得到原函数的单调性

所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=

得到原函数的最值

思维创新主导函数为超越型，“二次求导判号”，得函数单调性求最值．

二、恒存一家,分合转化

例2已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx(a∈R)，对任意的恒成立，求a的最小值．

本质分析:不等式左右分，“全分半分可不分”，数形结合易理解，分类讨论显真功．

解法一（变量全分离）

变量分离构造函数

令l(x)=

则l′(x)=

一次求导，无法判号

构造局部……