谢超凡 叶阿真

摘要：近年来，大数据、人工智能、物联网以及计算机视觉的蓬勃发展，使得市场对大学生的基础工科能力需求有了质的变化，同时，对相关课程尤其是基础课程的设计有了更高的要求，希望基础课程能有紧紧地围绕新兴的学科特别是人工智能这些有生命力的相关领域，在这种背景下，该文围绕新工科背景下高等数学课程的计算思维进行案例设计，并给出了三个相关案例。

关键词：人工智能;新工科;计算思维

中图分类号：G642        文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）33-0228-04

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1 高等数学课程的改革背景

新工科时代的到来，特别是以人工智能为首的新兴工程学科的蓬勃发展，使得大学生的计算思维培养变得尤为重要。培养大学生的多种思维能力;在计算思维的研讨中要从实际出发，把复杂的问题简单化，而不要把简单的问题复杂化;要注意内容和方法的大众化，讲求实效。大学生是国家和社会的中坚力量，如何使大学生所学的知识更好地服务社会，是目前最为迫切需要解决的问题。段跃兴认为计算思维对培养当今大学生自身素养、创新能力等方面的重要性，提出大学基础教育应以培养学生的计算思维及计算能力为目标，采用"1+X"模式， 提高大学生计算思维能力[1]。

美国卡内基.梅隆大学周以真教授在美国计算机权威杂志ACM指出计算思维不是只属于计算机科学家，而是每个人都应具备的基本技能，在培养孩子的计算机能力时候要同时培养计算思维的能力[2]。计算思维促成NSF（美国国家科学基金会）的CDI（Cyber-Enabled Discovery and Innovation）計划，CDI计划的目的是借助计算思维的思想和方法促进国家自然科学、工程技术领域发生重大变革，以此改变人们思维的方式，从而使国家现代科技遥遥领先于世界[3-4]。2014年，CAS（Computing at School Working Group）深入分析思维的定义、核心概念、教学方法和评估框架，研制出计算思维培养框架，为中小学基础课程中融入计算思维提供指导作用[5]。美国范德堡大学的Gautam Biswas 教授认为尽管目前已经发现计算思维与STEM教育之间的协同效应，但对计算思维的领域共性与科学表示的领域特性时间的互换协调与探索，是教育领域的重大挑战[6]。

以上学者均给出了通过基础教育培养计算思维的重要性，也给出了相应的概念模式，但是并没有给出具体的实践和实验方法步骤，为了探索新工科背景下的人才培养，提升基础教育研究水平，面向高等数学与学科领域深度融合的教学改革新思路，培养学生计算思维能力为导向的教学内容改革，推动“人工智能、智能制造、互联网+、云计算、大数据”等信息技术与基础教育教学深度融合，使得高等数学基础课程也能解决工程领域的大型科研问题[7-11]。不管是学科的前沿问题还是复杂系统的架构问题，都可以先通过高等数学基础工具来构建基本方法和组件，使学生具备更扎实的基础计算能力，为高年级的专业课程的基础概念有了形象化的能力，不再畏惧复杂的计算和抽象知识。

将现有教学模式与计算思维下的高等数学基础教学模式进行教学效果对比实验，发现目前大学高等数学与计算数学思维相结合模式的缺点，主要体现在学生只会做单纯的数学题，也就是说本质上和高中的水平并无拉开太大的距离，一旦脱离课本寻求一个现实的切入点或者需要使用数学工具进行建模的时候，学术开始感到无所适从和无从下手[12-14]。学生已经习惯了有一个标准的答案的形式或者说做题的模式和惯性，这在大学生素质培养中反而变成成长过程中的绊脚石，特别是即将到来的工业4.0时代，需要人才不仅具有计算机能力，更需要具备使用高等数学等基础课程来处理和建模实际问题，解决实际问题的能力，而这种问题往往没有标准答案，也没有统一的解题思路和惯性。改革现有的教学模式，让学生在解决一个实际问题中去学习知识，自我构建知识、获得技能，提升解决实际问题的计算建模思想。打破传统的师生关系，倡导学生学习的自主性与教师教学的启发性，学生的主观能动性与实践是检验真理的唯一标准相结合的思想，实践又反过来指导学生学习理论知识。要突破目前高校高等数学课程教学和实际需求脱钩的问题，因此需要寻求培养计算数学思维与高等数学基础教育的最优切入点和案例点，使用各个学科中存在的高等数学元素，或者说提炼出高等数学元素进行结合从而组合成为一个案例，这样不仅能丰富低年级学生的高等数学素养，更重要的是已经进入了工程实践环节，知识来源于实践，服务于实践的辩证唯物主义得到了充分的体现。打破传统的考核制、考级制学习方式，课程本身隔离了与其他课程的联系，教师不应该再去加大这种距离性，研究通过项目驱动重新把科研实践的问题把所有的相关知识组合在一起，达到一种知识最完美的耦合度。高等数学将重新焕发它作为基础学科的生命力，从其他各个学科和工程类专业中吸取积极的养分，并为高年级的课程学习打下更为坚实的基础。本文，提出了高等数学的几个实际案例，涉及人工智能、神经网络、概率论、变分学、偏微分方程等领域。

2 高等数学与计算思维融合设计案例

（1）高等数学计算最优概率分布函数

案例一：系统的可靠性密度函数[p（t）]包含两个未知参数，且随时间[t]变化，系统函数的熵为公式（1）。在条件（2）（3）（4）下，使系统熵最大化的分布函数为正态分布。

[Max [J[p（t）]=-∞+∞-p（t）lnp（t）dt] （1） [ s.t.-∞+∞p（t）dt=1                            -∞+∞tp（t）dt=μ                          -∞+∞t2p（t）dt=ν2                       ] （2）

（3）

（4） ]

证明：令 [G=-p（t）lnp（t）]，[G1=p（t）]，[G2=tp（t）]，[G3=t2p（t）].为：在约束条件下的拉格朗日方程：[H=G+λ1G1+λ2G2+λ3G3=-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）]，则目标函数为：

[[J*=-∞+∞Hdt= -∞+∞-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）dt] （5） ]

根据取得极值的欧拉条件方程为：

[[-lnp（t）-1+λ1+λ2t+λ3t2=0] （6） [p（t）=eλ1-1+λ2t+λ3t2] （7） 代入约束条件（2）可得：

[ -∞+∞p（t）dt=-∞+∞eλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞eλ3x2dx=1] （8） ]

代入约束条件（3）可得：

[[ -∞+∞tp（t）dt=-∞+∞teλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞（x-λ22λ3）eλ3x2dx=-λ22λ3=μ] （9） 代入约束条件 （4）可得：

[λ2=μν2-μ2，λ3=12（μ2-ν2）] （10） 最终可得：

[p（t）=12π（ν2-μ2）e-（t-μ）22（ν2-μ2）] （11） ]

因此，系统最稳定可靠的分布曲线为正态分布，均值为[μ]，方差为[σ2=ν2-μ2]，证明完毕。

（2）高等数学数值離散化偏微分方程

案例二：[?u?t=?2u?x2]

定值条件为：

（1）初始条件[（t=0）：u（x，0）=0，x∈[0，10]]

（2）[u（0，t）=100，t≥0]

（3）[u（10，t）=50，t≥0]

根据Crank-Nicolson方法，方程的左端改写为：[uj+1i-ujiΔt]，方程的右端，需要在时间点[j]和时间点[j+1]上对[?2u?x2]离散化。下面给出[?2u?x2]离散化的中心差分公式，由于是对空间域做差分，下面略去时间域上标，根据泰勒展开公式：

[[ui+1=ui+Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i+Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （12） [ui-1=ui-Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i-Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （13） 两式相加可得：

[ui+1+ui-1=2ui+Δx2?2u?x2|i+o（Δx4）] （14） 移项可得[?2u?x2]离散化的中心差分公式：

[?2u?x2|i=ui+1-2ui+ui-1Δx2] （15） ]

根据式（14）和式（15）可得例1方程右端的离散化公式如下：

[[12（Fj+1i（u，x，t，?u?x，?2u?x2）+Fji（u，x，t，?u?x，?2u?x2））=12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）] （16） ]

式（15）代入到式（16）可得：

[[12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （17） ]

则可推得例2的离散化方程如下：

[[uj+1i-ujiΔt=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （18） ]

为了建立迭代计算式，根据式 （18）把时间点[j+1]间的项移动到方程式的左边，把时间点[j]的项移动到方程式的右边，则可得：

[[-Δt2Δx2uj+1i+1+（1+ΔtΔx2）uj+1i-Δt2Δx2uj+1i-1=Δt2Δx2uji+1+（1-ΔtΔx2）uji+Δt2Δx2uji-1] （19） ]

令[r=Δt2Δx2]则，式（19）可写为：

[[-ruj+1i+1+（1+2r）uj+1i-ruj+1i-1=ruji+1+（1-2r）uji+ruji-1] （20） ]

假设[Δx=2]，则区间[0，10]分成5份，6个端点，根据定值条件（2）以及式（20）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12-ruj+11=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （21） ]

其中，根据定值条件（2）[uj1=100，uj+11=100]值，代入式（21）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12=ruj3+（1-2r）uj2+200r] （22） ]

同理，根据定值条件（3）以及式（22）可得：

[[-ruj+16+（1+2r）uj+15-ruj+14=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （23） ]

其中，根据定值条件（3）[uj6=50，uj+16=50]值，代入式（23）可得：

[[（1+2r）uj+15-ruj+14=（1-2r）uj5+ruj4+100r] （24） ]

根据式（18），（23）和 （24） 令矩阵：

[A=1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r]，

[B=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2r]

[w=[200r，0，0，100r]T]，则例1离散的迭代方程可以表示如下：

[  1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2ruj+12uj+13uj+14uj+15=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2ruj2uj3uj4uj5+200r00100r]（25）

对于空间分布[U]来说，原先是分成5个区间有6个点，由于定值条件的（2），（3）消掉了两个自由度，剩下4个变量，对于线性方程组（25）来说刚好可以解出未知的变量。再根据定值条件（1）就可以不停地迭代计算。

（3）高等数学中梯度下降法在神经网络学习中的应用

案例三：BP网络是现在应用最为广泛的神经网络。它采用光滑活化函数， 具有一个或多个隐层， 相邻两层之间通过权值全连接。它是前传网络，即所处理的信息逐层向前流动。而当学习权值时， 却是根据理想输出与实际输出的误差，由前向后逐层修改权值（误差的向后传播， 即Back Propagation）。

BP网络的拓扑结构见图1（以带一个隐层和一个输出單元的BP网络为例）。

选定一个非线性光滑活化函数[g：R1→R1]， 并按稍后给出的规则确定了权矩阵[W=WmpM×P]和[w=wpn1≤p≤P，1≤n≤N]之后，对任一输入信息向量[ξ=（ξ1，…，ξN）∈RN]， 网络的实际输出为

[[?m=g（Wm?τ）=g（p=1PWmpτp），m=1，…，M] （26） 其中隐层输出为

[τp=g（wp?ξ）=g（n=1Nwpnξn）， p=1，…，P] （27） ]

假设给定一组样本输入向量[ξjJj=1?RN]及相应的理想输出[OjJj=1?RM]， 并记[ζjJj=1?RM]为相应的网络实际输出。定义误差函数

[[E（W，w）≡12j=1JOj-ζj2=12j=1Jm=1MOjm-gp=1PWmpg（n=1Nwpnξjn）2] （28） ]

权值矩阵[W和w]的确定（即学习过程）应使误差函数[E（W，w）]达到极小。为此，一个简单而又常用的方法是梯度下降法。取当前权值[Wmp]的改变量为

[[ΔWmp=-η?E?Wmp=ηj=1J（Ojm-ζjm）g（Hjm）τjp=ηj=1JΔjmτjp] （29） ]

其中[η>0]为学习速率：

[[Δjm=（Ojm-ζjm）g（Hjm）] （30） 而[Hjm=p=1PWmpτjp] （31） ]

式（31）是隐层单元对第[m]个输出层单元的线性输入。进一步，我们使用梯度下降法可以得到当前权值[wpn]的改变量应为：

[ [Δwpn=-η?E?wpn=-ηj=1J?E?τjp?τjp?wpn =ηj=1Jm=1M（Ojm-ζjm）g（Hjm）Wmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jm=1MΔjmWmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jδjpξjn] （32） [hjp=n=1Nwpnξjn δjp=g（hpj）m=1MΔjmWmp] （33） ]

综合以上讨论我们看到，应用BP网络时， 所处理的信息（工作流程）是前向传播的，因此称为前传网络。而在网络学习阶段，是用误差的向后（或称反向）传播来逐层修改权值，因此称为反向传播（Back Propagation）算法，使用的本质是梯度下降法。

3 结论

在新工科背景下，老师们需要考虑如何把高等数学融入工程或者人工智能领域，使得高等数学不再是单纯地做题式的教学，而应该将它解放出来，它本身所蕴含处理实际的实践问题和其他专业领域的能量是巨大的，也只有把它跟其他学科结合起来，才能充分发挥其作为基础学科的生命力。因此，设计高等数学与其他专业领域或者其他课程之间的关联案例就显得尤为重要，本文提供了几个案例涉及人工智能、神经网络、概率论、变分学、偏微分方程等领域，不仅解放了高等数学作为基础学科的作用，也使得学生学习其他课程提供了很好的桥梁，学生不仅将在高等数学课程中学习到本课程的思维，而且也将跟工程实践的工科思维或者跟其他学科的思维紧密联系在一起，从而在处理大型问题具备多学科、多角度、多方位的思维习惯，计算与理性完美地结合。最后，案例设计是个开放的形式，随着案例的增加，多学科、多专业、多学院的课程之间的交叉将更为紧密，对于培养多个院系的学生之间的团队协作和沟通障碍的扫除也将产生积极的作用。

参考文献：

[1] 段跃兴.计算思维下的大学计算机基础教育改革[J].计算机教育，2012（19）：24-26.

[2] Wing J M.Five deep questions in computing[J].Communications of the ACM，2008，51（1）：58-60.

[3] Cyber-enabled Discovery and Innovation （CDI）[EB/OL].http：//www.nsf.gov/crssprgm/cdi/.

[4] CDI计划.http：//www.nsfc.gov.cn/Porta10/InfoModule_407/30440.htm.

[5] Computing at School Working Group.Developing computational thinking in the classroom a framework [DB/OL].http：//www.computingatschool.org.uk/index.php？id=documents，2015-11-23.

[6] Biswas G.CTSiM： A Computational Thinking Environment for Learning Science using Simulation and Modeling[R].International Conference on Computational Thinking Education 2017.

[7] 李关民.基于应用型人才培养模式的高等数学课程教学改革的实践与探索[J].中小企业管理与科技，2016（30）：138-139.

[8] 张黎黎.应用型人才培养中高等数学的教学改革策略[J].中小企业管理与科技，2019（33）：146-147.

[9] 田洁.高等数学课程教学改革与应用型人才培养探讨[J].铜仁学院学报，2014，16（4）：181-183.

[10] 陈娟菲，郑玲，高楠.国内主流MOOC平台交互功能对比研究——基于教学交互层次塔理论[J].中国教育信息化，2019（1）：26-29.

[11] 李朗，石啊莲.应用型人才培养模式下高等数学教学改革探索[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2015，14（3）：272-274.

[12] 商明蕊.创新教育改革下的高校新型课堂教学体系的构建[J].佳木斯职业学院学报，2016（1）：175-176.

[13] 朱宏洁，朱赟.翻转课堂及其有效实施策略刍议[J].电化教育研究，2013，34（8）：79-83.

[14] 刘荣.翻转课堂：学与教的革命[J].基础教育课程，2012（12）：28.

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