周博文，张龙腾

(1.福建师范大学 数学与统计学院，福建 福州 350007； 2.福建师范大学 协和学院，福建 福州 350007)

马氏半群的分析性质是随机过程与随机分析的主要研究内容之一，详见著作[1,2].这其中，对称马氏过程生成元的Riesz变换是一个非常活跃的研究课题.例如，在假定空间满足体积倍增条件下，文献[3,4,5]讨论了具有高斯型热核估计的对称扩散算子的Riesz变换；文献[6]在给定次高斯型热核估计情形下，建立了黎曼流形和图上Riesz变换的Lp有界性.上述四篇文献的证明方法强烈依赖于梯度算子的弱(1,1)有界性。然而，轨道不连续马氏过程对应非局部算子的Riesz变换至今仍未系统研究，部分结果可参见文献[7]中关于分数Laplace算子的研究。本文在狄氏型理论框架下，基于现有热核估计相关结果，建立了一般度量测度空间中对称马氏过程对应梯度型算子的弱(1,1)有界性.

1 预备知识与主要结论

本文在度量测度空间(M,ρ,μ)上讨论问题，其中μ是M上非负Radon测度且支撑为M.记B(x,r)={z∈M:ρ(x,z)0，使得对任意x∈M，0

(1)

其中V(x,r)=μ(B(x,r)).

特别地，由(1)可知，对任意x,y∈M，r>0，有

(2)

记R+=[0,+∞)，令φ为R+上严格单调增函数，满足φ(0)=0，φ(1)=1及如下scaling性质：

(3)

其中C1,C2>0为常数.

假设存在R+上有界递减正函数S，满足

(4)

其中d,α1,C1由(1)与(3)给出.

设(Pt)t≥0为L2(M,μ)上的对称马氏半群，其密度函数(亦称热核)为pt(x,y)，即

(5)

其中Lp(M,μ)表示M上Lp-空间，其范数定义为

(6)

只需

〈f,(-L)f〉L2(M,μ),

定理1假设条件(A)，(B)成立，其中

(A)热核pt(x,y)满足如下上界条件：

(7)

(B)(i)T具有次可加性且L2有界；

(ii)存在(0,∞)上有界正函数F，使得

(8)

且

(9)

则算子T是弱(1,1)有界的，即对任意λ>0，f∈L1(M,μ)∩L2(M,μ)，有

(10)

注1显然，若T满足弱(1,1)有界，则T是Lp有界的，这里p∈(1,2).

2 定理证明

在给出定……