具有罗宾边界条件的拟线性抛物方程解的整体存在和爆破现象

2021-12-07李志青

洛阳师范学院学报 2021年11期

关键词：散度下界边界条件

曾鹏，李志青

(广州华商学院数据科学学院，广东广州 511300)

本文考虑下面的拟线性抛物方程

(b(u))t=▽·(a(u)▽u)-f(u),inΩ×(0,t*),

u(x, 0)=u0(x)≥0,inΩ

(1.1)

更多的关于拟线性方程或非线性方程的研究可参见文献[1-7].在许多情况下，这些技术被用于研究具有齐次Neumann边界条件的偏微分方程的爆破现象(见文献[8-11]).

(1.1)的一些特殊情形已经被解决了，Walter[12]研究了下面的问题:

(1.2)

给出了g的一些条件，得到了爆破解和全局解的存在性.Amann[13]考虑了以下问题：

(1.3)

得到了爆破解存在的充分条件.Zhang[14]讨论了如下问题：

(1.4)

文献[14]中不仅得到了全局解和爆破解的存在性，而且得到了全局解的上估计、爆破时间的上界和爆破速率的上估计.丁和郭[15]考虑了以下问题：

(b(u))t=Δu+f(x,u, |▽u|2,t),

inΩ×(0,t*),

(1.5)

通过构造合适的辅助函数，利用极大值原理，成功地将[14]的结果推广到方程(1.5). 在文献[17]中, Payne、 Philippin和Vernier考虑了以下的初值问题：

(1.6)

在对函数f和g作适当的假设的条件下，给出了全局解存在的充分条件，并在更严格的条件下，给出了爆破时间的上下界.

在本文中，我们主要将上面的结果推广到更一般的情况.由于g(u)是一个非线性项，问题可能更复杂，我们已经注意到一些作者已经开始关注具有非线性边界条件的系统(见[17-19]).

在本文中，我们在数据上找到足够的条件来保证u(x,t)始终存在.在对问题(1.1)的数据作一些适当的处理，只有在某有限时刻爆炸，该解才有可能不全局存在. 它们爆破还是不爆破主要取决于f的形式, 边界数据g，初始数据u0，函数a,b以及Ω的相关几何区域.当“爆破”出现时，我们推导出了爆破时间的下界. 注意到，不管解是否爆破，这个界仍然是有效的.本文还在比较严格的条件下得到了爆破时间的一个上界.

1 (1.1)式解的全局存在性

假设

(2.1)

其中m,n>1,k1,k2,k3>0.ξ>0

定义

(2.2)

由(1.1)式和散度定理，我们有

(2.3)

根据a′<0以及(2.1)式、 (2.3)式，我们有

(2.4)

其中

(2.5)

此外再结合恒等式

有

(2.6)

其中ε1是一个大于0的任意常数.

在(2.6)式中，我们注意到

(2.7)

接下来，我们根据Payne和Shaefer在文[16]中推导出的Sobolev不等式

(2.8)

其中ε2是一个大于0的任意常数.

由(2.4)(2.6)和(2.8)式得

(2.9)

其中

(2.10)

选取充分小的ε1和ε2使得M4≥0，利用Hölder不等式，则(2.9)式可变为

(2.11)

为了获得爆破时间的下界，我们考虑如下三种情况：

(1) 如果m=n+1, 则由(2.11)式得到

(2.12)

(2.13)

(2) 如果m

(2.14)

其中ε3定义为

(2.15)

将(2.14)代入(2.11)有

(2.16)

其中

(2.17)

根据(2.6)式得到

(2.18)

(3) 如果m>n+1, 则(1.1)式中非负整数解不可能爆破. 为了证明它，首先把(2.6)式代入(2.4)式得

(2.19)

(2.20)

由此推出

(2.21)

如果μ在有限的时间内爆破，则(2.21)式应满足Φ′(t)≤0, 导致了矛盾.

我们用下面的定理来总结我们的结果.

定理1设μ(x,t)为R3中有界凸域Ω中问题(1.1)的解.假设数据a,b,f和g满足条件(2.1).如果在某个有限时刻t*内，μ(x,t)在度量Φ上是无界的，那么对于m=n+1，根据(2.13)式可得t*的下界; 对于mn+1时, 方程(1.1)式的解不可能在有限的时间内爆破, 从而得到μ(x,t)的全局存在性.