严佳梦，鲁轶戈，章春国

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

近几十年来，随着柔性结构在机器人学和空间科学的广泛应用，带有柔性结构的控制问题引起众多数学工作者及力学工作者的极大关注，研究人员从各个层面广泛研究以柔性结构作为主要构件的系统模型，如Euler-Bernoulli梁模型、Rayleigh梁模型和Timoshenko梁模型，其中尤以Timoshenko梁模型能更精确地描述这一类柔性结构构件模型，得到许多实际应用[1-3]。不少研究者致力于具有动态边界的弹性梁系统稳定性的研究。文献[4]对具有动态边界Euler-Bernoulli梁的指数稳定性进行研究，得到了很好的结果；文献[5]研究了一部分边界是动态边界的Timoshenko梁系统的稳定性；文献[6]应用Hilbert唯一性方法得到了具有动态边界的均质Timoshenko梁系统的精确能控性；文献[7]应用线性半群算子理论得到了具有边界反馈的非均质Timoshenko梁的指数稳定性。受文献[4-6]处理问题方法的启发，本文研究一类具有动态边界非均质Timoshenko梁系统的能量一致指数衰减性质，采用的反馈方式与文献[7]所采用的反馈方式相类似。

1 问题的提出

具有动态边界Timoshenko梁系统如下：

(1)

本文中，反馈常数与文献[7]的反馈常数不同，因为文献[7]研究的不是动态边界反馈，无需系数强制条件，本文要求k2>0,k4>0，若不然，会造成边界条件不相容。

为了得到系统的能量衰减估计，需要如下自然假设：

ρ(·),Iρ(·),K(·),EI(·)∈C1[0,L],ρ(·),Iρ(·),K(·),EI(·)≥C>0,x∈[0,L]

(2)

式中，C为一个正常数。

(3)

设

V=H1(0,L)×H1(0,L),H=L2(0,L)×L2(0,L)

这里，Hm(0,L)是m阶Sobolev空间[8]，且

并设

具有范数

D(

(4)

和

(5)

2 系统的解的存在唯一性和谱性质

定理1假设(2)成立，那么是上的压缩C0-半群et的无穷小生成元。