■河南省许昌高级中学 胡银伟

近年高考数列的命题中常出现“新定义”问题，先给出定义的新概念、新公式、新法则、新符号、新运算，然后据此新定义去解决问题。解答此类“新定义”问题，需认真研读题意，分析、理解新定义、新情景的特征，能够透过现象看到“新”的本质，以不变应万变是解答此类问题的法宝。

类型一 定义新概念

例1（2020年新课标Ⅱ卷）0－1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0－1 序列a1a2…an…，C（k）＝（k＝1，2，…，m－1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（ ）。

A.11010… B.11011…

C.10001… D.11001…

分析：本题是考查数列的新概念问题，考查同学们对新概念的理解及运算能力。本题新定义了序列的周期，可根据新概念，逐一对选项进行验证。

类型二 定义新运算

例2（2021 年全国新高考Ⅱ卷）（多选题）设正整数n＝a0·20＋a1·2＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其 中ai∈ {0，1 }，记ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak，则（ ）。

A.ω（2n）＝ω（n）

B.ω（2n＋3）＝ω（n）＋1

C.ω（8n＋5）＝ω（4n＋3）

D.ω（2n－1）＝n

分析：本题是考查定义与数列有关的新运算问题，考查同学们对新运算的理解及应用能力。

解：选项A，ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以，ω（2n）＝a0＋a1＋…＋ak＝ω（n），A 正确。

选项B，不妨取n＝2，则2n＋3＝7＝1×20＋1×21＋1×22，所以ω（7）＝3。而2＝0·20＋1·21，则ω（2）＝1。所以ω（7）≠ω（2）＋1，B错误。

选项C，因为8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以，ω（8n＋5）＝2＋a0＋a1＋…＋ak。而4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋… ＋ak·2k＋2，所 以，ω（4n＋3）＝2＋a0＋a1＋…＋ak。因此，ω（8n＋5）＝ω（4n＋3），C正确。

选项D，因为2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，所以ω（2n－1）＝n，D 正确。

故选ACD。

类型三 定义新情景

例3南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，其所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列。对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”。……