基于改进Jacobian-Torsor理论的转子组件装配精度控制方法

2021-12-03丁司懿郑小虎

航空学报 2021年10期

丁司懿，郑小虎

东华大学机械工程学院，上海 201620

现代航空发动机的工作转速极高，中国自主研制的大型客机发动机验证机(CJ-1000AX)首台整机核心机转速最高达到6 600 r/min，国外成熟的民用涡扇发动机的工作转速一般在10 000 r/min以上，某些小型发动机则具有高达40 000～50 000 r/min的转速。转子及连接件在这样的高速运转下，同时受到热载荷、气动力、惯性力和振动负荷的影响和冲击[1]，极易疲劳和断裂。如果转子的定心方案设计不妥、装配不当、平衡不好，零件前期制造过程中的倾斜、偏心、跳动等偏差累积将在杠杆效应作用下成倍增大，待安装零件会进一步累积已装好组件的偏心或倾斜误差，使最后装配完成的转子部件产生巨大的偏摆和倾斜，最终导致航空发动机工作时产生剧烈振动，直接影响整机安全性和可靠性，造成不可估量的损失[2]。

同心度是众多测量参数中能够较好地反映装配结构状态的参数指标，有助于全面、多角度地反馈转子、机匣和支承的相对位置及结构状态。同心度测量包括转子同心度测量、转静子同心度测量与支承同心度测量，每一类同心度测量指标诠释的结构状态与侧重点都有所不同，需要利用不同的分析、控制技术加以分析和解决[3]，本文研究的是多级转子组件装配同心度控制。在转子堆叠过程中产生的不同心量是每一级鼓盘类零件不同心量累积的结果，当转子高速旋转时，这些不同心量将产生较大的不平衡力和不平衡力矩，二者综合作用，严重影响发动机的运转安全和效率。为将残余不平衡力和力矩减至最小，应在转子装配过程中将平衡好的单盘优化组合装配。转子组件的同心度偏差是各零件同心度偏差的矢量累加，而累加的方式受各转子之间周向安装相位角的影响。转子装配优化技术就是优化各转子之间的周向安装相位角度，以使转子组件的同心度偏差或不平衡量最小。

目前，中国仍采用传统的以千分表人工手动测试为主的装配方法[4]，根据操作人员的经验对各级转子进行反复试错调整。通过设定某一阈值条件检测每次零件堆叠后的偏心度，确保其符合阈值范围后再向上叠加后一级零件。该方法耗时长、效率低，极大增加了返工频率，甚至无法完成既定的装配目标。一般地，装配一台转子部件需要花费4～5天，反复拆装4～5次，并使零件重复经历冷、热循环加工，极大缩短了发动机零部件的使用寿命。

三维装配偏差分析是一种控制偏差传递的有效手段，无论是在实际装配阶段还是产品研发阶段，构建一个合理的偏差传递模型、提出一种可行的装配方案是提高产品质量、降低设计风险和成本的根本途径。Hussain团队[5-8]研究了航空发动机堆叠优化技术以控制转子部件的整体同心度，主要在二维结构上进行了尝试，提出了3种优化策略；随后在考虑噪声干扰、测量精度和可调方向角的问题上研究了三维状态下的直接堆叠过程[9]和平行堆叠过程[10]，并提出了一种概率求解方法[11]。然而上述堆叠方法不能充分考虑零件形位偏差对装配同心度的影响，而且优化目标仅局限于单级零件的同心度控制，并非转子组件整体同心度控制目标；Alison[12]利用子测试系统得到转子不同位置的应力信号，通过分析零件的容损参数确定了公差与装配精度的映射规律，最终改善了转子组件整体的装配性能。近年来，随着数字化装配技术的发展，中国也逐渐引进并掌握了一些先进的航空发动机转子装配技术[13]，在数字化工装设计[14-15]、数字化测量[16-17]、数字化预装配[18-19]等方面均取得了突破。陈雪峰等[20]提出了一种检测航空发动机转子装配性能的新方法，通过激振各级转子并采集多载波耦合信号获得航空发动机转子的脉冲响应，最后针对8个子信号提取转子系统的平均装配性能指标，该方法为事后检测方法，无法在装配前对航空发动机转子质量进行有效评价，亦无法对转子装配提供有效指导；张子阳等[21]针对航空发动机高压转子拉杆结构提出了基于非线性阻尼的装配检测方法，根据能量方程推导出了基于希尔伯特黄变换(Hilbert-Huang Transform，HHT)的非线性阻尼识别公式，反映了螺栓拧紧力矩对装配接触面的影响规律；曹茂国[22]采用Powell算法对转子各级盘的角向安装位置进行了工艺装配优化设计，减小了作用在轴颈上的力和力矩。然而，这些方法都无法充分考虑转子的几何结构和偏差量方面对装配精度的影响，不能建立有效的同心度偏差控制方法。基于上述问题，本文将着手解决精密回转组件的同心度偏差控制问题，结合改进的雅可比旋量(Jacobian-Torsor，J-T)理论对回转体装配偏差传递规律进行深入探讨，并提出有效的装配工艺新方法。

1 J-T理论及其改进算法

1.1 偏差模型概念和区间定义

基于J-T理论的偏差模型采用了以下概念定义：

1) 功能单元(Function Element，FE)

FE为装配体中各个零件或零件之间的几何特征要素，它们可以是实体要素，也可以是虚拟要素。例如圆柱体的柱面、端面特征，就是实体要素；圆柱回转轴线，就是虚拟要素。

2) 内部功能单元(Internal Function Element，IFE)

IFE为位于单体零件内部的几何特征要素，它们之间存在彼此约束关系，两两构成一个内部约束对，简称内部副。

3) 接触功能单元(Contact Function Element，CFE)

CFE为位于不同零件连接特征上的几何要素，它们之间存在直接或间接的接触关系，两两构成一个外部约束对，简称接触副。

4) 功能要求(Functional Requirement，FR)

FR即封闭环的几何精度要求，是最终装配完成后的目标测量量和控制量。

“区间运算”用于进行带有不确定性问题的数学表征与计算，在J-T理论中，区间运算主要被应用到公差域中矢量分量的上、下界与功能要求副之间的关联关系之中。区间运算以矢量矩阵的形式描述公差域在6个自由度方向上的边界范围，充分考虑了可能的数值误差对装配结果的影响，使任何可能的结果都以闭合区间的形式保证其合理性。任意元素的区间符号表示为

(1)

表1 区间运算法则Table 1 Operation using the arithmetic by interval

1.2 J-T模型

J-T模型包含雅可比矩阵和旋量模型两部分，装配偏差的传递类似于机器人的运动误差传递，对于三维装配偏差尺寸链而言，各个功能单元与功能要求的关系表达式为

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2, …,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

[δqFE1, δqFE2, …, δqFE(n-1), δqFEn]T

(2)

式中：δs为偏差在FR的X、Y和Z坐标轴上的移动；δα为偏差绕X、Y和Z坐标轴的转动；δqFEi为功能单元i的6个自由度方向上的变动量；[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEi为功能单元i的6×6雅可比矩阵。

关于式(2)中的雅可比矩阵，其列向量为

(3)

式中：C1i、C2i和C3i分别为坐标系i的x、y、z轴在坐标系0中的方向向量；di和dm为坐标系i和m的原点在坐标系0中的位置。

(4)

Desrochers等[23]考虑到偏差域发生倾斜的情况，引入了投影矩阵RPti。RPti是一个含有3组方向转换向量的3×3矩阵，可以实现偏差域变动方向与偏差分析方向的有效转换。

综合以上分析，最终雅可比矩阵为

(5)

Clément等[24]在Hervé[25]的位移集理论的基础上提出了工艺拓扑关联表面(Technologically and Topologically Related Surfaces，TTRS)的概念。根据TTRS的定义，将特征变动用矢量集合加以描述，即为旋量。因为特征变动量远远小于装配体实际尺寸，所以旋量又被称为小位移旋量(Small Displacement Torsor，SDT)。

一般地，SDT模型包含6个变动矢量：3个移动矢量和3个旋转矢量，以此表征某个特征元素的位置和方向，如图1所示，图中TSU和TSL分别为特征的公差上、下极限；下标SU和SL分别代表小位移旋量上限和下限；T为公差域；d为回转体直径；S0为名义特征；S1为变动特征；TPO为位置度公差；TPRA为平行度公差。

图1 小位移旋量模型Fig.1 Small displacement torsor model

则旋量S1相对S0可表示为

T1-0=[u,v,w,α,β,γ]T

(6)

式中：u、v和w为局部坐标系中沿x、y和z轴方向的移动量；α、β和γ为绕x、y和z轴的转动量。

SDT理论用旋量约束及变动方程表征FE在三维公差域中的微小变动，雅可比理论用矩阵变换表征点集在刚体开环运动链中的微小位移。J-T 理论将SDT理论和雅克比理论相结合：

FR=JFE

(7)

式中：FR为功能要求矩阵；FE为功能单元矩阵；J为待求特征的雅可比矩阵，其具体表达参见式(3)。

将式(7)展开后可得

[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…,

[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]·

(8)

1.3 考虑回转效应的雅可比矩阵的构造与求解

J-T模型并不能直接应用到与旋转优化相关的操作上，也就是说该偏差模型无法对转子各种堆叠方案进行评价和优化。针对航空发动机转子件的回转特性，引入回转副(Revolution Joint，RJ)的概念对零件的回转调节机制加以表征。如图2所示，图中ti为轮廓度公差，Hi加框表示该尺寸为固定值，是理想尺寸，不带公差从而便于分析。圆柱体底面为零件基准面，顶面含有轮廓度公差，RJ与基准面N重合，不含任何公差信息。可以看出，RJ本质上属于一种接触型功能单元(CFE类型)，可在雅可比矩阵中方便地表达。

图2 转子回转副Fig.2 Rotors with revolution joint

图3(a)描述的是两级回转体装配，图中Di为第i个圆柱体的上端直径。设定全局坐标系0位于第1级回转体下表面中心，同时在每级零件装配面中心位置有各自局部坐标系1、2、3；每级零件上表面含有一个带参考基准的轮廓度公差ti(i=1,2)，待求的FR是全局坐标系下圆柱体b上表面中心沿着偏心方向的偏差累计量tf。

图3 两级转子装配Fig.3 Two-stage rotor assembly

(9)

图4为偏差带倾斜的情况，需要根据偏差传递方向对FE进行投影转化，在转子堆叠过程中，偏差分析方向和FE、FR的偏差域变动方向相同，不存在额外的偏差域投影过程。因此，与RJ雅可比矩阵相关的投影矩阵RPti是一个单位矩阵。

图4 旋量投影Fig.4 Torsor projection

(10)

(11)

(12)

式中：H1和H2分别为第1级和第2级转子高度。

对于n级回转体装配，其总共包括n个IFE和n-1个CFE。其功能要求FRn为顶端零件上表面中心沿着偏心方向在全局坐标系0下的偏差累计量。假设使第i个零件围绕z轴旋转θi-1角度，则在全局坐标系下，RJ所含的局部方向变换矩阵的一般形式可表示为

(13)

通过对零件偏差在特征高度和特征角度上进行传递修正，可以推出一般形式下修正的雅可比扩展矩阵Je，其IFE和CFE的具体形式为

(14)

(15)

式中：Hi为第i级零件的高度；θi为第i+1级零件相对于坐标系0的旋转角度。

2 多级转子装配尺寸链建模与偏差控制

2.1 转子尺寸链的偏差传递模型

如图5所示，图中εi为第i级转子偏心距，对于多级回转体堆叠，全局坐标系0位于第1级转子的底部回转中心，回转主轴穿过第1级圆柱的基准面中心并与之垂直，偏差自下而上进行传递。根据雅可比矩阵特点，[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]表征了偏差从FE1到FEn的传递过程。

图5 多级转子堆叠过程Fig.5 Stacking process of multistage rotors

然而，按照传统手段堆叠而成的转子组件通常会出现局部同心度超差的情况，如图5(a)所示。由于传统装配方法是一个逐级堆叠调整的过程，属于“装配一级、控制一级、检验通过一级”，操作者仍基于经验和试凑法实现该过程，成功率低；更重要的是，该方法过分关注于单级零件的同心度水平，无法对组件整体的同心性能进行评价和控制。导致后端零件很容易出现同心度超差的情况，即使能够满足组件整体的装配精度要求，其整体同心度也并非最优解。

为解决局部性能过优、整体精度超差的问题，不仅要对安装级零件的同心度偏差进行调节和控制，而且要注重各级零件的偏差联动效应。随着零件级数的增多和杠杆效应的放大，仍会不可避免地出现顶部同轴度难以控制的局面，这就需要再次微调下端零件的转角，以适当放大下端零件的装配偏差为代价，补偿上端零件的装配精度，补偿效果如图5(b)所示。

修正的雅可比扩展矩阵Je能够较好地反映零件的回转特性及零件之间的偏差耦合联动效应。在[[J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE1, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FE2,…, [J1,J2,J3,J4,J5,J6]FEn]基础上，进一步考虑各级零件的旋转调节过程：偏差将在相邻两级转子关节处发生围绕z轴的方向转变，从而引起偏差传递路径的变化。最后的偏差传递矩阵将变为[[J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE1, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FE2,…, [J1e,J2e,J3e,J4e,J5e,J6e]FEn]。

转子装配特征为典型的平面特征，如图1所示。该特征含有3个不变度，意味着每组偏差旋量有且仅有3个有效矢量。Roy和Li[26]已给出平面特征偏差旋量表达式的详细推导，对于单级转子而言，每组表面SDT有效矢量的变化范围可以表示为

(16)

式中：D为圆柱直径。

不等式方程组式(16)包含了转子平面特征可能出现的所有的偏差情况，根据1.1节中介绍的SDT区间算法，将其代入J-T模型并结合雅可比扩展矩阵可构建出FR和所有FE之间的SDT偏差传递关系。n级转子装配FR与各FE的偏差传递关系可表示为

[[Je]IFE1, [Je]CFE1, [Je]IFE2, [Je]CFE2, …, [Je]CFE(n-1), [Je]IFEn]·

(17)

式中：tn为第n个零件的轮廓度公差；Dn为第n个圆柱体的上端直径。

(18)

式中：εn为第n级圆柱体上端面的同心度偏差；un为第n级圆柱体上端面的同心度沿x坐标轴的偏差；vn为第n级圆柱体上端面的同心度沿y坐标轴的偏差。

式(16)～式(18)分别为n级回转体装配的一般性偏差传递模型、同心度偏差表达式以及矢量变动约束不等式。如果零件偏差已知，一个确定性的同心度偏差便可以求得，通过优化算法能确定最终各级转子最佳安装角和对应的最优同心度。

2.2 组合堆叠同心度评价方法

为衡量组件整体的同心性能、考虑各级零件偏差之间的影响关系，采用多级偏心度(Multistage Eccentricity，ME)概念作为整体评价指标。

多级偏心度为

εt=[(ξ2ε2)2+(ξ3ε3)2+…+

(ξiεi)2+…+(ξnεn)2]1/2

(19)

对应的目标控制量为

εmin=min{εt}

(20)

式中：εmin为εt的最小值；ξi为第i级零件偏心度加权系数，表示第i级零件的重要程度，i=2,3,…,n；εi为第i级零件偏心度。视所有零件同等重要，因此ξi=1，下标从i=2开始是因为偏心度是从第2级零件开始计算。

2.3 组合堆叠同心度控制方程

根据式(19)和式(20)的定义，结合n级转子装配偏差方程式(17)，可以确定转子装配同心度控制函数的一般形式：

t=2,3,…,n

(21)

式中：ti为第i个零件的轮廓度公差。

根据控制函数式(21)，利用一般优化算法可求解转子最佳控制角度及最优同心度。采用遗传优化算法对组合堆叠下的同心度控制进行分析和计算。

3 高压涡轮转子装配案例分析与讨论

3.1 建模及求解

3.1.1 零件精度与控制要求

图6为某型航空发动机高压涡轮转子(High Pressure Turbine Rotor，HPTR)组件，该组件主要由① HPT后轴、② HPT盘、③ HPT前封严盘、④ HPT前轴组成。研究以转子1～转子4为代表的4级HPTR组件装配同心度控制问题，需要控制HPTR整体同心度在0.038 mm范围内，各级零件的结构和公差信息如表2所示。

图6 HPTR同心度控制要求Fig.6 Concentricity control requirement of HPT rotors

表2 HPT转子零件图Table 2 Drawings of parts of HPT rotors

3.1.2 偏差控制方法

在本例中，全局坐标系0位于零件1的底面中心，局部坐标系1～7位于各级零件接触功能单元表面偏差带的中心位置。装配连接关系如图7所示。可以看出，偏差传递路径为IFE1-CFE1-IFE2-CFE2-IFE3-CFE3-IFE4-FR。回转副RJ位于相邻转子接触功能单元上，与CFE重合，可使各级转子位姿旋转变动。

图7 HPTR连接关系图Fig.7 Connection diagram of HPTRs

利用Leitz P MM-Xi三坐标测量仪对零件特征面进行测量和数据采集，如图8所示。每个面均匀选取5个点，以表征旋量坐标，具体测得的旋量偏差信息如表3所示。

图8 测量和数据采集Fig.8 Measurement and data acquisition

表3 特征偏差旋量Table 3 Deviation torsos of points

根据Je的求解方法式(14)和式(15)可以确定各级转子FE对应的雅可比扩展矩阵，如表4所示。

表4 雅可比扩展矩阵Table 4 Jacobian extended matrixes

根据Je和已测得的偏差旋量，可以推出最终的4级HPTR装配偏差传递函数：

(22)

式中：δFRtotal为功能要求总偏差；δutotal、δvtotal和δwtotal分别为沿x、y和z轴方向的总移动偏差量；δαtotal、δβtotal和δγtotal分别为绕x、y和z轴方向的总转动偏差量；因从第2级零件开始进行旋转调姿,i≥ 2。

根据同心度偏差方程式(18)，可以求出第4级转子的偏心度表达式：

(23)

式中：[δutotal]4=0.011 8 cosθ3-0.002 67 cosθ2-0.010 8 cosθ4+0.000 321 sinθ2-0.014 0× sinθ3-0.014 3 sinθ4-0.002 30，[δvtotal]4=0.014 0 cosθ3-0.000 321 cosθ2+0.014 3 cosθ4-0.002 67 sinθ2+0.011 8 sinθ3-0.010 8 sinθ4+0.003 10。

同样地，可以求出[δutotal]i和[δvtotal]i，并得到第i级转子的偏心度表达式εi(i=2,3,4)。

为了使HPTR整体同心度最佳，需要控制并优化多级偏心度εt，根据式(19)和式(20)寻找最佳θi使εt最小。针对式(22)，可确定该4级HPTR堆叠的目标控制方程为

(24)

式中：δFRn为第m级转子的第n个功能要求偏差值。

3.2 结果与讨论

3.2.1 结果优化

针对式(24)，采用遗传优化算法(Genetic Algorithm，GA)寻找使得HPTR整体同心度(用多级偏心度εt表征)最佳的各级转子安装角θi组合。设定种群数目为50，交配比率Pc=0.80，变异率Pm=0.05[27-28]，所求结果如表5所示。

表5 GA优化结果Table 5 GA optimized results

由表5可知，当交配比率和变异率分别为0.80 和0.05时，平均进化代数将近达到18.3代，可见采用GA可使结果较快地收敛到最优值。图9 显示了该4级HPTR装配时的安装角度与多级偏心度εt之间的关系。如图9所示，图中θcomponent2、θcomponent3和θcomponent4分别为第2、3和4级零件的安装角，第2、3、4级零件的安装角度分别由3个互相垂直的平面表示，而3个平面的交点即为经遗传优化后所求的多级偏心度εt。当3级零件的安装角度分别为3.513、5.206、0.953 rad时，可获得最小的多级偏心度结果，其值为0.042 mm。

图9 多级偏心度与4级零件安装角度关系Fig.9 Relationship between multistage eccentricity and installation angles of four-stage parts

可看出利用提出的改进J-T模型所求结果(0.042 mm)超出目标控制量(0.038 mm)10.53%，但在一定误差范围内及刚体假设条件下，该结果在一定程度上是可接受的，并可付诸指导实际装配。该方法具备一定实用性和可操作性。

3.2.2 实验对比

为验证本文方法的有效性，采用径向跳动千分表对HPTR零件的止口柱面进行测量，以及轴向跳动千分表对转子零件安装边的端面进行圆跳动测量。前者用于表征转子偏心度，而后者主要用来调节倾斜量。如图10所示，采用直接装配手段对HPTR组件进行安装：完成一级零件堆叠后对其进行同心度测量，如果同心度超差，则拆卸零件并旋转一定角度重新安装，以确保每次增加零件后都能满足同心度阈值条件，然后再向上安装下一级转子。

图10 HPTR实际装配过程Fig.10 Actual assembly process of HPTRs

按照此过程对该4级组件重复进行了10次安装和测量，每次测得的各级零件径向跳动量以及多级偏心度εt如表6所示，表6的最后一行同时列举了采用改进的J-T模型进行安装的同心度偏差计算值和实际值。

表6 装配结果对比Table 6 Comparison of assembly results

可看出采用手动调整法进行装配时，组件整体径向跳动量(用多级偏心度εt衡量)在0.050～0.095 mm之间波动，且仅仅通过手动调整很难一次性达到目标精度要求；整个装配过程需要反复调整，时间耗费至少5.5 h。而采用基于J-T多级控制理论的组合堆叠法进行计算和安装，总共花费3.0 h便可获得接近0.038 mm的径向跳动结果，其中最佳安装结果为0.037 mm。

对比计算结果和最佳实测结果可以看出，二者相对误差为13.56%，这是由于理论计算模型认为零件是纯刚体，忽略了接触变形、过盈压紧、形貌匹配等因素影响；但在误差允许范围内，理论计算结果仍然具备指导意义。在θ2=3.513 rad、θ3= 5.206 rad、θ4=0.953 rad的安装角指导下，实际装配结果较好地满足了组件同心度要求。上述结果表明，改进的J-T多级装配理论有利于精密回转组件装配偏差控制，具有较高的实用性，该模型可与计算机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)/计算机辅助公差设计(Computer Aided Tolerancing，CAT)系统相集成，给实际操作者提供指导和帮助。