陈跃 朱善军

现代一般认为微分几何学作为一门数学分支而独立存在，主要应归功于19世纪德国大数学家高斯关于曲面内蕴几何的杰出思想。在20世纪现代数学的众多分支中，微分几何已成为一门十分重要的主流分支学科。现代数学中之所以要大量使用微分几何学方法的主要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的需要，并且整体微分几何往往与代数几何、代数拓扑、微分拓扑、多复变函数论、偏微分方程等学科交织在一起，形成了更抽象的现代意义上的几何学。

20世纪前经典微分几何学的发展状况

经典微分几何主要从局部的角度来研究3维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面。18世纪和19世纪的数学家们运用多元微积分刻画曲线和曲面的形状和弯曲程度。他们引入了曲率的重要概念，包括曲线的曲率、曲面上曲线的法曲率和曲面的高斯曲率等。

19世纪初，高斯证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关”这一十分重要的内蕴几何命题，这意味着，表面上看来与包含了曲面的3维空间有关的高斯曲率K，实际上与曲面所在的外部空间完全没有关系，这个发现在微分几何学的历史上具有重大意义。高斯在他1827年的微分几何著作中系统地创立了曲面的内蕴几何学，他的主要思想是强调曲面本身的几何量，它们包括了曲面上曲线的长度、曲面上两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线（即连接曲面上两点且位于曲面上的最短曲线，如球面上的大圆弧）、测地曲率和高斯曲率等只依赖于曲面内部度量的几何量。……