丁斌芬 安洁玉

1 江西应用科技学院软件与区块链学院，南昌市联福大道1号，330100

当观测模型的系数阵呈良态时，最小二乘法能获得最优无偏的参数估值。然而，当模型的系数阵呈病态时，微小的观测误差会导致解的巨大波动，使常规最小二乘估计的解不可靠[1]。为此，学者们提出多种估计方法，如 Tikhonov 正则化、岭估计、截断奇异值分解(truncated singular value decomposition，TSVD)和Liu估计等[2-9]。目前关于病态模型的有偏性研究大都集中于Tikhonov正则化或TSVD 正则化[10-12]，鲜有涉及Liu估计的相关研究。不同于Tikhonov 正则化，Liu 估计除含有正则化参数外，还额外引入了一个修正因子，因此可更加灵活地处理病态问题[7-9]。但由于引入了正则化参数和修正因子，Liu估计是有偏的。事实上，Liu估计正是通过牺牲参数估值的无偏性来换取其有效性。

基于以上研究，本文首先分析了由于引进正则化参数和修正因子而导致的Liu估计解及其残差的偏差；然后将偏差从残差中扣除，并利用偏差改正后的残差导出Liu估计的单位权方差估计公式；最后用数值算例和病态测边网算例验证公式的有效性。

1 病态模型及其Liu估计解法

测量上常用的Gauss-Markov模型为：

y=Ax+e

(1)

(2)

式中，N=ATA。当系数矩阵病态时，最小二乘解变得极不可靠。Liu[7]采用Liu估计解算病态模型参数，其在最小二乘准则的基础上额外增加了一个约束项，即

eTe+fTf=min

(3)

(4)

2 基于偏差改正的Liu估计的单位权方差估计

2.1 Liu估计的残差及其偏差

(5)

将式(5)代入式(1)中可得残差：

(6)

对式(6)两边取期望，得：

(7)

(8)

将式(8)代入式(1)，可得残差为：

(9)

对式(9)取期望可得残差……