文／江苏省无锡市西漳中学九年级（6）班 吴 涵

初学一元二次方程，你是否会认为一元二次方程只是复杂的计算题？这只是面对系数为具体数值的时候。当需要我们抽象分析，尤其是在学到选学内容——一元二次方程根与系数的关系时，就感到束手无策。很难吗？但是非常有趣。

例1设m、n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0 的两个实数根，则m2+3m+n的值是多少？

你是不是上来就求解这个一元二次方程，想要把两个实数根分别代进去？我们先稍微预想下，求解不易，代入计算更繁，更何况还要考虑m、n分别如何取值。有没有更简便的方法呢？我们再联想与一元二次方程的根的情况有关的知识，就是我们教材选学部分的内容——两根和（积）与系数的关系。

解：∵m、n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，

∴m2+2m=2018，m+n=-2，

∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2018+（-2）=2016。

这里，分别运用了根的概念、两根和（积）与系数的关系的知识，运用了消除差异、整体代入的思想。这可比单纯的求解一元二次方程有趣得多，你们说呢？

例2若关于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0 的两根互为倒数，求m的值。

这里，方程的两个根求不出来啊，如果用求根公式表达，又太过繁琐。因此，我们需要抓住“两根互为倒数”这一关键条件，聚焦思维、深入思考。这个条件的等价表达是“两根乘积为1”，这又可以联想到“两根和（积）与系数的关系”。

解：设方程两根为x1、x2，则x1·x2=1，即m2-3m+3=1，

解得m1=1，m2=2。

又∵方程有两个实数根，

∴b2-4ac≥0，即m2-4（m2-3m+3）≥0，

∴（m-2）2≤0，

∴m=2。

比起例1，例2 更多了一些严谨。我们可能会在最后一步忽视了“根与系数关系”成立的前提——存在实数根。这就要求我们不仅要善于展开联想，还要养成严密的思维习惯。……