文／杨 丹

命题人常通过设置综合性问题，考查同学们对一元二次方程的灵活运用，突出方程思想。下面就以2021 年中考题为例进行归纳剖析，以期对同学们的学习有所帮助。

一、方程概念的综合运用

例1（2021·四川广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2-3x+1=0 有实数根，则a的取值范围是（ ）。

【分析】根据“一元二次方程”得到a+2≠0；由“有实数根”得到Δ=（-3）2-4（a+2）×1≥0。

【答案】A。

【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式和一元二次方程根的概念。本题的易错点有：当一元二次方程的二次项系数含有字母时，要注意二次项系数不等于0；有实数根包含两层含义，一是方程有两个不相等的实数根，二是方程有两个相等的实数根，两种情况都属于有实数根，所以Δ≥0。

例2（2021·江苏宿迁）方程=1的解是________。

【分析】第一步是先两边同时乘x2-4，将分式方程去分母化为整式方程；第二步去分母后整理为x2+x-3=0，解一元二次方程；第三步对分式方程的解进行检验。

【答案】x1=

【点评】本题考查解分式方程和一元二次方程。本题的易错点有：去分母时，漏乘常数项1；分式方程忘记检验解是否增根。

例3（2021·湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值。

【分析】根据“有实数根”得到Δ≥0，即（2m）2-4（m2+m）≥0；由“x12+x22=12”联想到完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和韦达定理x1+x2=-得到（x1+x2）2-2x1x2=12，又∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，由一元二次方程解得m=3 或m=-2；根据m的取值范围得到m=-2。

【答案】（1）m≤0；（2）m=-2。

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系和完全平方公式的应用。本题的易错点有：完全平方公式的应用；……